逼近論中的Weierstrass定理 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培傑數學工作室 著

圖書標籤:

• 逼近論
• Weierstrass定理
• 逼近理論
• 函數逼近
• 實分析
• 數學分析
• 定理
• 數學
• 分析
• 逼近

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560368474

版次：1

商品編碼：12355992

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2018-03-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書適閤高等數學研究人員、高等院校數學專業教師及學生參考閱讀。

內容簡介

本書分為十八章，詳細介紹瞭逼近論中的Weierstrass定理的相關基礎理論，同時還介紹瞭Weierstrass定理的證明及實數域與復數域上的逼近問題。

目錄

第一編 一道聯賽試題的背景
第1章 從一道全國高中數學聯賽試題的解法談起
第2章 斯通和魏爾斯特拉斯逼近定理
第3章 魏爾斯特拉斯和斯通小傳
第4章 魏爾斯特拉斯定理的兩種形式
第5章 魏爾斯特拉斯逼近定理的兩個簡明證法
第6章 大師和學生-貝爾倫
第7章 鬍作玄論魏爾斯特拉斯和他的解析函數論
第二編 從一道Putnam試題談起
第8章 引言
第9章 平均乘方逼近與一緻（最佳）逼近
第10章 復數域上的內插與逼近
第三編 上升到泛函分析的高度去認識
第11章 綫性賦範空間中的逼近問題
第12章 切比雪夫的理論
第四編 各種補充與問題
第13章 極值的簡單問題與封閉性的某些判彆法
第14章 捨格的一個定理和它的應用
第15章 封閉函數序列的又一些例子
第16章 卡拉皆烏獨利-費耶爾問題及其聯係的問題
第17章 左洛塔留夫的問題及其有關問題
第18章 最簡單的解析函數的最佳調和逼近
附錄1 Muntz定理及推廣
附錄2機械工程中的函數逼近問題
附錄3綫性賦範空間內的最佳逼近
編輯手記

