Cauchy不等式 下 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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南秀全 著

圖書標籤:

• 數學分析
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• 高等數學
• 數學
• 理論數學
• 分析學
• 數學工具
• 函數

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560367224

版次：1

商品編碼：12361956

包裝：精裝

開本：16

齣版時間：2017-06-01

用紙：膠版紙

編輯推薦

本書通俗易懂，內容緊湊，收錄瞭大量的數學競賽試題及其解答，適閤廣大數學愛好者閱讀。

內容簡介

本書詳細介紹瞭柯西不等式的幾種重要變形、柯西不等式的推廣及其應用、與其他不等式的聯閤運用、排序不等式、排序不等式的應用、排序思想的應用、切比雪夫不等式及其應用、新競賽題選講等內容，而且在重要章節後麵都有相應的習題解答或提示。

目錄

目錄

第11章 柯西不等式的幾種重要變形

第12章 柯西不等式的推廣及其應用

第13章 柯西不等式與其他不等式的聯閤運用

第14章 排序不等式

第15章 排序不等式的應用

第16章 排序思想的應用

第17章 切比雪夫不等式及其應用

第18章 最新競賽題選講等內容

習題解答或提示

《非歐幾何的瑰麗圖景：從羅巴切夫斯基到黎曼》 導言：超越平麵的思考 自古以來，歐幾裏得的幾何體係以其無懈可擊的邏輯和對現實世界的精準描述，統治瞭人類的數學思維近兩韆年。然而，在十九世紀，一股探索真理邊界的思潮開始湧現，挑戰那些看似不可動搖的基石——尤其是第五公設，即“平行綫公設”。本書將帶領讀者深入這場深刻的數學革命，探索非歐幾何這一令人驚嘆的數學新大陸，理解它是如何從對傳統公理的懷疑中誕生，並最終重塑我們對空間、距離乃至物理現實的理解。 本書並非一本枯燥的公理推導集，而是一部充滿曆史畫麵感和深刻洞察力的思想探索之旅。我們將聚焦於這場革命的核心人物及其關鍵思想，展現數學傢們如何以驚人的勇氣和洞察力，開闢齣完全不同於傳統幾何的全新空間結構。 --- 第一部分：黎明的挑戰——對第五公設的百年質疑 在深入探索非歐幾何的宏偉殿堂之前，我們必須迴到那個充滿不確定性的十九世紀初。歐幾裏得幾何的嚴謹性建立在一套公理之上，而第五公設——關於通過不在一直綫上的一點有且僅有一條平行綫與該直綫平行的陳述——始終是其中最受爭議的一環。曆史上無數的數學傢試圖從其他四條公設中推導齣第五公設，企圖將其降格為定理，但所有的努力都以失敗告終。 本章將詳細梳理曆史上對第五公設的各種嘗試性證明，包括普羅剋勒（Proclus）的早期思考，以及後世數學傢如約翰·沃爾夫岡·蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）的係統性努力。我們將探討這些失敗並非偶然，而是暗示著一個更深刻的可能性：也許第五公設並非必然真理，而是特定空間結構下的産物。這種持續的、百年的“不可能完成的任務”，恰恰為非歐幾何的誕生鋪設瞭心理和邏輯上的準備。 --- 第二部分：羅巴切夫斯基的“奇特幾何”——雙麯空間的誕生 非歐幾何的第一聲嘹亮號角，由俄國數學傢尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）吹響。他勇敢地做齣瞭一個顛覆性的假設：通過直綫外一點，可以引齣無數條與已知直綫平行的直綫。 本書將詳盡闡述羅巴切夫斯基是如何以此為新的公設，構建齣邏輯上自洽的“角麯率”幾何體係，即雙麯幾何。 我們將深入探討雙麯幾何的基本特徵： 1. 三角形內角和小於180度： 這是一個最直觀的區彆。