逼近论中的Weierstrass定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘培杰数学工作室 著

图书标签:

• 逼近论
• Weierstrass定理
• 逼近理论
• 函数逼近
• 实分析
• 数学分析
• 定理
• 数学
• 分析
• 逼近

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560368474

版次：1

商品编码：12355992

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

编辑推荐

本书适合高等数学研究人员、高等院校数学专业教师及学生参考阅读。

内容简介

本书分为十八章，详细介绍了逼近论中的Weierstrass定理的相关基础理论，同时还介绍了Weierstrass定理的证明及实数域与复数域上的逼近问题。

目录

第一编 一道联赛试题的背景
第1章 从一道全国高中数学联赛试题的解法谈起
第2章 斯通和魏尔斯特拉斯逼近定理
第3章 魏尔斯特拉斯和斯通小传
第4章 魏尔斯特拉斯定理的两种形式
第5章 魏尔斯特拉斯逼近定理的两个简明证法
第6章 大师和学生-贝尔伦
第7章 胡作玄论魏尔斯特拉斯和他的解析函数论
第二编 从一道Putnam试题谈起
第8章 引言
第9章 平均乘方逼近与一致（最佳）逼近
第10章 复数域上的内插与逼近
第三编 上升到泛函分析的高度去认识
第11章 线性赋范空间中的逼近问题
第12章 切比雪夫的理论
第四编 各种补充与问题
第13章 极值的简单问题与封闭性的某些判别法
第14章 舍格的一个定理和它的应用
第15章 封闭函数序列的又一些例子
第16章 卡拉皆乌独利-费耶尔问题及其联系的问题
第17章 左洛塔留夫的问题及其有关问题
第18章 最简单的解析函数的最佳调和逼近
附录1 Muntz定理及推广
附录2机械工程中的函数逼近问题
附录3线性赋范空间内的最佳逼近
编辑手记