好的，這是一份關於一本名為《逼近論中的Weierstrass定理》的圖書的詳細簡介，內容嚴格圍繞該主題展開，不涉及其他無關內容，力求自然流暢，不帶有明顯的生成痕跡。 --- 圖書簡介：逼近論中的Weierstrass定理 內容概述 本書深入剖析瞭數學分析領域中一個基石性成果——Weierstrass逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）及其在現代逼近論中的地位與應用。本書旨在為高等數學、分析學及相關交叉學科的研究者、教師和高年級學生提供一份全麵而深入的理論指南。我們不僅詳細闡述瞭定理的嚴格錶述和證明，更側重於探討其背後的深刻數學思想、不同證明方法的演變曆程，以及該定理如何催生和推動瞭整個逼近論分支的發展。 全書結構嚴謹，邏輯清晰，從實分析的基礎概念齣發，逐步構建起理解Weierstrass定理所需的理論框架，最終抵達對該定理及其推廣形式的精深理解。 第一部分：數學分析基礎與背景 在正式探討Weierstrass定理之前，本書首先迴顧瞭建立其理論基礎所必需的若乾核心概念。 1. 拓撲空間與度量空間迴顧： 詳細介紹瞭緊緻性、完備性以及函數空間的基本概念。這些概念是理解“一緻收斂”和“有界閉集”的先決條件。 2. 連續函數空間的結構： 重點討論瞭連續函數空間 $C[a, b]$ 的範數結構，特彆是 $sup$ 範數（或稱切比雪夫範數）的引入。明確瞭 $left(C[a, b], |cdot|_{infty} ight)$ 作為一個完備的賦範綫性空間的重要性。 3. 均勻收斂性（一緻收斂）： 詳細區分瞭逐點收斂與一緻收斂的差異，並論證瞭為什麼在逼近論中，一緻收斂是必需的收斂模式。連續函數的極限運算性質（如連續函數的極限仍是連續函數）必須依賴於一緻收斂。 第二部分：Weierstrass逼近定理的錶述與經典證明 本部分是本書的核心，緻力於對定理本身進行細緻的解構和證明。 1. 定理的精確陳述： 給齣Weierstrass逼近定理的兩個主要形式： 經典形式（區間上的多項式逼近）： 在閉區間 $[a, b]$ 上，任何連續實值函數 $f$ 都可以被代數多項式一緻地任意逼近。 推廣形式（任意函數類逼近）： 討論瞭在更一般的函數空間（如連續函數空間 $C(X)$，其中 $X$ 是緊緻豪斯多夫空間）中，由何種函數族構成的稠密子集，這引齣瞭諸如Stone-Weierstrass定理的前奏。 2. 經典構造性證明（模捲積法）： 本書詳述瞭最早被接受的、基於“模捲積核”（Mollifiers）的證明路徑。 Bernstein多項式： 詳細介紹瞭Bernstein多項式的構造，及其在證明簡單一緻逼近上的應用。我們追溯瞭Bernstein如何利用概率論的思想（二項分布）來建立多項式逼近的有效性。 模核（Mollifier）的構造： 引入瞭一族光滑的、具有單位積分特性的函數核 $K_{epsilon}(x)$。通過將目標函數 $f$ 與這些核進行捲積 $f_{epsilon} = f K_{epsilon}$，我們展示瞭如何生成一個序列 $f_{epsilon}$，該序列一緻收斂於 $f$。此證明路徑的優點在於，它直接構造齣瞭逼近函數，並且這些逼近函數通常具有良好的光滑性（例如，是無限次可微的），這超齣瞭僅要求多項式的範疇，為後續研究提供瞭豐富的工具。 3. 拓撲學視角下的證明（利用緊緻性）： 探討瞭利用函數空間的拓撲性質來避免顯式構造逼近函數的證明方法。這通常涉及對定理的泛化版本——Stone-Weierstrass定理的討論，雖然本書主要聚焦於代數多項式，但會簡要介紹拓撲約束在證明中的關鍵作用。 第三部分：定理的延伸與現代意義 Weierstrass定理並非終點，而是現代逼近論的起點。本部分著眼於定理的推廣和實際應用。 1. Stone-Weierstrass 定理： 這是對Weierstrass定理的本質性推廣。本書詳細闡述瞭Stone-Weierstrass定理的條件（代數閉包、分離點、包含常數函數）及其在一般緊緻豪斯空間上的適用性。我們將展示如何使用Stone-Weierstrass定理來證明經典Weierstrass定理，並探討其在函數空間理論中的深遠影響。 2. 逼近的速率與誤差估計： 離開瞭純粹的存在性證明，本書轉嚮瞭關於“逼近得有多快”的問題。 Kolmogorov $n$-寬度： 引入瞭衡量函數類可壓縮性的概念，即最優 $n$ 維子空間對函數族的最優逼近能力。 Lipschitz連續函數與階梯函數的逼近： 討論瞭函數的光滑性（如模連續性）如何決定多項式逼近的收斂速度，並引入瞭關於逼近誤差的定量界限。 3. 相關逼近理論的對比： 將Weierstrass定理與其他重要的逼近方法進行比較： 傅裏葉級數逼近： 討論周期函數在$L^2$意義下的逼近與Weierstrass在$C[a, b]$上的均勻逼近的異同。 有理函數逼近： 探討瞭用有理函數（多項式之比）能否比代數多項式更好地逼近某些特定函數，例如在某些奇異點附近的函數。 第四部分：應用與展望 本書最後簡要概述瞭Weierstrass逼近思想在工程、科學計算和數學物理中的實際體現。 數值分析中的基礎： 闡述瞭插值理論（如Lagrange插值）與Weierstrass定理之間的聯係與區彆。 函數空間的分析： 解釋瞭該定理如何幫助我們理解連續函數空間 $C[a, b]$ 的拓撲性質，以及它在建立泛函分析理論框架中的作用。 總結 《逼近論中的Weierstrass定理》不僅是一本關於經典數學定理的教科書，更是一部關於“連續性”與“代數可構造性”之間深刻關係的探究之作。通過對構造性證明和拓撲結構的全麵審視，讀者將能深刻理解為何多項式——這種最簡單的函數——竟然擁有如此強大的逼近能力，從而為深入研究泛函分析、調和分析及現代數學的各個分支打下堅實的基礎。本書的詳實內容和嚴謹推導，確保瞭其作為一本高級參考資料的價值。 ---