通過對這類三角形的邊長和角度關係進行精確計算，讀者將看到與歐氏幾何中著名的正弦定理和餘弦定理截然不同的新公式。 2. “平行綫”的真正含義： 在雙麯空間中，兩條直綫可以“漸近相交”，即它們在無窮遠處相交，而不是永不相交。我們將藉助“雙麯圓盤模型”（龐加萊圓盤模型）來可視化這種奇異的“無限縮小”的空間感。 3. 對數函數的齣現： 讀者將驚奇地發現，在雙麯幾何中，距離的計算和幾何性質的錶達，開始深刻地與對數函數交織在一起，這預示著幾何學與分析學之間更深層次的聯係。 羅巴切夫斯基的工作是孤獨而超前的，他的成果在當時並未得到應有的重視，但它無疑打開瞭通往新世界的大門。 --- 第三部分：波雅伊的獨立發現與幾何的統一性 幾乎與羅巴切夫斯基同時，匈牙利貴族和數學傢雅諾什·波雅伊（János Bolyai）也獨立地構建瞭基於否定第五公設的幾何係統。波雅伊的發現是如此的獨立而完整，以至於他的父親，也是一位數學傢，起初誤以為這是對第五公設證明的某種修正。 本章將對比羅巴切夫斯基和波雅伊的工作，強調他們作為“非歐幾何之父”的共同地位。更重要的是，波雅伊在給父親的信中錶達瞭對這種新幾何的強烈信念：“我所創造的世界是如此清晰和純粹，以至於我敢於斷言，它比歐幾裏得世界更符閤人類理性的結構。” 通過對比兩位奠基人的視角，我們將探討一個深刻的哲學問題：數學真理的相對性——如果兩個互相矛盾的體係都能被嚴格地邏輯證明，那麼“真理”的含義究竟是什麼？ --- 第四部分：黎曼的廣義空間——橢圓幾何與麯率概念的升華 如果說羅巴切夫斯基的世界是“負麯率”的，那麼 Bernhard Riemann 則將幾何學的想象力推嚮瞭極緻。裏曼沒有直接否定第五公設，而是采用瞭一種更為根本和優雅的方法：考察空間麯率的概念。 裏曼引入瞭麯率（Curvature）這一核心概念，並提齣瞭一個普適的框架： 1. 正麯率空間（橢圓幾何）： 對應於球麵幾何。在這裏，第五公設被徹底否定，任何兩條“直綫”（測地綫）都必然相交。我們將分析球麵幾何中三角形內角和大於180度的現象，以及“直綫”封閉性的特徵。 2. 零麯率空間： 即我們熟悉的歐幾裏得平麵。 3. 負麯率空間： 即雙麯幾何。 裏曼的洞察力在於，他不再將幾何視為對特定公理的選擇，而是將幾何視為對空間內在屬性（麯率）的描述。他發展瞭黎曼幾何的微分工具，這使得對任意彎麯流形（Manifold）上的幾何性質的研究成為可能。 本章的重點在於理解“測地綫”的概念——空間中兩點間最短的路徑。在彎麯空間中，測地綫不再是直綫，但其局部性質依然符閤歐氏幾何的直覺，這正是連接新舊世界的橋梁。 --- 第五部分：從理論構想到物理現實的印證 非歐幾何的建立在十九世紀被視為純粹的數學遊戲，一個美妙但可能與物理世界無關的抽象結構。然而，曆史的車輪滾滾嚮前，愛因斯坦的廣義相對論將這些抽象的數學工具帶入瞭物理學的核心。 我們將詳細闡述愛因斯坦如何采納瞭黎曼的幾何思想： 1. 引力即時空的彎麯： 廣義相對論的基本假設是，物質和能量決定瞭時空的幾何結構。質量導緻時空彎麯，而物體（包括光）的運動軌跡——即測地綫——遵循這一彎麯幾何的法則。 2. 光綫偏摺與水星近日點進動： 我們將迴顧那些關鍵的物理觀測，它們直接印證瞭牛頓力學框架下無法解釋的現象，而隻有藉助黎曼幾何纔能得到精確描述。這錶明，我們所處的宇宙空間，在宏觀尺度上，並非嚴格的歐氏平麵，而是某種形式的彎麯時空。 --- 結語：空間的新紀元 《非歐幾何的瑰麗圖景》旨在嚮讀者展示，人類思想的疆界是如何被一次次的“不可能”所拓展的。從對第五公設的固守到對麯率的深刻理解，非歐幾何不僅是數學史上一次輝煌的勝利，更是我們理解宇宙結構和物理定律的基石。它教會我們，最基本的“常識”也可能隻是特定環境下的特殊情況，而真正的真理往往隱藏在那些看似最反直覺的邏輯推演之中。本書描繪瞭從純粹的幾何思辨到深刻的宇宙物理洞察的完整軌跡。

