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[日] 儿玉之宏，[日] 永见启应著，方嘉琳译 著，方嘉琳 译

图书标签:

• 拓扑学
• 点集拓扑
• 一般拓扑
• 拓扑空间
• 连续映射
• 连通性
• 紧致性
• 分离性
• 公理化
• 数学分析

店铺： 英敏图书专卖店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030090799

商品编码：11572818606

包装：平装

开本：32

出版时间：2001-07-01

页数：411

字数：346000

内容介绍
本书是点集拓扑学方面的一本经典著作，全书共十章，内容为：拓扑空间、积空间、仿紧空间、紧空间、一致空间、复形和扩张子、逆极限和展开定理、Arhangelskii空间、商空间和映射空间、可数可乘的空间族.正文前的绪论简要地叙述了阅读本书所需的集合论的基本知识。书中有大量的例题和习题，有益于加强基本训练。 本书可供大学数学系高年级学生、研究生、教师及有关方面的研究人员参考。

目录
前言 记号表 绪论集合论 　l.集合 　2.基数，序数 　3.归纳法，良序定理，Zorn引理 弟一章　拓扑空间 　4.拓扑的导入 　5.度量空间 　6.相对拓扑 　7.初等用语 　8.分离公理 　9.连续映射 　10.连通性前言
记号表
绪论集合论
　l.集合
　2.基数，序数
　3.归纳法，良序定理，Zorn引理
弟一章　拓扑空间
　4.拓扑的导入
　5.度量空间
　6.相对拓扑
　7.初等用语
　8.分离公理
　9.连续映射
　10.连通性
　习题
第二章　积空间
　11.积拓扑
　12.嵌入平行体空间
　l3.Michael直线
　14.0维空间　
　习题
第三章　仿紧空间
　15.正规列
　16.局部有限性和可数仿紧空间
　17.仿紧空间
　18.可展空间和距离化定理
　习题
第四章　紧空间
　19.紧空间的重数
　20.紧化
　21.紧化的剩余
　22.可数紧空间和伪紧空间
　23.Glicksberg定理
　24.Whitehead弱拓扑和Tamano定理
　25.不可数个空间的积
　习题
第五章　一致空间
　26.一致空间
　27.完备化
　28.Ceoh完备性
　29.δ空间和Smirnov紧化
　30.完全紧化和点型紧化
　习题
第六章　复形和扩张子
　31.复形
　32.ES（）和AR（）
　33.族正规空间和覆盖的延长
　34.AR（）度量空间
　35.复形和扩张子
　习题　
第七章　逆极限和展开定理
　36. 覆盖维数
　37.逆谱和极限空间
　38.紧度量空间的展开
　39.度量空间的逆谱
　40.Smirnov定理
　习题
第八章　Arhangel’skiǐ空间
　41.集合列的收敛
　42.p空间
　43.可数深度空间
　44.对称距离
　习题
第九章　商空间和映射空间
　45.k空间
　46.列型空间和可数密度空间
　47.Alexandroff问题
　48.继承的商映射和Fréhet空间
　49.双商映射
　50.映射空间
　习题
第十章　可数可乘的空间族
　51.闭映射
　52.0空间
　53.紧覆盖映射
　54.Mi空间
　55.σ空间
　56.Morita空间
　57.Σ空间
　58.积空间的拓扑
　习题
后记
人名索引
名词索引 显示全部信息