好的，这是一份关于一本名为《逼近论中的Weierstrass定理》的图书的详细简介，内容严格围绕该主题展开，不涉及其他无关内容，力求自然流畅，不带有明显的生成痕迹。 --- 图书简介：逼近论中的Weierstrass定理 内容概述 本书深入剖析了数学分析领域中一个基石性成果——Weierstrass逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）及其在现代逼近论中的地位与应用。本书旨在为高等数学、分析学及相关交叉学科的研究者、教师和高年级学生提供一份全面而深入的理论指南。我们不仅详细阐述了定理的严格表述和证明，更侧重于探讨其背后的深刻数学思想、不同证明方法的演变历程，以及该定理如何催生和推动了整个逼近论分支的发展。 全书结构严谨，逻辑清晰，从实分析的基础概念出发，逐步构建起理解Weierstrass定理所需的理论框架，最终抵达对该定理及其推广形式的精深理解。 第一部分：数学分析基础与背景 在正式探讨Weierstrass定理之前，本书首先回顾了建立其理论基础所必需的若干核心概念。 1. 拓扑空间与度量空间回顾： 详细介绍了紧致性、完备性以及函数空间的基本概念。这些概念是理解“一致收敛”和“有界闭集”的先决条件。 2. 连续函数空间的结构： 重点讨论了连续函数空间 $C[a, b]$ 的范数结构，特别是 $sup$ 范数（或称切比雪夫范数）的引入。明确了 $left(C[a, b], |cdot|_{infty} ight)$ 作为一个完备的赋范线性空间的重要性。 3. 均匀收敛性（一致收敛）： 详细区分了逐点收敛与一致收敛的差异，并论证了为什么在逼近论中，一致收敛是必需的收敛模式。连续函数的极限运算性质（如连续函数的极限仍是连续函数）必须依赖于一致收敛。 第二部分：Weierstrass逼近定理的表述与经典证明 本部分是本书的核心，致力于对定理本身进行细致的解构和证明。 1. 定理的精确陈述： 给出Weierstrass逼近定理的两个主要形式： 经典形式（区间上的多项式逼近）： 在闭区间 $[a, b]$ 上，任何连续实值函数 $f$ 都可以被代数多项式一致地任意逼近。 推广形式（任意函数类逼近）： 讨论了在更一般的函数空间（如连续函数空间 $C(X)$，其中 $X$ 是紧致豪斯多夫空间）中，由何种函数族构成的稠密子集，这引出了诸如Stone-Weierstrass定理的前奏。 2. 经典构造性证明（模卷积法）： 本书详述了最早被接受的、基于“模卷积核”（Mollifiers）的证明路径。 Bernstein多项式： 详细介绍了Bernstein多项式的构造，及其在证明简单一致逼近上的应用。我们追溯了Bernstein如何利用概率论的思想（二项分布）来建立多项式逼近的有效性。 模核（Mollifier）的构造： 引入了一族光滑的、具有单位积分特性的函数核 $K_{epsilon}(x)$。通过将目标函数 $f$ 与这些核进行卷积 $f_{epsilon} = f K_{epsilon}$，我们展示了如何生成一个序列 $f_{epsilon}$，该序列一致收敛于 $f$。此证明路径的优点在于，它直接构造出了逼近函数，并且这些逼近函数通常具有良好的光滑性（例如，是无限次可微的），这超出了仅要求多项式的范畴，为后续研究提供了丰富的工具。 3. 拓扑学视角下的证明（利用紧致性）： 探讨了利用函数空间的拓扑性质来避免显式构造逼近函数的证明方法。这通常涉及对定理的泛化版本——Stone-Weierstrass定理的讨论，虽然本书主要聚焦于代数多项式，但会简要介绍拓扑约束在证明中的关键作用。 第三部分：定理的延伸与现代意义 Weierstrass定理并非终点，而是现代逼近论的起点。本部分着眼于定理的推广和实际应用。 1. Stone-Weierstrass 定理： 这是对Weierstrass定理的本质性推广。本书详细阐述了Stone-Weierstrass定理的条件（代数闭包、分离点、包含常数函数）及其在一般紧致豪斯空间上的适用性。我们将展示如何使用Stone-Weierstrass定理来证明经典Weierstrass定理，并探讨其在函数空间理论中的深远影响。 2. 逼近的速率与误差估计： 离开了纯粹的存在性证明，本书转向了关于“逼近得有多快”的问题。 Kolmogorov $n$-宽度： 引入了衡量函数类可压缩性的概念，即最优 $n$ 维子空间对函数族的最优逼近能力。 Lipschitz连续函数与阶梯函数的逼近： 讨论了函数的光滑性（如模连续性）如何决定多项式逼近的收敛速度，并引入了关于逼近误差的定量界限。 3. 相关逼近理论的对比： 将Weierstrass定理与其他重要的逼近方法进行比较： 傅里叶级数逼近： 讨论周期函数在$L^2$意义下的逼近与Weierstrass在$C[a, b]$上的均匀逼近的异同。 有理函数逼近： 探讨了用有理函数（多项式之比）能否比代数多项式更好地逼近某些特定函数，例如在某些奇异点附近的函数。 第四部分：应用与展望 本书最后简要概述了Weierstrass逼近思想在工程、科学计算和数学物理中的实际体现。 数值分析中的基础： 阐述了插值理论（如Lagrange插值）与Weierstrass定理之间的联系与区别。 函数空间的分析： 解释了该定理如何帮助我们理解连续函数空间 $C[a, b]$ 的拓扑性质，以及它在建立泛函分析理论框架中的作用。 总结 《逼近论中的Weierstrass定理》不仅是一本关于经典数学定理的教科书，更是一部关于“连续性”与“代数可构造性”之间深刻关系的探究之作。通过对构造性证明和拓扑结构的全面审视，读者将能深刻理解为何多项式——这种最简单的函数——竟然拥有如此强大的逼近能力，从而为深入研究泛函分析、调和分析及现代数学的各个分支打下坚实的基础。本书的详实内容和严谨推导，确保了其作为一本高级参考资料的价值。 ---

评分☆☆☆☆☆

最近翻阅到一本名为《逼近论中的Weierstrass定理》的书，初看之下，它似乎仅仅聚焦于一个特定的数学定理。然而，在阅读的过程中，我逐渐被它所展现出的严谨逻辑和深邃思想所吸引。这本书并没有简单地罗列公式和证明，而是将Weierstrass定理置于一个更广阔的数学背景下进行阐述。我仿佛看到，作者是如何一步步引导读者，从函数空间的直观理解，到ε-δ语言的精确定义，再到代数工具的灵活运用。特别是书中对于“逼近”这一概念的深入剖析，让我对函数逼近的本质有了更深刻的认识。原来，一个看似简单的定理，背后却蕴含着如此丰富的数学内涵，它连接着微积分、实变函数论、以及函数逼近论等多个分支。我猜测，书中肯定会详细介绍多种证明方法，或许会涵盖从早期基于多项式逼近的经典证明，到后来可能出现的更简洁或更具泛化性的方法。每一种证明路径，都可能是一次思维的洗礼，展现出数学家们的智慧结晶。我非常期待书中能够深入讨论这些不同证明方法之间的联系与区别，以及它们各自的优缺点。

