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单墫 著

图书标签:

• 几何
• 平面几何
• 数学
• 初中数学
• 竞赛数学
• 题库
• 练习
• 学习
• 基础
• 思维训练

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312036620

版次：1

商品编码：11771162

包装：平装

丛书名： 数林外传系列 ， 跟大学名师学中学数学

开本：32开

出版时间：2015-05-01

用纸：胶版纸

页数：178

字数：171000

正文语种：中文

内容简介

　　《平面几何100题》由100道平面几何的问题及其解答组成。主要内容包括：特殊的四边形、恢复原状、五块面积、八边形面积、图形分解、两个等腰三角形等。希望读者能够欣赏书中提供的问题与解法，同时希望此书能够激起大家学习平面几何乃至学习数学的兴趣。

内页插图

目录

一 计算题
1.特殊的四边形
2.恢复原状
3.五块面积
4.八边形面积
5.图形分解
6.两个等腰三角形
7.构成三角形
8.30°的角
9.依然故我
10.梯形的底角
11.摩天大楼
12.勾三股四
13.线段的比（一）
14.线段的比（二）
15.利用方程
16.计算勿繁
17.代数运算
18.面积与周长（一）
19.一个最大值
20.哈佛赛题
21.六边形面积

二 证明题（一）
22.一道初中赛题
23.山上梯田
24.两块拼版
25.四点共线
26.余弦定理
27.内外二心
28.北大招生题
29.圆心在圆上
30.圆内接四边形
31.对称
32.公共弦
33.圆的切线
34.切线与割线
35.角的相等
36.三等分点
37.何来4倍
38.与外公切线平行
39.更一般些
40.姜霁恒的问题
41.共圆的点
42.三个圆

三 非常规的几何问题
43.整数知识
44.条件够吗？
45.滚动的圆（一）
46.滚动的圆（二）
47.滚动的圆（三）
48.面积与周长（二）
49.面积与周长（三）
50.小圆盖大圆
51.滚动的圆（四）
52.怪兽难亲

四 证明题（二）
53.高中赛题
54.到处有相似
55.你们共圆，我们也共圆
56.中点、平行
57.几何意义
58.两圆同心
59.倒数之和
60.逐步倒溯
61.两处射影
62.平分线段
63.寻找相似形
64.两角之差
65.绕过障碍
66.冬令营试题
67.又见中点

五 更多的知识，更多的问题
68.角平分线的性质
69.分点公式
70.和为1
71.相交何处
72.截线定理
73.Ceva定理
74.角元形式
75.Gergonne点
76.等角共轭点
77.又一个三线共点
78.外角平分线
79.完全四边形
80.以一当二
81.又是角平分线
82.Simson线
83.谬证一例
84.根轴
85.重要之点
86.合二而一
87.一道题的纯几何证明
88.充分必要
89.笨办法？好办法？
90.换了包装
91.旧瓶新酒

六 轨迹与作图
92.最少用几次圆规
93.作方程的根
94.作三角形
95.等幂轴（根轴）
96.一个轨迹
97.Apollonius圆
98.对称的点
99.在那遥远的地方
100.不用圆规行吗？

