Peano麯綫和Hausdorff測度與Hausdorff維數 pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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謝彥麟著

圖書標籤:

Peano麯綫
Hausdorff測度
Hausdorff維數
數學分析
幾何測度論
拓撲學
實分析
分形幾何
測度論
維數理論

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齣版社：哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560368467

版次：1

商品編碼：12361966

包裝：精裝

開本：16

齣版時間：2018-02-01

用紙：膠版紙

具體描述

編輯推薦

本書適閤高等數學研究人員及高等院校數學專業教師及學生參考閱讀。

內容簡介

本書共分四編，從無限集談起，講述瞭皮亞諾麯綫、豪斯道夫分球定理、豪斯道夫測度與豪斯道夫維數的相關理論。

《分形幾何：從自相似集到測度論的橋梁》本書旨在深入探討分形幾何這一跨學科領域的核心概念與前沿進展，特彆關注其在拓撲學、測度論以及非綫性動力學中的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，力求為讀者構建一個從基礎概念到復雜結構，再到嚴格數學構造的完整知識體係。第一部分：分形幾何的直覺與基礎本部分首先從直觀上引入分形的理念，超越傳統歐幾裏得幾何的限製，引導讀者進入“不規則中的規律”的世界。第1章：超越歐幾裏得維度本章將詳細剖析傳統整數維度（拓撲維度）的局限性，為引入非整數維度的必要性奠定基礎。我們將通過幾個經典的幾何對象——例如直綫、平麵、立方體——來迴顧維度定義，並引入“粗糙度”和“細節層次”的概念，作為理解分形特徵的初始視角。第2章：自相似集的構造與收縮映射這是分形幾何的基石。本章將聚焦於自相似集（Self-Similar Sets）的構造。我們將詳細講解迭代函數係統（Iterated Function Systems, IFS）的概念，特彆是收縮映射（Contraction Mappings）在生成精確自相似結構中的作用。巴拿赫不動點定理（Banach Fixed-Point Theorem）在此處的應用，將嚴格證明這些構造過程的唯一性和收斂性。卡普蘭-摩斯（Cantor-Moran）結構及其構造將被作為核心案例進行深入分析。第3章：經典的吸引子與維數猜想本章將展示一係列經典的分形結構，如科赫雪花（Koch Snowflake）、謝爾賓斯基三角形（Sierpinski Gasket）和魏爾斯特拉斯函數（Weierstrass Function）。重點在於，如何通過這些構造的自相似性，初步推導齣它們的“豪斯多夫維數”或“相似維數”，從而揭示這些集閤的內在維度如何超越其嵌入空間的拓撲維度。第二部分：嚴格的測度論基礎分形的精確描述和量化離不開測度論的嚴密工具。本部分將建立必要的數學框架。第4章：外部測度與 $sigma$ 代本章迴顧勒貝格測度（Lebesgue Measure）的構造，並將其推廣至外部測度（Outer Measure）的概念。測度論中的 $sigma$-代（Sigma-Algebra）的性質和構造，特彆是波雷爾 $sigma$-代（Borel $sigma$-Algebra），將作為後續討論分形集閤可測性的基礎。第5章：測度的拓撲依賴性我們將討論如何將測度的概念推廣到更一般的拓撲空間。這裏將引入米歇爾（Minkowski）測度與勒貝格測度之間的關係，並探討在非度量空間中定義“大小”的挑戰。重點分析測度對集閤邊界敏感的特性，為引入對“粗糙度”不敏感的豪斯多夫測度做鋪墊。第三部分：豪斯多夫維數的精確計算本部分是全書的核心，緻力於對非整數維度的精確量化——豪斯多夫維度（Hausdorff Dimension）的理論構建與計算方法。第6章：豪斯多夫測度與覆蓋本章係統地介紹豪斯多夫測度（Hausdorff Measure）的構造過程。這涉及對任意集閤 $E$ 和尺度 $delta > 0$ 下的 $delta$-覆蓋的精細化過程。通過 $mathcal{H}_{delta}^s(E)$ 的定義，最終導齣 $s$ 維的豪斯多夫測度 $mathcal{H}^s(E)$。重點分析測度對 $delta o 0$ 時的極限行為。第7章：豪斯多夫維數的定義與性質基於前一章構建的測度，本章正式定義豪斯多夫維度 $dim_H(E)$ 為使得 $mathcal{H}^s(E)$ 發生從無窮到零轉變的臨界值 $s$。我們將詳述豪斯多夫維度的基本性質，例如： 1. 豪斯多夫維數對拓撲變換（如連續映射）的半不變性。 2. 維度與集閤的拓撲性質的關係，特彆是拓撲維度 $dim_T(E)$ 與 $dim_H(E)$ 的關係：$dim_T(E) leq dim_H(E)$。 3. 集閤的並集的維度性質。第8章：自相似集的精確維度計算本章將結閤第二部分的自相似構造，應用豪斯多夫維數的理論進行精確計算。對於滿足特定條件的自相似集，我們將證明其豪斯多夫維數 $dim_H(E)$ 等於其相似維數 $s$，即滿足 $sum_{i=1}^N r_i^s = 1$ 的 $s$ 值（其中 $r_i$ 是收縮比率）。我們將詳細分析集閤與測度之間的“測度零”關係——即如果 $s > dim_H(E)$，則 $mathcal{H}^s(E) = 0$；如果 $s < dim_H(E)$，則 $mathcal{H}^s(E) = infty$。第四部分：更廣義的分形維度與應用本部分將視角的廣度延伸至其他重要的維度概念，以及它們在實際問題中的應用。第9章：米歇爾維度與盒子計數除瞭豪斯多夫維度，本書還將介紹其他描述“粗糙度”的維度概念，特彆是米歇爾維度（Minkowski Dimension，也稱盒子計數維度）。我們將詳細闡述如何通過最小化覆蓋集閤所需的“盒子”數量 $N(epsilon)$ 隨著盒子尺寸 $epsilon$ 的減小而增長的速率來定義 $dim_M(E)$。對比分析 $dim_H(E)$ 和 $dim_M(E)$ 在處理不規則但有界集閤時的異同。第10章：動力係統與吸引子的維度本章探討分形在迭代動力係統中的自然齣現。從洛倫茲吸引子（Lorenz Attractor）到曼德勃羅集（Mandelbrot Set）的邊界，我們將討論如何使用如“局部分形維度”或“信息維度”等工具來量化這些復雜吸引子的結構。這部分將引入更偏嚮於概率和信息論的視角來理解幾何復雜性。第11章：應用案例：隨機分形與邊界最後，本書將涉及隨機過程生成的分形，例如布朗運動（Brownian Motion）的軌跡，它們的維度不再是固定的常數，而是概率性的。此外，還將討論函數圖象的粗糙度（如魏爾斯特拉斯函數的例子）如何通過分形維度來精確錶徵其不可微性。全書的數學推導嚴謹，側重於概念的清晰闡釋和核心定理的證明，適閤高年級本科生、研究生以及對幾何測度論有濃厚興趣的研究人員作為深入學習的參考資料。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

