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内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版：发展方程数值计算方法》介绍了求发展方程数值解的原理和计算方法，包括将发展方程定解问题离散化的途径、方法，计算格式的设计和求解算法，以及关于数值方法的理论分析.《现代数学基础丛书·典藏版：发展方程数值计算方法》内容既保留了那些行之有效的传统方法和经典理论结果，更注重于介绍近几十年来兴起的新方法和传统方法的新发展，反映近几十年来发展方程数值方法的研究与应用方面取得的新进展、新成果.此外，书中列举了若干实际应用问题（多属非线性与耦合问题）。
　　《现代数学基础丛书·典藏版：发展方程数值计算方法》可供计算数学、应用数学、力学等专业的研究生、教师以及从事科学与工程计算应用与研究工作的科技人员参考。

内页插图

目录

第一章 抛物问题的有限元方法
§1．1 二阶线性抛物方程的初边值问题
§1．2 Galerkin有限元法（半离散近似）
§1．3 收敛性分析与误差估计
§1．4 基于一般椭圆逼近的方法

第二章 抛物方程的全离散计算格式
§2．1 简单全离散格式
§2．2 高阶精度单步格式
§2．3 质量集中方法
§2．4 一个半线性抛物问题：核反应堆的数学模型

第三章 对流-扩散问题的数值解法
§3．1 对流占优扩散问题的背景
§3．2 有限体积法和广义差分法
§3．3 特征有限元法
§3．4 一类抛物．椭圆耦合方程组：多孔介质中两相可混溶驱动问题

第四章 二阶波动方程和一阶双曲方程组的数值解法
§4．1 声波与弹性波方程（组）
§4．2 二阶波动方程的数值解法
§4．3 一阶双曲方程的经典差分格式
§4．4 间断有限元法

第五章 谱与拟谱方法
§5．1 投影与插值算子的逼近性质
§5．2 谱与拟谱方法
§5．3 对一阶偏微问题的应用
§5．4 离散Fourier变换的快速算法

第六章 一些非线性发展方程的保结构算法
§6．1 哈密顿系统、辛结构
§6．2 非线性Schrodinger方程的一个保结构的有限元近似
§6．3 Sine-Gordon方程的多辛算法
§6．4 KortewegdeVries方程孤立波解的数值模拟方法

第七章 非线性离散模型的稳定性和收敛性理论
§7．1 线性模型的Lax定理
§7．2 广义稳定性和收敛性条件
§7．3 应用例题
参考文献
《现代数学基础丛书》出版书目

前言/序言

　　发展方程（evolution equation）是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，又称演化方程或进化方程。在物理、力学或其他自然科学中，这类方程用来描述随时间而变化的状态或过程。诸如热传导方程、声波与弹性波方程、反应扩散与对流扩散方程、流体与气体力学方程组、Schrodinger方程、KdV方程等以及由这些方程通过适当方式耦合而得到的耦合方程组，皆属于发展方程的范畴。
　　在科学与技术的发展中提出了种种发展方程的求解问题，然而在绝大多数情形，这些问题的解不能用解析的公式表达出来，或者表达式过于复杂，因而需要采用数值方法去计算它们的近似解。有限差分法是求解偏微分方程定解问题的传统数值方法，早在1928年Courant，Friedrichs和Lewy便对偏微分方程的差分方法作过完整论述。第二次世界大战之后，随着快速电子计算机的诞生与发展，差分方法的应用及其理论得到迅猛发展。20世纪中、后期发展起来的有限元方法，为偏微分方程（包括发展方程在内）的近似求解增添了又一强有力的工具，尤其对于处理不规则区域上及一般边值条件的偏微分方程定解问题，有限元方法具有显著的优越性，其次，数值分析家运用Sobolev空间及其插值逼近理论为有限元方法建立起了十分完美的数学理论，此外，在离散Fourier变换快速算法提出之后，历史悠久的谱方法也发展成为求解偏微方程的重要方法之一。
　　近30年来，在上述基本方法的基础上，针对不同类型的发展方程问题（尤其是各种非线性和耦合问题），探寻可靠的高效、高精度的数值计算方法的努力始终没有间断过，不断地涌现出新的数值方法，如有限体积法和广义差分法、特征和迎风有限元法、间断有限元法等。值得重视的还有，由我国学者冯康院士倡导的从几何角度出发寻求发展方程的保结构算法的研究，这是对于构造数值方法的依据和观念上的一个重大革新。另外，近20年来谱与拟谱方法的研究也取得了很大的进展。发展方程的数值求解问题在科学与工程计算中处于十分重要的地位，已被广泛的应用于气象预报、地震预测、油田的勘测与开发技术、机翼与汽轮机叶片等工业产品设计、生态与环境的动态模拟等领域。适应现代科学技术的突飞猛进，关于线性与非线性发展方程数值计算方法的研究必将在理论与应用方面得到更加迅速的发展。
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