前言/序言

《平面几何：穿越时空的思维游戏》 引言 在浩瀚的知识海洋中，总有一些宝藏，它们不因年代久远而蒙尘，反而历久弥新，以其独特的魅力吸引着一代又一代的探索者。平面几何，便是这样一颗璀璨的明珠。它不仅仅是枯燥的公式和定理堆砌，更是一种抽象思维的锻炼，一种逻辑推理的训练，一种对空间关系精妙把握的艺术。它古老，却又无比鲜活；它抽象，却又与我们的生活息息相关。 本书并非一本流水账式的教材，也不是一部陈词滥调的定理汇编。相反，它是一扇通往平面几何奇妙世界的窗口，一个精心设计的思维迷宫，一次涤荡心灵的逻辑之旅。在这里，我们将一同踏上一段探索的旅程，用全新的视角去审视那些熟悉的图形，去发掘隐藏在它们之下的深刻联系与优美规律。我们将挑战你的认知边界，激发你的创造潜能，让你在解题的过程中，不仅收获知识，更体验到解决难题的乐趣与成就感。 第一章：点、线、面——宇宙的基石与几何的起点 万物的起源，总是从最简单的事物开始。在平面几何的宏伟殿堂中，点、线、面便是构成一切的基础。它们看似简单，却承载着无限的可能。 点的奥秘： 一个点，在几何学中是无大小、无位置的抽象概念，但正是这些“无”，定义了空间中的每一个存在。我们将探讨点的各种属性，以及它们如何组合形成更复杂的结构。 线的优雅： 线，是点的轨迹，是无宽度、无限长的延伸。我们将学习直线的性质，探索射线和线段的细微区别，理解角度的形成与分类。从简单的直线交错到复杂的图形边界，线在其中扮演着至关重要的角色。 面的广阔： 面，是线的运动轨迹，是无限延伸的二维空间。我们将认识平面图形的基本构成，理解封闭图形与开放图形的差异，以及它们如何界定我们所熟知的三角形、四边形、圆形等。 在这一章，我们并非简单地罗列定义，而是通过一系列引导性的思考，让你亲身体验这些基本概念的形成过程。我们将从最基础的“画一条线”、“找一个点”出发，逐步深入，去理解这些抽象概念在实际应用中的意义。例如，你会思考，为什么在地图上，两点之间最短的路线是直线？为什么我们需要精确的测量来建造桥梁？这些看似朴素的问题，都蕴含着深刻的几何原理。 第二章：角度与距离——测量世界的尺度 有了点、线、面作为基石，我们便需要工具来描述它们之间的关系，而角度与距离，便是这两大利器。它们是测量、定位、构建一切的基础。 角度的缤纷： 从锐角、直角、钝角到平角、周角，角度以不同的形态展现着直线与直线之间的相对关系。我们将深入研究平行线与相交线的性质，理解同位角、内错角、同旁内角等概念，并学会如何利用这些性质来解决问题。你将发现，看似简单的平行线，却隐藏着丰富的几何信息。 距离的衡量： 两点之间的距离，是连接它们的线段的长度。我们会探讨点到直线、线段中点的性质，理解垂线段最短这一基本原理。此外，我们将初步接触到长度的测量在实际生活中的应用，例如建筑、导航等。 本章将通过一些巧妙的习题，让你在计算与推理中，熟悉角度和距离的运算。你可能会遇到这样的问题：如果知道两条平行线被一条直线截出的一个角，能否求出其他所有角？或者，如何利用已知信息，精确测量无法直接触及的距离？这些挑战将锻炼你的逻辑思维能力，让你在严谨的数学语言中，感受精确的美。 第三章：三角形的魔法——最坚固的结构与无限的变幻 三角形，作为最简单的多边形，却拥有着令人惊叹的性质和无限的变幻。它不仅是建筑中最稳定的结构，更是几何学中最基础也最重要的图形之一。 全等的秘密： 我们将深入理解三角形全等的判定方法（SSS, SAS, ASA, AAS, HL），并学会如何运用这些定理来证明两个三角形是否完全相同。全等三角形的性质，使得我们可以在已知一个三角形的性质后，推断出另一个相同三角形的所有性质，这在许多实际问题中都至关重要。 相似的魅力： 与全等不同，相似三角形虽然形状相同，但大小可能不同。我们将学习相似三角形的判定方法（AA, SAS, SSS），并理解相似比的概念。相似性在摄影、地图绘制、工程设计等领域都有广泛的应用。 特殊三角形的辉煌： 等腰三角形、等边三角形、直角三角形，这些特殊的三角形拥有着独特的性质。我们将重点研究勾股定理及其逆定理，理解直角三角形的边长关系，以及它在解题中的强大作用。此外，我们还会探讨等腰三角形和等边三角形的对称性与角的关系。 