度量幾何學教程（英文版） [A Course in Metric Geometry] pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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Dmitri，Burago，Yuri，Burago，Sergei ... 著

圖書標籤:

• Metric Geometry
• Geometric Measure Theory
• Differential Geometry
• Analysis
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Calculus
• Real Analysis
• Functional Analysis

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040469080

版次：1

商品編碼：12118806

包裝：精裝

叢書名： 美國數學會經典影印係列

外文名稱：A Course in Metric Geometry

開本：16開

齣版時間：2017-01-01

用紙：膠版紙

頁數：415

字數：610000

正文語種：英文

內容簡介

　　“度量幾何”是建立在拓撲空間長度概念基礎之上的處理幾何的方法，這種方法在*近幾十年飛速發展，並滲透到諸如群論、動力係統和偏微分方程等其他數學學科。
　　《度量幾何學教程（英文版）》有兩個目標：詳細闡述長度空間理論中使用的基本概念和技巧，以及為大量不同的幾何論題提供一個初等導引，這些論題都與距離觀念相關，包括黎曼度量和Carnot-Caratheodory度量、雙麯平麵、距離-體積不等式、（大規模的、粗糙的）漸近幾何、Gromov雙麯空間、度量空間的收斂性以及Alexandrov空間（非正和非負的彎麯空間）。作者傾嚮於用“易於看見”的方法來處理“易於觸碰”的數學對象。
　　作者設定瞭一個具有挑戰性的目標，即讓《度量幾何學教程（英文版）》的核心部分能為一年級研究生所接受。大多數新的概念和方法都按*簡單的情形來提齣並闡明，從而避免瞭技術性的障礙。書中還包括大量習題，這些習題是《度量幾何學教程（英文版）》至關重要的一部分。

內頁插圖

目錄

Preface
Chapter 1． Metric Spaces
1．1． Definitions
1．2． Examples
1．3． Metrics and Topology
1．4． Lipschitz Maps
1．5． Complete Spaces
1．6． Compact Spaces
1．7． Hausdorff Measure and Dimension

Chapter 2． Length Spaces
2．1． Length Structures
2．2． First Examples of Length Structures
2．3． Length Structures Induced by Metrics
2．4． Characterization of Intrinsic Metrics
2．5． Shortest Paths
2．6． Length and Hausdorff Measure
2．7． Length and Lipschitz Speed

Chapter 3． Constructions
3．1． Locality， Gluing and Maximal Metrics
3．2． Polyhedral Spaces
3．3． Isometries and Quotients
3．4． Local Isometries and Coverings
3．5． Arcwise Isometries
3．6． Products and Cones

Chapter 4． Spaces of Bounded Curvature
4．1． Definitions
4．2． Examples
4．3． Angles in Alexandrov Spaces and Equivalence of Definitions
4．4． Analysis of Distance Functions
4．5． The First Variation Formula
4．6． Nonzero Curvature Bounds and Globalization
4．7． Curvature of Cones

Chapter 5． Smooth Length Structures
5．1． Riemannian Length Structures
5．2． Exponential Map
5．3． Hyperbolic Plane
5．4． Sub-Riemannian Metric Structures
5．5． Riemannian and Finsler Volumes
5．6． Besikovitch Inequality

Chapter 6． Curvature of Riemannian Metrics
6．1． Motivation： Coordinate Computations
6．2． Covariant Derivative
6．3． Geodesic and Gaussian Curvatures
6．4． Geometric Meaning of Gaussian Curvature
6．5． Comparison Theorems

Chapter 7． Space of Metric Spaces
7．1． Examples
7．2． Lipschitz Distance
7．3． Gromov-Hausdorff Distance
7．4． Gromov-Hausdorff Convergence
7．5． Convergence of Length Spaces

Chapter 8． Large-scale Geometry
8．1． Noncompact Gromov-Hausdorff Limits
8．2． Tangent and Asymptotic Cones
8．3． Quasi-isometries
8．4． Gromov Hyperbolic Spaces
8．5． Periodic Metrics

Chapter 9． Spaces of Curvature Bounded Above
9．1． Definitions and Local Properties
9．2． Hadamard Spaces
9．3． Fundamental Group of a Nonpositively Curved Space
9．4． Example： Semi-dispersing Billiards

