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內容簡介

　　綫性代數群錶示論是近代數學中極為活躍、發展十分迅速的數學分支，新的思想、方法和成果不斷齣現，並對其他數學領域産生瞭深刻的影響。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版21：綫性代數群錶示導論（上冊）》闡述綫性代數群的錶示理論，包括由Chevalley，Borel，Steinberg等人在50-60年代建立起來的經典理論，以及70年代以後這一理論的新發展，並提齣一些未解決的問題和一些猜想。全書的重點在代數群錶示理論的新發展上，特彆著重於上同調方法的應用以及由此得齣的一係列深刻的結果。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版21：綫性代數群錶示導論（上冊）》共分六章，上冊包括三章，分彆是：經典錶示理論，仿射群概形與超代數，上同調方法。
　　《現代數學基礎叢書·典藏版21：綫性代數群錶示導論（上冊）》可供有關專業的數學工作者、大學教師和高年級學生、研究生閱讀。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　綫性代數群的錶示理論是近年來十分活躍、發展非常迅速的一個數學領域，新的思想、新的方法和新的結果不斷齣現，麵貌日新月異。但是，無論國內國外，至今尚未齣現一本比較係統的入門書。要想掌握這一學科的基本思想和方法，瞭解迄今為止的主要成果和尚待解決的問題，隻能從浩如煙海的原始論文中去尋徑問蹤，這給初學者和希望瞭解代數群錶示的其他領域的數學工作者造成很大的睏難。在學習、教學和科研實踐中，我們也深切地體會到這個睏難，因此，我們決定嘗試著寫一部綫性代數群錶示理論的入門書。現在奉獻給讀者的就是這部書的上冊。
　　本書的上冊共分三章。第一章是代數群錶示的經典理論，介紹基本概念和初步結果。我們著重建立瞭不可約模與支配權之間的一一對應，討論瞭錶示的微分與著名的Steinberg張量積定理。我們的錶述並不完全按照經典的方式進行，例如在定義錶示的微分時，以餘代數的餘模作為中間媒介，在證明張量積定理時，也采用瞭最新的處理方法，第二章介紹仿射群概形與超代數。仿射群概形是綫性代數群的推廣，就像仿射概形是仿射代數簇的推廣一樣，不過我們采用更為形式的函子的語言。代數群錶示理論的許多結果，可以推廣到仿射群概形的錶示；反過來，仿射群概形的錶示（特彆是代數群的Frobenius核的錶示）又是研究代數群錶示的一個有效的工具，然而，仿射群概形的錶示隻能錶述為函子的自然變換或餘模，既不直觀也不方便，因此，我們又引進超代數的概念，把函子的自然變換或餘模變成一個代數的模。第三章是上同調方法，代數學的最新發展似乎與同調或上同調理論結下瞭不解之緣，代數群錶示也是如此。本章介紹代數群錶示理論中最常用的一些上同調方法——誘導函子及其導函子、有理（Hochschild）上同調、有理擴張函子以及誘導層的上同調，給齣瞭它們的定義並討論瞭它們的基本性質和相互關係。在新概念或新理論齣現的時候，我們往往舉齣具體的例子，以幫助讀者領會和掌握這些新概念和新理論。
　　在下冊中，我們將用上冊所介紹的各種方法和工具，比較深入地討論代數群錶示理論中的一些重要問題，主要有分塊理論（包括連接原理）、Weyl模的一般分解模式（包括平移原理）以及Lusztig猜想等，最後，我們還將簡介代數群的錶示與有限Chevalley群錶示的關係。
　　本書可供有關專業的數學工作者和研究生閱讀。我們假定讀者熟悉綫性代數群結構與分類的基本理論，熟悉範疇與函子的語言，並有一定的代數幾何學基礎。當然，同調代數的一般理論是閱讀第三章所必備的預備知識，但我們以一節篇幅（§11）闡述瞭有關的理論，希望沒有係統學過同調代數的讀者讀瞭這一節以後，能夠毫無睏難地理解後麵的內容，為瞭同樣的目的，我們還用一小節（§14.1）篇幅介紹所牽涉到的代數幾何學的概念與結論，但與§11不同的是，我們沒有給齣所引結論的證明，這是因為代數幾何學本身是非常龐大的理論體係，不可能用較小的篇幅來證明所需的結論。
　　寫一本代數群錶示理論的著作是十分睏難的，因為這個理論還處於發展之中，許多重要的問題還未完全解決，許多新的思想、方法的生命力還有待於時間的考驗，整個理論還沒有完善；更何況我們在這方麵的研究工作還剛剛起步，水平有限。總之，這是一本勉為其難之作，因此，一定有不少錯誤和不足之處，此外，本書初稿是結閤教學過程斷斷續續地寫成的，內容前後不呼應，符號術語前後不統一之處還不少，在修改定稿的時候雖然努力彌補這方麵的缺陷，但不盡如意之處仍在所難免，所有這些，希望數學界同行批評指正。
　　作者非常感謝國內外的許多同行。我們首先嚮J。E。Humpbreys教授錶示誠摯的謝意，他於1980年春在華東師範大學所作的精采的講演使我們受益匪淺，本書（特彆是第一章）的形成是深受他的講演的影響的。同樣，A。Borcl教授、黎景輝教授、黃和倫（W.J.Wong）教授、J.C.Jantzen教授等學者在國內的講學都給我們以深刻的啓示，特彆是J.C.Jantzen教授，雖然他的講演是在本書初稿形成之後，但由於他的講演，使我們有可能在定稿時作瞭若乾處較為滿意的修改。在此謹嚮這些學者錶示我們的謝意，此外，許多尚未見麵的國外同行及時地給我們寄來他們已經發錶和尚未發錶的論文，使我們能比較迅速地瞭解國外的科研動態，作者也嚮他們錶示感謝。他們中間主要有：H.H.Andersen教授、E.Cline教授、S.Donkin教授、B.Parshall教授、G.Lusztig教授與R.Steinberg教授等。
　　在國內同行中，作者非常感謝萬哲先研究員和武小龍博士，他們仔細閱讀瞭本書的初稿，提齣瞭寶貴的意見。作者還感謝華東師範大學數學係（特彆是代數教研室）的同事們在作者寫作此書時所給予的支持和幫助。博士研究生杜傑和溫剋辛仔細校讀瞭手稿，並協助編寫書末的符號錶和索引，我們也在此錶示感謝。
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