算子广义逆的理论及计算 [Generalized Inverse of Operator Theory and Computation] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘晓冀 著

图书标签:

• 算子理论
• 广义逆
• 矩阵分析
• 数值计算
• 线性代数
• 泛函分析
• 应用数学
• 数值方法
• 优化算法
• 数学分析

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030519306

版次：1

商品编码：12154390

包装：平装

外文名称：Generalized Inverse of Operator Theory and Computation

开本：16开

出版时间：2017-03-01

用纸：胶版纸

页数：251

字数：318000

正文语种：

内容简介

　　广义逆在研究奇异矩阵问题、病态问题、优化问题以及统计学问题中起着重要作用。
　　《算子广义逆的理论及计算》主要研究内容包括算子广义逆的性质、表示、反序律、扰动以及算子广义逆的迭代算法。
　　《算子广义逆的理论及计算》可以作为从事广义逆研究的科技工作者和研究生的参考资料。

作者简介

　　刘晓冀，广西民族大学教授，2003年博士毕业于西安电子科技大学，华东师范大学博士后，目前主要从事矩阵偏序、数值代数等方面的教学和科研工作，在Mathematics of Computation，Numerical Linear Algebra with Applications，Linear Algebra and its Application，《数学学报》《计算数学》等国内外刊物上发表60余篇学术论文。

内页插图

目录

序
符号表
第1章 基本概念和引理
第2章 算子广义逆的性质
2．1 算子广义逆的吸收律
2．2 Moore-Penrose逆和群逆的极限性质
2．3 算子乘积的不变性
2．4 算子乘积值域的不变性

第3章 算子广义逆的表示
3．1 算子W-加权Drazin逆的刻画
3．2 算子W-加权Drazin逆的积分表示
3．3 算子W-加权Drazin逆的表示
3．4 算子广义逆A（2）T，S的积分和极限表示

第4章 有界算子广义逆的反序律
4．1 有界算子{1，2，3}一逆和{1，2，4}一逆反序律的结果
4．2 算子{1，3，4}一逆的混合反序律
4．3 三个算子Moore-Penrose逆的反序律
4．4 算子乘积混合反序律的不变性
4．5 加权广义逆的反序律

第5章 算子广义逆的扰动
5．1 算子的Moore-Penrose逆的扰动
5．2 算子加权Drazin逆的扰动
5．3 算子广义Drazin逆的扰动
5．4 Banach代数上元素广义Drazin逆的扰动

第6章 Banach空间有界线性算子广义逆的迭代算法
6．1 A（2）T，S逆的迭代算法
6．2 A（2）T，S逆存在性与迭代格式之间的关系
6．3 分裂法求A（2）T，S逆
参考文献
索引