評分☆☆☆☆☆

這本“Cauchy不等式 下”似乎在探討一些非常基礎且重要的數學概念，盡管書名聽起來有些專業，但我相信它一定能觸及到很多數學學習者都曾遇到過的知識點。我特彆期待書中是否會涉及到不等式證明的一些巧妙技巧，或者是有一些我從未見過的、能夠啓發思路的解題方法。數學的學習過程，很多時候就是不斷地在理解和掌握這些工具的過程中，提升自己的邏輯思維和解決問題的能力。一本好的數學書，應該能夠點燃讀者的好奇心，引導他們去探索數學的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

關於這本書的“下”冊，我很好奇它會涉及哪些Cauchy不等式更進一步的討論。是不是會涉及到一些更抽象的數學背景，比如在函數空間裏的泛函分析，或者是在更復雜的數學結構中的應用？對於一些數學愛好者來說，能夠從經典不等式齣發，看到數學理論的層層遞進和廣泛聯係，是一種極大的精神享受。我也希望這本書的語言風格不會過於晦澀，能夠讓有一定數學基礎的讀者都能有所收獲，而不是僅僅局限於非常高深的領域。

評分☆☆☆☆☆

我最近在做一些數學競賽的準備，其中Cauchy不等式是經常齣現的一個重點。我希望這本書能夠提供一些深入的講解，包括不等式的各種等價形式、在幾何和代數問題中的應用，以及一些高級的證明技巧。競賽題目往往是韆變萬化的，對一個數學工具的理解越透徹，越能靈活地運用它來解決各種難題。我尤其希望能在這本書中找到一些能夠幫助我突破思維瓶頸，甚至是一些“點石成金”般的解題思路。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計倒是挺彆緻的，封麵采用瞭一種帶有肌理感的紙張，觸感溫潤，顔色是那種很沉靜的墨藍色，上麵用燙銀的字體印著書名“Cauchy不等式 下”。整體給人一種低調而有深度的感覺，很符閤我對一本數學專著的期待。翻開扉頁，紙張的厚度適中，印刷清晰，沒有絲毫的暈染。目錄的排版也很有條理，清晰地展示瞭各個章節的脈絡。我個人比較注重書籍的紙質和印刷質量，因為閱讀體驗是很重要的，一本好的書，即使內容再晦澀，精良的製作也能在一定程度上緩解閱讀的疲勞。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學中的一些經典不等式很感興趣，尤其是一些能夠貫穿不同數學分支的工具性不等式。聽聞這本書探討的是Cauchy不等式，這讓我非常好奇它在這本書中會被如何展開。我設想作者可能會從不等式的基本形式齣發，然後深入到各種變體、推廣，以及它在微積分、綫性代數、概率論等不同領域中的應用。這本書的“下”字，也暗示瞭它可能並非是單一本內容的羅列，而是有著一個更為宏大的體係，或許上半部分已經奠定瞭基礎，而“下”則將帶領我們進入更深層次的探索。