评分☆☆☆☆☆

《逼近论中的Weierstrass定理》这个名字，本身就暗示了一种追求极致的数学精神。我总是被那些能够“压缩”无限复杂性的数学工具所吸引，而Weierstrass定理无疑是其中的佼佼者。这本书，我猜想，必然会深入剖析“逼近”这个概念的数学本质，以及“多项式”作为逼近工具的强大之处。我期待书中会详细讲解，为什么在实数域上，多项式可以如此“全能”，能够逼近任何连续函数。这其中是否涉及到了泰勒展开的推广，或者是一种更普适的函数逼近理论？我尤其想了解，在证明过程中，那些看似“微小”的误差是如何被控制和消除的。书中是否会探讨不同逼近误差的度量方式，例如Lp范数？以及这些度量方式对证明策略的影响？我想，这本书会是一次关于“精确”与“近似”之间微妙关系的哲学思考，用数学的语言来解答那些关于未知与可控的疑惑，最终展现出数学工具在理解世界方面的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

《逼近论中的Weierstrass定理》这个书名，听起来就充满了挑战与数学的严谨感。我一直对数学理论中的“存在性”证明特别着迷，而Weierstrass定理正是这样一个经典的例子——它断言，对于任何一个定义在闭区间上的连续函数，都存在一个多项式，可以任意地逼近这个函数。这听起来简直有些不可思议！在我的想象中，这本书一定会花费大量篇幅来构建和理解这个“任意逼近”的过程。是否会涉及到一些特殊的函数构造，比如Dirichlet函数，来反驳一些直观的猜想？或者，书中会详细解释如何构建这些逼近多项式，例如通过对函数进行分段处理，然后用多项式去拟合每一段，最后再巧妙地将它们“缝合”起来？我特别好奇的是，在实际应用中，这个定理扮演着怎样的角色？它是否是数值分析、函数插值、信号处理等领域的基础？我希望能在这本书中看到一些相关的应用案例，哪怕是简略的提及，也能让我对这个抽象的数学定理有一个更具象的认识，从而感受到数学理论的生命力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计相当简洁，却透着一种沉静而深邃的气质，封面上“逼近论中的Weierstrass定理”几个字，就如同一个古老的咒语，在脑海中回响。我并非数学专业出身，但一直对数学中的一些基础且深刻的定理有着天然的好奇。Weierstrass定理，尤其是其在逼近论中的表述，总让我联想到无穷无尽的逼近过程，以及那些看似光滑、连续的函数背后隐藏的复杂结构。我一直想象，这本书会如何以一种清晰易懂的方式，带领我穿越抽象的数学海洋，去探寻这个定理的精妙之处。究竟是什么样的证明技巧，如何一步步构建出那个“万能”的多项式逼近，将任意连续函数“收入囊中”？我期待书中能有丰富的图示和生动的类比，让那些抽象的概念不再遥不可及。或许，它还会探讨Weierstrass定理的历史渊源，揭示数学家们在探索过程中遇到的挑战与灵感碰撞。我渴望在这本书里找到的，不仅仅是一个定理的公式，更是它背后所承载的数学思想的演进，以及它对整个数学分析领域产生的深远影响。即使我可能无法完全掌握所有的证明细节，但只要能领略到其思想的魅力，便已足够。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目，单刀直入地指向了数学分析中的一个核心定理——Weierstrass定理。我推测，本书的内容绝不会止步于定理本身的陈述和证明，它更像是一次深入的数学探索之旅。或许，它会先从Weierstrass定理的提出背景说起，介绍那个时代数学家们在函数逼近问题上面临的困境，以及这个定理如何划时代的解决了这一难题。然后，书中很可能会层层递进，从最直观的几何意义出发，逐步引入严谨的数学语言。我特别期待书中能够详细阐述证明过程中的关键思想，比如那些巧妙的构造，那些在看似不可能的任务中找到突破口的方法。是不是会用到一些概率论的工具？或者是某种形式的积分变换？我很好奇，作者是如何组织这些复杂的数学论证，让一个非数学专业人士也能逐渐领略其精妙之处。这本书的意义，我想，不仅仅在于理解一个定理，更在于学习一种严谨的数学思维方式，以及感受数学家们探索真理的伟大历程。