Chapter 10． Spaces of Curvature Bounded Below
10．1． One More Definition
10．2． Constructions and Examples
10．3． Toponogov's Theorem
10．4． Curvature and Diameter
10．5． Splitting Theorem
10．6． Dimension and Volume
10．7． Gromov-Hausdorff Limits
10．8． Local Properties
10．9． Spaces of Directions and Tangent Cones
10．10． Further Information
Bibliography
Index

幾何學的廣闊疆域：非歐幾何、拓撲學與微分幾何的交匯 本書導覽：探索空間的本質與形變的奧秘 本書旨在引導讀者深入探索現代幾何學的核心領域，這些領域極大地擴展瞭我們對歐幾裏得空間認識的邊界。我們將從基礎的、基於度量（距離）的概念齣發，逐步攀登至更抽象的拓撲結構和依賴麯率的微分幾何形態。本書的結構旨在建立堅實的理論基礎，並展示不同幾何分支之間深刻的相互聯係。 第一部分：非歐幾何的誕生與基礎（Revisiting Non-Euclidean Foundations） 本部分聚焦於對歐幾裏得幾何（平麵幾何）的根本性突破。我們將係統地考察非歐幾何的構建過程及其哲學意義。 1. 羅巴切夫斯基幾何與黎曼幾何的對立統一： 我們將詳細剖析雙麯幾何（以羅巴切夫斯基和波利亞伊的工作為基礎）的內在一緻性。讀者將學習如何定義雙麯空間中的測地綫、角、麵積與體積，以及它們如何與歐氏空間中的對應概念産生根本性的差異（例如，三角形內角和小於180度）。 緊接著，我們將引入黎曼幾何的先驅概念——球麵幾何。球麵幾何作為一種具有正麯率的幾何係統，為理解更高維度的彎麯空間提供瞭直觀的模型。我們將探討如何定義球麵上的最短路徑（大圓），以及其帶來的幾何不等式（如三角形內角和大於180度）。 2. 測地麯率與麯率的內在錶達： 本節的核心在於區分“外在麯率”和“內在麯率”。我們將引入高斯絕妙定理（Theorema Egregium），闡明麯率可以僅通過研究一個麯麵本身（例如，通過測量該麯麵上的三角形周長和內角和）來確定，而無需參考它嵌入到三維歐氏空間中的方式。這一概念是連接基礎幾何與現代微分幾何的橋梁。 第二部分：拓撲學的黎明——不變性的研究（The Dawn of Topology: Invariants of Shape） 在度量（距離）被暫時“擱置”的領域，拓撲學關注的是空間在連續形變下保持不變的性質。 3. 連續映射與拓撲空間的定義： 我們首先建立嚴格的拓撲空間定義，它僅依賴於“開集”的概念。我們將探討連續函數、同胚（Homeomorphism）的意義——即“拉伸”而不“撕裂”或“粘閤”的空間變換。 4. 連通性與緊緻性： 本章將深入研究拓撲空間的兩個基本性質：連通性和緊緻性。 連通性： 區分可分離空間與路徑連通空間，並討論它們在分析函數性質時的重要性。 緊緻性： 闡述緊緻性的海涅-博雷爾（Heine-Borel）定理的拓撲版本，以及它在保證連續函數達到極值時的關鍵作用。 5. 基本群與洞的識彆： 為瞭區分拓撲結構本質上不同的空間（如圓環麵和球麵），我們需要更精細的代數不變量。我們將詳細介紹基本群（Fundamental Group），特彆是圓周$mathbb{S}^1$的基本群$mathbb{Z}$，它量化瞭空間中“環路”的纏繞方式。通過計算不同復雜度的流形的基本群，我們可以係統地識彆齣空間中的“洞”或“環”的數量。 第三部分：微分幾何的基石——流形與張量（The Bedrock of Differential Geometry: Manifolds and Tensors） 本部分將度量（距離）的概念重新引入到彎麯空間的研究中，通過微積分的工具來描述光滑結構。 6. 流形的局部結構： 我們將定義光滑流形（Smooth Manifold）的概念，即空間在局部看起來像歐氏空間，但整體上可能是彎麯的。這涉及對圖集（Atlas）和轉移映射（Transition Maps）的嚴格處理。本節將強調流形是連接代數、分析學與幾何學的核心結構。 7. 切叢、嚮量場與微分形式： 為瞭在彎麯空間中進行微積分，我們需要定義切空間（Tangent Space）的概念。切空間是流形上每一點的“局部歐氏空間”。 嚮量場： 定義在流形上的光滑嚮量場，以及它們如何生成流（Flows）。 微分形式： 介紹$ ext{k}$-形式，它們是微分幾何中積分的基礎工具。通過外導數（Exterior Derivative）的引入，我們將為後續的廣義斯托剋斯定理奠定基礎。 8. 黎曼度量與麯率的現代錶述： 在流形上引入黎曼度量（Riemannian Metric），這是一個在每個切空間上定義的內積。這個度量使我們能夠測量長度、角度，並定義測地綫（Geodesics）——即彎麯空間中的“最短路徑”。 我們將推導齣列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection），它允許我們在流形的不同點之間“平行移動”嚮量，從而實現對黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）的計算。這個四階張量是描述空間彎麯程度的最完整代數不變量。 第四部分：幾何分析的融閤（Synthesis: Geometric Analysis） 本部分旨在展示前述工具在解決深刻幾何問題中的應用。 9. 測地綫方程與變分法： 我們將從變分法的角度重新審視測地綫：它們是連接兩點的麯綫上使弧長泛函取極值的路徑。我們將推導測地綫方程，這是一個二階常微分方程，其解定義瞭空間中的運動軌跡。 100. 廣義斯托剋斯定理的威力： 最後，我們將闡述廣義斯托剋斯定理，它是微積分基本定理在任意維度光滑流形上的推廣。該定理優雅地將$k$-形式在邊界上的積分與該形式在流形上的外導數的積分聯係起來。這個定理不僅統一瞭格林定理、高斯散度定理和傳統斯托剋斯定理，也是連接拓撲不變量（通過德拉姆上同調）與局部分析結構的關鍵工具。 全書的論述風格注重概念的清晰構建和內在邏輯的嚴密性，旨在為讀者提供一個堅實而全麵的現代幾何學視角。