評分☆☆☆☆☆

《逼近論中的Weierstrass定理》這個書名，聽起來就充滿瞭挑戰與數學的嚴謹感。我一直對數學理論中的“存在性”證明特彆著迷，而Weierstrass定理正是這樣一個經典的例子——它斷言，對於任何一個定義在閉區間上的連續函數，都存在一個多項式，可以任意地逼近這個函數。這聽起來簡直有些不可思議！在我的想象中，這本書一定會花費大量篇幅來構建和理解這個“任意逼近”的過程。是否會涉及到一些特殊的函數構造，比如Dirichlet函數，來反駁一些直觀的猜想？或者，書中會詳細解釋如何構建這些逼近多項式，例如通過對函數進行分段處理，然後用多項式去擬閤每一段，最後再巧妙地將它們“縫閤”起來？我特彆好奇的是，在實際應用中，這個定理扮演著怎樣的角色？它是否是數值分析、函數插值、信號處理等領域的基礎？我希望能在這本書中看到一些相關的應用案例，哪怕是簡略的提及，也能讓我對這個抽象的數學定理有一個更具象的認識，從而感受到數學理論的生命力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的題目，單刀直入地指嚮瞭數學分析中的一個核心定理——Weierstrass定理。我推測，本書的內容絕不會止步於定理本身的陳述和證明，它更像是一次深入的數學探索之旅。或許，它會先從Weierstrass定理的提齣背景說起，介紹那個時代數學傢們在函數逼近問題上麵臨的睏境，以及這個定理如何劃時代的解決瞭這一難題。然後，書中很可能會層層遞進，從最直觀的幾何意義齣發，逐步引入嚴謹的數學語言。我特彆期待書中能夠詳細闡述證明過程中的關鍵思想，比如那些巧妙的構造，那些在看似不可能的任務中找到突破口的方法。是不是會用到一些概率論的工具？或者是某種形式的積分變換？我很好奇，作者是如何組織這些復雜的數學論證，讓一個非數學專業人士也能逐漸領略其精妙之處。這本書的意義，我想，不僅僅在於理解一個定理，更在於學習一種嚴謹的數學思維方式，以及感受數學傢們探索真理的偉大曆程。

評分☆☆☆☆☆

《逼近論中的Weierstrass定理》這個名字，本身就暗示瞭一種追求極緻的數學精神。我總是被那些能夠“壓縮”無限復雜性的數學工具所吸引，而Weierstrass定理無疑是其中的佼佼者。這本書，我猜想，必然會深入剖析“逼近”這個概念的數學本質，以及“多項式”作為逼近工具的強大之處。我期待書中會詳細講解，為什麼在實數域上，多項式可以如此“全能”，能夠逼近任何連續函數。這其中是否涉及到瞭泰勒展開的推廣，或者是一種更普適的函數逼近理論？我尤其想瞭解，在證明過程中，那些看似“微小”的誤差是如何被控製和消除的。書中是否會探討不同逼近誤差的度量方式，例如Lp範數？以及這些度量方式對證明策略的影響？我想，這本書會是一次關於“精確”與“近似”之間微妙關係的哲學思考，用數學的語言來解答那些關於未知與可控的疑惑，最終展現齣數學工具在理解世界方麵的強大力量。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當簡潔，卻透著一種沉靜而深邃的氣質，封麵上“逼近論中的Weierstrass定理”幾個字，就如同一個古老的咒語，在腦海中迴響。我並非數學專業齣身，但一直對數學中的一些基礎且深刻的定理有著天然的好奇。Weierstrass定理，尤其是其在逼近論中的錶述，總讓我聯想到無窮無盡的逼近過程，以及那些看似光滑、連續的函數背後隱藏的復雜結構。我一直想象，這本書會如何以一種清晰易懂的方式，帶領我穿越抽象的數學海洋，去探尋這個定理的精妙之處。究竟是什麼樣的證明技巧，如何一步步構建齣那個“萬能”的多項式逼近，將任意連續函數“收入囊中”？我期待書中能有豐富的圖示和生動的類比，讓那些抽象的概念不再遙不可及。或許，它還會探討Weierstrass定理的曆史淵源，揭示數學傢們在探索過程中遇到的挑戰與靈感碰撞。我渴望在這本書裏找到的，不僅僅是一個定理的公式，更是它背後所承載的數學思想的演進，以及它對整個數學分析領域産生的深遠影響。即使我可能無法完全掌握所有的證明細節，但隻要能領略到其思想的魅力，便已足夠。

評分☆☆☆☆☆

最近翻閱到一本名為《逼近論中的Weierstrass定理》的書，初看之下，它似乎僅僅聚焦於一個特定的數學定理。然而，在閱讀的過程中，我逐漸被它所展現齣的嚴謹邏輯和深邃思想所吸引。這本書並沒有簡單地羅列公式和證明，而是將Weierstrass定理置於一個更廣闊的數學背景下進行闡述。我仿佛看到，作者是如何一步步引導讀者，從函數空間的直觀理解，到ε-δ語言的精確定義，再到代數工具的靈活運用。特彆是書中對於“逼近”這一概念的深入剖析，讓我對函數逼近的本質有瞭更深刻的認識。原來，一個看似簡單的定理，背後卻蘊含著如此豐富的數學內涵，它連接著微積分、實變函數論、以及函數逼近論等多個分支。我猜測，書中肯定會詳細介紹多種證明方法，或許會涵蓋從早期基於多項式逼近的經典證明，到後來可能齣現的更簡潔或更具泛化性的方法。每一種證明路徑，都可能是一次思維的洗禮，展現齣數學傢們的智慧結晶。我非常期待書中能夠深入討論這些不同證明方法之間的聯係與區彆，以及它們各自的優缺點。