好的，这是一份关于一本名为《拓扑空间论》的图书的详细介绍，内容涵盖了该书的主题、结构、特色以及目标读者，力求详尽且自然流畅。 --- 图书简介：《拓扑空间论》 内容提要： 《拓扑空间论》是一部系统而深入的数学专著，旨在为读者提供一个坚实的基础，使其能够全面理解拓扑学这一现代数学的核心分支。本书不仅仅是对抽象概念的罗列，更注重构建理论的内在逻辑和直观理解，强调拓扑学在分析学、几何学乃至更广泛的数学领域中的基础地位。全书结构严谨，从最基础的集合论前置知识出发，逐步引入拓扑空间的定义、性质、构造，直至深入探讨完备性、紧致性、连通性等关键概念，并辅以大量的例证和习题，以期帮助读者真正掌握拓扑学的精髓。 第一部分：预备知识与拓扑空间的基础 本书的开篇部分致力于夯实读者的数学基础。首先回顾了集合论中的基本概念，包括集合、函数、笛卡尔积等，为后续的拓扑结构定义做铺垫。随后，章节重点转向点集拓扑的基石——拓扑空间的正式引入。 我们将详细探讨拓扑结构是如何通过“开集族”或“邻域基”来定义的。这里不仅仅停留在定义层面，我们深入分析了这些定义背后的直观几何意义。例如，如何将欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑与通过开球定义的拓扑进行对比，以及为什么这些定义在抽象空间中仍然保持了“邻近性”的核心思想。 此外，本部分还细致讨论了拓扑空间中的基本概念，包括开集、闭集、闭包、内部、边界等。我们引入了连续函数的概念，这是拓扑学与分析学相连接的关键桥梁。通过对连续性的不同刻画——开集、闭集以及开原像的性质，读者将清晰地认识到拓扑连续性比传统微积分中的 $epsilon-delta$ 连续性更为本质和普适。 第二部分：重要的拓扑性质与分类 在建立了基础框架后，本书进入了拓扑空间分类和研究其重要性质的阶段。这一部分是全书的重点和难点所在，它揭示了拓扑空间的多样性和内在结构。 分离公理是本部分的核心内容。我们将依次介绍 $T_0, T_1, T_2$（Hausdorff，豪斯多夫空间），以及更强的 $T_3$ 和 $T_4$（正规空间）。每一个分离公理的引入，都伴随着对其在特定数学结构（如度量空间）中的体现的讨论。读者将了解到，为什么豪斯多夫性质在定义极限和收敛性时至关重要，以及正规空间在紧致性理论中的独特地位。 紧致性（Compactness）的探讨占据了重要篇幅。我们从有限开复盖的定义出发，详尽论证了紧致性与闭子集、连续函数像之间的关系，并特别强调了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的重要性。紧致性在泛函分析和微分方程的解的存在性证明中扮演了不可或缺的角色，本书通过具体例子展示了这一点。 连通性（Connectedness）则是关于“整体性”的度量。本书区分了连通、路径连通等概念，并探讨了连续函数对连通性的保持作用。例如，一个连通空间经过连续映射后仍然保持连通，这为构造函数空间提供了强大的工具。 第三部分：构造新空间与拓扑结构 拓扑学的魅力之一在于能够通过已有空间构造出新的、更复杂的拓扑空间。本书的第三部分专注于这些构造方法。 商拓扑（Quotient Topology）是本章的重点。我们详细阐述了如何通过等价关系在集合上构造新的拓扑结构，以及商映射（即连续的满射）的性质。通过对商空间的深入分析，读者将理解如何从 $mathbb{R}^2$ 构造出圆环、球面等重要的几何对象，从而理解拓扑学与代数拓扑、微分几何的联系。 子空间拓扑（Subspace Topology）和积拓扑（Product Topology）也是本部分的核心内容。对于积拓扑，我们将详细讨论 Tychonoff 定理——即任意集的任意乘积空间在 Tychonoff 拓扑下是紧致的（假设每个因子空间都是紧致的），这是一个极其重要的结果。本书会清晰地梳理这些拓扑的定义、开集结构及其如何继承或生成新的性质。 第四部分：完备性与度量空间 虽然拓扑空间是更一般的概念，但度量空间（Metric Spaces）作为最常见、最直观的拓扑空间家族，值得单独深入研究。本部分将度量空间置于拓扑学的框架下进行分析。 完备性（Completeness）是本章的焦点。我们定义了柯西序列，并区分了完备空间与非完备空间。完备性是许多分析学证明（如巴拿赫不动点定理）的先决条件。本书不仅会给出 $mathbb{R}^n$ 完备性的证明，还会讨论如何通过完备化（Completion）过程将一个度量空间提升为其完备的“闭包”（例如将有理数域 $mathbb{Q}$ 提升至实数域 $mathbb{R}$ 的过程）。 此外，我们还讨论了完备化空间的理论及其应用，以及可分性（Separability）等其他重要的度量性质。 本书特色与读者定位： 《拓扑空间论》的编写注重理论的严谨性与教学的有效性的统一。全书的叙述语言力求清晰、精确，避免不必要的术语堆砌，每一重要定理的证明都力求简洁明了，同时指出其背后的关键思想。书中包含了大量的例题与反例，这些反例精心挑选，旨在帮助读者区分易混淆的概念，例如区分拓扑的开集与度量空间的开球，区分不同的分离公理，以及区分紧致与局部紧致等。 本书面向具有扎实微积分和线性代数基础的高年级本科生、研究生以及需要系统复习拓扑学基础的数学研究人员和教师。对于希望深入学习代数拓扑、微分几何、泛函分析或应用数学的读者而言，本书是不可或缺的理论基石。通过对本书的学习，读者将不仅掌握拓扑学的基本工具箱，更能在未来面对更复杂的数学结构时，具备高度的抽象思维能力和严谨的数学论证能力。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，不仅仅在于它提供的知识深度，更在于它所培养的思维的“韧性”。我发现，读完这本书后，我处理复杂问题的能力有了显著提升，不再轻易被表象所迷惑，而是习惯性地去寻找问题的“不变”结构。书中对“连通性”的讨论，特别是对路径连通性和点集连通性的区分与联系，让我体会到数学家对于精确定义的执着与伟大。作者用一种近乎诗意的语言描述了“极限”的概念，将其从微积分的局限中解放出来，赋予了它在更广阔空间中运作的能力。读完后，我发现自己对“边界”的看法都改变了——边界不再是终结，而是一个充满信息和结构的、定义了内部环境的关键区域。这本书的阅读过程是缓慢而艰辛的，它强迫你放慢脚步，像一个精密的仪器一样去校准每一个逻辑齿轮。它不迎合快餐式的学习需求，而是提供了一条通往真知殿堂的，需要付出汗水才能到达的阶梯。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格，乍一看可能略显古板，但细细品味，却能感受到一种深藏不露的幽默感，尤其是在处理那些反直觉的例子时。比如，书中对于“可数集”和“不可数集”的区分，作者没有停留在简单的基数比较上，而是通过构造一个巧妙的映射，让我们直观地感受到“一部分可以等于整体”这种反常识现象的内在合理性。我常常在深夜里，伴随着一杯浓咖啡，和书中的某个定理进行“辩论”。它不像一些教科书那样只是冷漠地陈述事实，而是像一位经验丰富的老教授，在你犯错时轻轻点拨，在你困惑时给出恰到好处的引导。这种互动性极强的阅读体验，极大地提升了学习的效率。更让我称赞的是，作者对不同数学分支之间的联系也做了精妙的勾勒，让你在学习这个专题的同时，也能体会到整个数学大厦的宏伟蓝图，明白我们现在所处的这片土地，是如何与相邻的“分析”高地和“代数”平原相互连通的。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的排版和符号系统设计给予高度评价。在处理高维空间和拓扑结构时，符号的滥用是常有的问题，但在这本书中，作者明显下了大功夫进行规范化处理。每一个新引入的符号，都会在其第一次出现时给出清晰的定义，并且在随后的章节中保持高度的一致性，这极大地减轻了读者记忆和追踪变量的负担。例如，书中对“同胚”的讨论部分，插图的质量非常高，它们不是简单的示意图，而是真正体现了形变过程中哪些性质被保留、哪些性质被破坏的关键节点。读到这一部分时，我仿佛真的能用手触摸到那些柔软的、可以被拉伸和弯曲的空间结构，感受那种“连续”的美妙。当然，我必须承认，对于初学者来说，理解商空间（Quotient Space）的概念仍然是一个巨大的门槛，书中对此的解释虽然详尽，但依然需要多次阅读才能真正内化其精髓。这本书更像是为那些已经对数学有一定基础，渴望深入理解空间本质的人准备的“进阶秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