好的，这是一本关于矩阵分析与优化的图书简介，旨在深入探讨现代数值计算、机器学习以及信号处理等前沿领域中不可或缺的理论基础与实践方法。 --- 书籍名称：矩阵分析与优化：理论、算法及应用 [Matrix Analysis and Optimization: Theory, Algorithms, and Applications] 内容概要 本书致力于构建一个全面且严谨的理论框架，用以分析和解决涉及大规模矩阵运算的优化问题。我们专注于矩阵分解的稳定性、特征值问题的求解精度，以及矩阵逼近在不同应用场景下的有效性。全书结构清晰，从基础的线性代数回顾出发，逐步深入到高级的迭代方法和现代机器学习中所需的张量代数基础。 第一部分：矩阵理论基础的深化（The Deepening of Matrix Theoretical Foundations） 本部分旨在为读者提供一个远超标准线性代数课程的深度视角，尤其关注数值稳定性这一核心问题。 第一章：数值线性代数的基石与病态问题 本章首先回顾了向量范数、矩阵范数以及一致性范数的概念，并着重分析了矩阵的条件数在数值求解中的决定性作用。我们将探讨如何量化和识别“病态矩阵”（Ill-conditioned Matrices），以及在有限精度算术环境下，微小扰动如何导致解的巨大偏差。重点讨论了LDU分解和Cholesky分解在计算过程中的误差传播特性，并引入了精确度分析（Accuracy Analysis）的初步框架，为后续的优化方法奠定理论基础。 第二章：特征值问题的深入研究与迭代方法 特征值问题（Eigenvalue Problems）是分析系统稳定性和数据降维的关键。本章将系统地介绍寻找矩阵特征值和特征向量的经典算法，包括QR算法的收敛性分析，以及如何通过相似变换将一般矩阵转化为易于处理的 Hessenberg 形式或三对角形式。在处理大规模稀疏矩阵时，我们引入Lanczos 迭代和Arnoldi 迭代，详细阐述它们的子空间投影原理、误差界限的估计，以及如何通过预处理（Preconditioning）技术显著加速收敛速度。特别关注非对称矩阵的谱结构分析及其对迭代方法的挑战。 第三章：矩阵分解的稳定重构与近似 本章聚焦于矩阵分解作为数据压缩和噪声消除工具的应用。除了详述奇异值分解（SVD）的几何意义、最优低秩近似性质，我们还将深入探讨 SVD 在求解最小二乘问题中的优势。进一步，对LU分解在求解线性系统时的分解误差进行详细的界定，并对比 $QR$ 分解在正规方程组求解中的稳定性优势。本章最后讨论了Cholesky分解在保证正定性矩阵运算中的效率和绝对稳定性。 第二部分：优化理论与算法设计（Optimization Theory and Algorithm Design） 本部分将理论分析与实际可操作的算法紧密结合，重点关注凸优化在矩阵问题中的应用。 第四章：凸优化理论与矩阵约束 本章从凸集、凸函数的基本性质出发，建立起求解矩阵优化问题的数学框架。我们详细阐述了对偶理论（Duality Theory）在约束优化中的重要性，包括 KKT 条件的推导及其在矩阵分解约束下的应用。着重分析了矩阵范数最小化问题、迹最小化问题以及具有半正定性约束（PSD Constraints）的优化模型，并展示如何通过对偶间隙的收敛性来评估算法性能。 第五章：一阶梯度方法与加速技术 现代优化算法的基石在于梯度下降法。本章深入剖析了梯度下降法（Gradient Descent）、次梯度法（Subgradient Methods）的收敛性。随后，我们将重点介绍加速技术，如 Nesterov 动量法及其在非光滑优化问题中的应用。对于涉及大规模矩阵的优化问题，我们讨论了如何高效地计算梯度（雅可比矩阵或Hessian向量乘积），并引入随机梯度下降（SGD）及其变体（如Adam、RMSProp）在处理海量数据时的优势和局限性。 第六章：二阶方法与信赖域算法 当问题规模适中或需要快速收敛时，二阶方法是首选。本章详细解析了牛顿法的原理，并针对牛顿法计算量巨大的缺点，提出了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是 BFGS 和 L-BFGS 算法，阐述了它们如何通过近似 Hessian 矩阵来显著降低计算复杂度。此外，我们将重点介绍信赖域（Trust Region）方法，分析其在保证全局收敛性和处理病态曲面时的鲁棒性。 第三部分：高级应用与现代计算挑战（Advanced Applications and Modern Computational Challenges） 本部分将前述理论应用于实际的复杂问题，并探讨处理现代计算挑战的策略。 第七章：稀疏矩阵计算与预处理技术 在处理高维数据或大型网络问题时，矩阵通常具有高度的稀疏性。本章探讨了稀疏矩阵的存储格式（如CSR、CSC）及其对算法效率的影响。重点在于稀疏线性系统的求解，包括直接法（如基于图论的重排序）和迭代法（如GMRES, BiCGSTAB）。我们将详述预处理器的构造，如代数多重网格（AMG）和逆多重网格，如何通过减小迭代矩阵的条件数来加速求解过程。 第八章：张量代数与多维数据分析 随着数据维度（如视频、医学影像）的增加，张量作为多维数组的概念变得至关重要。本章引入张量分解的基本概念，如 CP 分解（CANDECOMP/PARAFAC）和 Tucker 分解。我们将分析这些分解的唯一性问题、计算复杂性，以及它们在多维信号处理和推荐系统中的应用，对比张量分解与矩阵SVD在捕捉高阶相关性方面的能力差异。 第九章：随机化方法与大规模矩阵近似 面对无法完全存储或计算的超大规模矩阵，随机化方法提供了强大的近似工具。本章聚焦于随机SVD的理论构建，分析其误差界限，并讨论如何利用随机采样技术加速核矩阵的构造。我们将展示如何在保持可接受精度的前提下，利用随机投影（Random Projections）大幅降低计算维度，从而实现对大型矩阵函数（如矩阵指数、矩阵平方根）的有效近似计算。 结语：前沿展望 本书的最后部分将对当前矩阵分析和优化领域的前沿热点进行简要概述，包括量子计算中的矩阵算法、非凸优化中的几何方法，以及自适应学习率策略在迭代算法中的最新进展，引导读者继续深入研究。 --- 本书的编写风格注重理论的严谨性与算法的实用性并重，适合于数学、计算机科学、工程、物理等领域的研究人员、高年级本科生及研究生。它旨在培养读者深刻理解矩阵代数内在结构的能力，并熟练掌握设计和实现高效数值算法的技能。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出现，在我对算子广义逆的理解上，起到了醍醐灌顶的作用。在此之前，我对于这个概念的认识可能还停留在比较表面或者碎片化的阶段，而这本书则系统地为我构建了一个完整的理论框架。作者的叙述方式非常有条理，他从基础概念出发，逐步引入更复杂的定理和结论，并且在关键的地方都进行了详细的解释和论证。我尤其欣赏书中对不同广义逆之间相互联系和区别的阐述，这有助于我避免将它们混淆，并能根据具体问题选择最合适的工具。虽然我还没有机会将书中的理论应用到具体的实践中，但这本书已经为我打下了坚实的理论基础，让我对未来在相关领域的探索充满了信心。它无疑是一本为我量身定制的、能够激发我深入钻研的宝贵书籍。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，这本书的阅读过程对我来说是一场艰辛但充满收获的旅程。它所涵盖的知识密度非常大，对读者的数学基础和逻辑思维能力都有着较高的要求。我发现自己常常需要在阅读每一段文字时，都进行反复的思考和推敲，甚至需要自己动手进行一些简单的演算来验证作者的论点。这种高强度的脑力劳动，虽然让我感到疲惫，但每一次成功的理解都让我倍感欣慰。书中的某些证明过程，对我而言如同迷宫，我需要花费大量的时间去梳理其逻辑脉络，才能最终找到通往结论的道路。然而，正是这种挑战，让我对数学研究的严谨性和深度有了更深刻的体会。这本书不仅仅是一本知识的载体，更像是一本磨炼我思维的利器，让我不断挑战自己的认知极限。