評分☆☆☆☆☆

我之所以選擇這本書，很大程度上是因為它所涵蓋的“度量幾何學”這個領域。在傳統的歐幾裏得幾何和微分幾何之外，度量幾何學以一種更一般、更抽象的方式來研究空間，它不依賴於光滑的微分結構，而是僅僅關注點與點之間的距離（度量）所蘊含的幾何信息。這使得度量幾何學能夠處理更廣泛的數學對象，比如分形、離散空間，甚至是一些在拓撲學中定義距離的非光滑空間。這種普適性讓我覺得非常有吸引力。我尤其關注書中對於“度量空間的拓撲性質”與“距離函數的性質”之間關係的闡述。例如，完備性、可分性、度量緊緻性等概念在度量空間中扮演著怎樣的角色？它們如何影響空間的幾何結構？我希望這本書能深入探討這些問題，並提供一些經典定理的證明，比如巴拿赫不動點定理在度量空間中的應用，以及海涅-博雷爾定理的推廣。此外，我也對書中是否會涉及一些現代度量幾何的研究前沿，例如裏奇麯率的度量定義、度量圖論等內容感到好奇。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學的邏輯性和嚴謹性有著極高要求的讀者，我對一本數學教程的數學嚴謹性有著近乎苛刻的要求。這本書的作者在序言中提及瞭對數學公理體係的尊重和對嚴謹證明的追求，這讓我對它的內容充滿瞭信心。我期待書中能夠清晰地界定基本概念，例如度量空間的定義、開集、閉集、收斂性等，並給齣嚴謹的數學錶述。同時，我希望作者在證明定理時，能夠層層遞進，邏輯嚴密，不跳躍、不含糊。即使是一些看似“顯而易見”的步驟，也最好能給齣必要的解釋或引用相關的公理、定義或定理。我尤其關心書中對“測度”和“幾何”之間聯係的論述。度量幾何學，顧名思義，其核心在於“度量”。我希望書中能夠闡述如何利用測度論的工具來研究度量空間的性質，例如豪斯多夫測度在分形幾何中的作用，或者概率測度在隨機幾何中的應用。一本優秀的度量幾何教程，不僅要講解理論，更要培養讀者嚴謹的數學思維。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和結構是令我印象深刻的。每一章的開頭都以一個簡潔的引言概括瞭本章的學習目標和核心內容，這對於我這樣需要快速把握重點的學習者來說非常有幫助。章節內部的論證過程條理清晰，數學符號的使用規範且一緻，這一點在復雜的數學書籍中尤為重要，能夠大大減少閱讀時的睏惑。我特彆欣賞作者在引入新概念時，總是會先從一些直觀的例子或者更容易理解的特例齣發，然後逐步推廣到一般情況。這種由淺入深的學習方式，對於我這樣並非數學專業背景但又對度量幾何學充滿好奇的讀者來說，是極大的福音。我注意到書中包含瞭一些習題，我非常期待這些習題的難度和深度能夠與正文內容相匹配，既能鞏固所學知識，又能激發更深入的思考。如果習題中還能包含一些開放性的問題，鼓勵讀者進行探索和猜想，那就更棒瞭。我希望通過這本書的學習，不僅能掌握度量幾何學的基本工具和方法，更能培養齣一種數學直覺，能夠從度量空間的視角去理解和分析各種幾何現象。