这本厚重的书，拿到手上就有一种沉甸甸的感觉，封面设计简洁却又带着一丝数学的深邃感，初读之下，我立刻被那种严谨的逻辑和层层递进的结构所吸引。作者似乎极其擅长将那些抽象到近乎虚无的概念，通过精妙的例子和图示，拉到我们能够触摸的现实边缘。比如，在阐述什么是“开集”和“闭集”时，书中没有直接给出冷冰冰的定义，而是巧妙地引入了“邻域”的概念，仿佛带我们走入了一个个由点构成的迷宫，每一步操作都有明确的规则。读完前几章，我感觉自己的思维模式仿佛被重塑了一遍，看世界的角度都变得更加精细和考究。那些看似无关紧要的细节，比如点集上的微小扰动，在作者的笔下都成了构建宏大理论的基石。虽然有些证明过程需要反复揣摩，需要结合课本上的习题反复推敲，但一旦茅塞顿开，那种豁然开朗的喜悦感，是其他任何领域的书籍都难以比拟的。这本书不仅仅是知识的堆砌，更像是一场智力上的马拉松，考验着读者的耐心与洞察力。

评分☆☆☆☆☆

阅读这本书的体验，更像是在攀登一座由纯粹思想构筑而成的雪山。山顶的景色想必是壮丽的，但攀登的过程却充满了挑战。我尤其欣赏作者在引入“紧致性”这个核心概念时的处理方式。它不是一下子抛出那个复杂的、依赖于开覆盖的定义，而是先通过一系列直观的例子，比如线段的性质，展示了“有限性”在无穷世界中可以如何被捕获。书中对这种“有限制约下的无限”的描述，简直是艺术品。我记得有一个地方，作者用了一种非常规的视角来解释稠密子集，仿佛在告诉我，即使你身处一个充满“空隙”的空间，只要你有足够多的“样本点”，你总能无限接近那些你无法触及的“真理点”。虽然偶尔会遇到一些需要查阅其他参考书才能完全理解的引文或脚注，但整体而言，作者构建的知识体系具有极强的自洽性，它要求你必须按照它的节奏来学习，否则就会在某个转折点迷失方向。这本书，绝对不适合走马观花地翻阅，它需要你全身心的投入和敬畏。