评分☆☆☆☆☆

对于我而言，这本书就像是一次智力探险的地图，指引我深入到数学世界的某个幽深角落。我尤其欣赏作者在概念引入时的耐心和细致。他没有直接抛出高深的定义，而是从一些相对容易理解的例子出发，慢慢引导读者走进算子广义逆的核心。书中的图示和例子虽然不多，但每一个都恰到好处，仿佛是在黑暗中点亮的几盏明灯，为我的理解扫清了障碍。我常常在阅读的过程中，反复咀嚼作者的每一个字句，试图从中体会数学的精妙之处。这本书让我意识到，数学并非只是冰冷的符号堆砌，它背后蕴含着深刻的逻辑美和严谨的思维训练。尽管我需要在阅读时投入大量的时间和精力，甚至时不时地需要翻阅一些基础数学书籍来辅助理解，但每一次的突破和顿悟都给我带来了巨大的成就感。这本书的价值，不仅仅在于传授知识，更在于培养我独立思考和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的抽象性感到着迷，而这本书则将这种迷恋推向了一个新的高度。它所探讨的算子广义逆，在我看来，是连接抽象数学概念与实际问题的关键桥梁。书中对各种广义逆的定义、性质及其之间的关系进行了系统而详尽的介绍，这让我对这一概念有了更为立体和全面的认识。我特别喜欢作者在章节安排上的用心，他似乎有意地将理论推导与计算方法穿插起来，使得读者在学习理论的同时，也能接触到将其付诸实践的可能性。虽然书中的计算部分对我来说具有一定的挑战性，但我相信，随着我不断地深入学习和练习，我一定能够掌握这些计算技巧。这本书激发了我对数学研究的兴趣，让我看到了理论的无穷魅力以及其在解决现实问题中的巨大潜力，无疑是一部值得反复研读的著作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就透露着一种严谨而深邃的气息，仿佛一本古老的哲学典籍，散发着知识沉淀的光芒。当我翻开它，映入眼帘的是密密麻麻的符号和公式，起初我感到一丝敬畏，甚至有些望而却步。然而，随着阅读的深入，我逐渐被作者清晰的逻辑和严密的论证所吸引。虽然我并非数学专业出身，但作者似乎深谙如何引导读者循序渐进地理解那些复杂的概念。书中对算子广义逆的起源、发展以及不同流派的观点都进行了细致的梳理，让我得以窥见这一数学分支背后深厚的历史积淀。更让我惊叹的是，作者在阐述抽象理论的同时，并没有忽视其在实际应用中的价值，书中的某些章节提及了广义逆在信号处理、控制理论等领域的潜在作用，这对于我这样希望将理论知识与工程实践相结合的读者来说，无疑是一大亮点。尽管我尚未完全掌握其中的所有细节，但这本书无疑在我心中种下了一颗探索算子广义逆奥秘的种子，让我对外延的数学世界充满了好奇。