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常吸引人，深邃的藍色背景搭配金色的書名，有一種經典而嚴謹的感覺，讓人立刻聯想到數學的嚴謹性和抽象美。拿到手裏，紙張的質感也相當不錯，厚實且有韌性，印刷清晰，即使是細小的數學符號也能一覽無餘。我尤其喜歡它將“度量幾何學”這樣一個相對前沿且深入的領域，用“教程”的形式呈現齣來，這讓我看到瞭作者試圖將復雜概念普及的努力。我一直對不同幾何理論之間的聯係和演化很感興趣，特彆是黎曼幾何和度量空間理論的交匯之處，總覺得這裏蘊含著許多尚未被充分挖掘的數學洞見。這本書的齣現，無疑為我提供瞭一個係統學習和探索這一領域的絕佳機會。我期待它能以清晰的邏輯和循序漸進的方式，帶領我深入理解度量空間的基本概念，例如完備性、緊緻性、測度論與幾何結構的結閤，以及一些重要的度量幾何定理。尤其希望它能詳細介紹諸如格羅莫夫-魏爾定理（Gromov-Weinstein theorem）等核心內容，並提供一些實際的應用案例，讓我能夠更好地把握這一領域的精髓，並將其應用於我自己的研究方嚮。

評分☆☆☆☆☆

在瀏覽瞭這本書的目錄之後，我被其中對“測地綫”的詳盡討論所吸引。測地綫，即度量空間中兩點間“最短路徑”，是度量幾何學中一個至關重要的概念。它不僅是距離概念的自然延伸，更是理解空間麯率和幾何性質的關鍵。我希望本書能夠係統地介紹測地綫的存在性、唯一性及其性質，並探討不同類型的測地綫，例如在黎曼流形上的測地綫，以及在更一般的度量空間中如何定義和研究測地綫。此外，我非常期待書中能夠包含關於“度量空間的分類”或者“特殊度量空間的幾何性質”的內容。例如，關於常麯率空間（歐幾裏得空間、球麵、雙麯空間）的幾何性質，以及這些性質如何通過度量來刻畫。同時，我希望書中能夠涉及一些與測地綫相關的定理，例如測地綫的存在性定理，以及在特定條件下測地綫的唯一性。如果能有關於測地綫在動力係統或者微分方程中的應用作為例子，那將進一步拓寬我的視野。

評分☆☆☆☆☆

度量幾何的少有著作。

評分☆☆☆☆☆

包裝完整，快遞相對較快，內容寫的不錯，排版很舒服。

評分☆☆☆☆☆

正版，很好

評分☆☆☆☆☆

gsm係列的好書，硬殼裝訂，印刷質量不錯

評分☆☆☆☆☆

gsm係列的好書，硬殼裝訂，印刷質量不錯

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

gsm係列的好書，硬殼裝訂，印刷質量不錯

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

《度量幾何學教程（英文版）》有兩個目標：詳細闡述長度空間理論中使用的基本概念和技巧，以及為大量不同的幾何論題提供一個初等導引，這些論題都與距離觀念相關