三角形的重心、内心、外心、垂心： 这些重要的“点”，是三角形内部的重要交汇点，它们各自拥有着独特的性质和几何意义。我们将学习如何找到这些点，并理解它们在三角形中的作用。 在这一章，你将接触到大量的证明题。这并非是为了让你死记硬背，而是为了让你体验到逻辑推理的严谨与美妙。你会学会如何从已知条件出发，一步一步，严丝合缝地推导出结论。例如，你会挑战如何证明两条线段相等，或者一个角等于另一个角，这些过程将极大地提升你的逻辑思维能力。 第四章：多边形的王国——从四边形到圆的精彩 超越三角形的边界，我们进入了多边形的广阔王国。从四边形的丰富形态，到多边形内角和与外角和的规律，再到圆的无尽魅力，我们将继续探索几何世界的精彩。 四边形的家族： 平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形，这些多边形各具特色。我们将深入研究它们的性质，包括边、角、对角线等方面的关系，并学习如何运用这些性质来解决问题。例如，你会发现，一个看似普通的四边形，在添加了一些条件后，就会变成一个特殊的平行四边形，从而获得更多的已知信息。 多边形的规律： 我们将学习计算任意多边形的内角和与外角和，并理解这些公式的由来。这将帮助我们理解多边形内部结构的规律性。 圆的优雅与神秘： 圆，作为一种最完美、最对称的图形，在几何学中扮演着极其重要的角色。我们将认识圆的直径、半径、弦、弧、扇形、弓形等基本概念。我们将深入研究圆与直线的位置关系（相切、相交、相离），以及圆与圆之间的位置关系。圆周角定理、圆心角定理等，将揭示圆内部隐藏的深刻规律。 本章将涵盖更多的综合性问题，这些问题往往需要结合前面章节的知识才能解决。你将学会如何将复杂图形分解为简单的基本图形，如何灵活运用各种定理来寻找解题思路。例如，你可能会遇到这样的挑战：如何在一个给定的圆中画出最大的正方形？或者，如何利用已知圆的半径，计算出某个扇形的面积？这些问题将锻炼你的综合分析能力和解题策略。 第五章：几何的语言——证明与构造的艺术 几何学，不仅仅是关于图形和尺寸，更是一种严谨的语言，一种逻辑的艺术。在本章，我们将聚焦于几何证明与构造的技巧，让你能够更加自如地运用几何语言来表达和解决问题。 证明的逻辑链条： 我们将系统地学习几何证明的常用方法，包括直接证明（综合法、分析法）和间接证明。你将学会如何清晰地组织证明思路，如何准确地引用定理，以及如何严谨地书写证明过程。一个好的证明，不仅能得出结论，更能展现出逻辑的严密与优美。 构造的奇思妙想： 在解决一些复杂的几何问题时，适当的辅助线构造至关重要。我们将探讨如何识别添加辅助线的必要性，以及如何选择合适的辅助线来简化问题。你会发现，一条恰到好处的辅助线，往往能让一个看似无解的难题迎刃而解。 数形结合的思想： 几何问题与代数问题之间并非孤立存在。数形结合的思想，是将代数方法与几何图形相结合，用一种语言来描述另一种语言的规律。我们将初步接触如何利用代数方法来解决几何问题，或者如何用几何图形来直观地理解代数概念。 这一章是本书的升华。它将引导你从“如何解题”提升到“如何思考解题”。你将不再仅仅是被动地接受知识，而是主动地去构建自己的解题体系。通过大量的例题分析和解题思路指导，你将逐渐掌握几何证明的精髓，并学会举一反三，将所学知识灵活运用到各种未知问题中。 结语：不止于图形，更是思维的延展 《平面几何：穿越时空的思维游戏》旨在为你打开一扇通往严谨逻辑与抽象思维的门户。它不承诺给你一套包罗万象的公式大全，而是引导你通过探索与实践，去感受几何的魅力，去锻炼你的逻辑推理能力，去培养你分析问题、解决问题的能力。 在这个信息爆炸的时代，清晰的逻辑思维和严谨的分析能力，比以往任何时候都显得尤为重要。平面几何，作为一种基础而深刻的思维训练，能够有效地帮助你构建这样的能力。它教会你如何从现象中抓住本质，如何从复杂中理清头绪，如何在不确定中找到规律。 希望本书能成为你学习道路上的一位良师益友，带你领略平面几何的无限风光，更助你在未来的学习与生活中，拥有更加清晰、敏锐、强大的思维。愿你在这趟思维的旅程中，收获的不仅是知识，更是对自我能力的一次深刻认知与提升。

评分☆☆☆☆☆

“说实话，我抱着试试看的心态买了《平面几何100题》，毕竟现在市面上同类书籍不少，但这本书给我带来了巨大的惊喜。它的题目设计非常独到，很多题目我之前在其他地方都没有见过，而且角度非常新颖。比如，其中有些题目结合了代数的方法来解决几何问题，这让我眼前一亮，也拓宽了我解决几何问题的思路。我发现，这本书不仅仅是锻炼解题技巧，更重要的是培养了一种数学思维方式。它鼓励你去质疑、去探索，而不是被动地接受。我印象最深刻的是一道关于圆的切线和弦的题目，它没有直接给出条件，而是通过一个巧妙的图形，让我自己去发掘隐藏的等量关系。这种‘发现式’的学习过程，让我觉得非常有成就感。而且，书中对每道题的解析都非常详细，不仅给出了最终答案，还深入浅出地讲解了推理过程，让我能真正理解为什么这样做。有时候，一道题的解法就能启发我解决好几类问题。这本书绝对是我近年来读过的最有价值的数学读物之一。”

评分☆☆☆☆☆

“我是一名正在准备数学竞赛的学生，对各类数学书籍都有所涉猎。《平面几何100题》这本书确实给我留下了深刻的印象。它的题目选材非常具有代表性，涵盖了平面几何的各个重要分支，而且很多题目都具有竞赛题的风格，即考察基础知识，又强调思维的灵活性和创造性。这本书的题目质量非常高，没有出现任何模棱两可或者有争议的题目。我特别喜欢书中那些涉及构造辅助线、利用特殊图形性质的题目，这恰恰是我需要加强的部分。通过反复练习这些题目，我感觉自己的解题思路更加开阔了，也能更快地找到突破口。书中的解析部分也非常到位，很多题目的解法不止一种，书中会列举出多种解法，并分析其优劣，这对于学习者来说是非常宝贵的。它帮助我理解不同的解题策略，也能让我看到同一个问题背后可能蕴含的多种数学联系。总之，对于有志于在数学领域深入发展的学生而言，这本书绝对是不可或缺的宝藏。”

评分☆☆☆☆☆

“这本书真的让我对几何学产生了全新的认识！我一直以为平面几何就是那些枯燥的定理和公式，但《平面几何100题》完全颠覆了我的想法。它不是简单地罗列题目，而是通过精心设计的题目，一步步引导读者深入思考。一开始，我确实被一些题目的巧妙之处所吸引，感觉像是解谜一样，需要调动所有的几何知识和空间想象力。很多题目看似简单，但仔细推敲，就会发现其中蕴含着深刻的数学思想。我特别喜欢其中关于对称性和相似性的那一章节，以前觉得这些概念很抽象，但通过题目中的图形变换和比例关系，我一下子就理解了。而且，这本书的排版和插图也非常棒，清晰明了，让我在阅读过程中丝毫不觉得疲惫。它不像教科书那样死板，更像是一位经验丰富的老师，用循循善诱的方式带领你探索数学的奥秘。每次解出一道难题，那种成就感简直无法用言语形容。我强烈推荐给所有对数学感兴趣的朋友，尤其是那些曾经觉得几何学很难或者枯燥的人，这本书一定会让你爱上它！”

评分☆☆☆☆☆

“我是一名数学爱好者，喜欢挑战一些有难度的题目来锻炼自己的思维。《平面几何100题》这本书绝对满足了我的需求。它不像市面上一些简单的题库，而是充满了智慧和巧妙。很多题目表面看起来很普通，但当你深入思考后，就会发现其中隐藏着精妙的数学设计。我印象最深刻的是一道关于三角形重心和外心的题目，它没有直接给出已知条件，而是通过一个旋转变换来引入，让我去探索点的位置关系。这个过程非常有趣，也让我对重心和外心的性质有了更深的理解。这本书的题目不仅考察了对基本定理的掌握，更重要的是考察了对图形的敏感度和逻辑推理能力。它鼓励你去尝试不同的方法，去发现隐藏的规律。书中的插图也非常精美，清晰地展示了题目的几何关系，让我在解题过程中更加直观。我甚至觉得，这本书不仅仅是一本练习册，更像是一本引导你欣赏数学之美的艺术品。每次翻开它，我都充满了期待，渴望去揭开下一个数学谜题的面纱。”

评分☆☆☆☆☆

“哇，这本书简直就是为我量身定做的！我一直想提升自己的数学能力，特别是对几何这块总觉得掌握得不够牢固。《平面几何100题》的出现，简直是及时雨。我尤其欣赏它的题目难度梯度设计，从入门级的题目开始，循序渐进，让我逐渐建立起自信，然后逐渐挑战更高难度的题目，让我能感受到自己的进步。书中有很多涉及面积、角度、长度计算的题目，但都隐藏得很巧妙，需要我运用多种几何定理和性质才能解开。我记得有一道关于多边形内角和的题目，它没有直接给出边数，而是通过一个复杂的图形和一些已知的角度，让我去推导。这个过程非常有挑战性，但也让我对内角和定理有了更深刻的理解。而且，这本书不仅仅是纯粹的计算，还穿插了很多关于证明的题目，这对我来说是很大的提升。我以前总觉得证明题很难下手，但这本书的引导让我一步步学会如何去组织证明逻辑。总而言之，这本书是一本集趣味性、挑战性、系统性于一体的优秀几何学习资料。”

评分☆☆☆☆☆

六一八活动期间购买，很实惠，书很不错

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快就一个字

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服务周到，价廉物美，送货员辛苦了！

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质量还不错！暂时没有发现任何问题！自学用书！~！！

评分☆☆☆☆☆

物流很给你，当天即收到啦，全新正版

评分☆☆☆☆☆

不错，应该是正版书籍，物流快。

评分☆☆☆☆☆

快递很给力！！！书符合预期！！！

评分☆☆☆☆☆

专家的著作，喜欢数学的可以拿来作为参考

评分☆☆☆☆☆

写的不错，正在学习