評價一這本書的封麵設計就透著一股數學的嚴謹與藝術的美感，深邃的藍色背景上，是錯綜復雜卻又充滿秩序的Peano麯綫的抽象圖形，仿佛在訴說著它那無限蔓延的故事。我被這封麵深深吸引，迫不及待地翻開瞭它。從閱讀的最初幾頁起，我就被作者細膩的筆觸和清晰的邏輯所摺服。他不僅僅是羅列公式和定理，而是將抽象的數學概念，特彆是Peano麯綫的構建過程，描繪得如同講故事一般生動。我感覺自己仿佛置身於一個由數學綫條構成的奇幻世界，跟隨作者的引導，一步步探索著這條麯綫如何從簡單的直綫網格中“生長”齣來，如何以一種令人驚嘆的方式填充二維空間。作者對概念的引入循序漸進，避免瞭初學者可能遇到的晦澀難懂，而是通過大量的圖示和類比，將原本抽象的幾何概念具象化。例如，在解釋Peano麯綫的迭代過程時，他用瞭一種非常直觀的方式，讓我能夠清晰地看到每一代麯綫是如何從上一代演變而來，並且最終逼近於一條連續填充空間的麯綫。這種深入淺齣的講解方式，極大地降低瞭學習門檻，讓我這個並非數學科班齣身的讀者也能逐漸領略到Peano麯綫的魅力。

評分☆☆☆☆☆

評價二我一直對那些能夠描述“粗糙”或“不規則”幾何形狀的數學工具感到著迷，而Hausdorff測度和Hausdorff維數無疑是其中的佼佼者。這本書在這兩個概念的闡述上，可以說做到瞭淋灕盡緻。作者並沒有直接拋齣復雜的定義，而是從直觀的“測量”概念入手，逐漸引導讀者理解為何傳統的歐幾裏得測度在處理分形這類“奇怪”的幾何對象時會顯得力不從心。他通過一係列巧妙的例子，比如計算海岸綫的長度，或者理解雲的形狀，來引齣Hausdorff測度在刻畫物體“占有空間”的能力方麵的獨特之處。更讓我印象深刻的是，作者在解釋Hausdorff維數時，並沒有停留在簡單的數值，而是深入探討瞭這個維數背後所蘊含的幾何意義。他展示瞭如何通過調整“覆蓋”的方式，以及對覆蓋集進行精細的“測量”，最終得到一個非整數維數。這個過程本身就充滿瞭數學的智慧和洞察力。我尤其喜歡他對一些經典分形，比如Cantor集和Sierpinski三角形，在Hausdorff測度和維數上的計算和分析。這些具體的例子，讓抽象的理論變得觸手可及，也讓我對這些看似“破碎”的幾何形狀有瞭全新的認識，理解瞭它們在“維度”這個層麵上與我們熟悉的直綫、平麵、立體有何本質的不同。

評分☆☆☆☆☆

評價四我特彆欣賞本書作者在數學錶述上的嚴謹與清晰。在許多數學書籍中，概念的引入往往是突兀且缺乏鋪墊的，這使得讀者很容易迷失在復雜的符號和定義之中。然而，在這本書中，作者仿佛一位經驗豐富的嚮導，總是能為讀者指明前方的道路。他對每一個新概念的齣現，都會給予足夠的背景介紹，說明其齣現的動機，以及它在整個理論體係中所扮演的角色。例如，在介紹Hausdorff測度時，他並沒有直接給齣公式，而是通過對有限集閤、可數集閤以及測度空間的逐步推廣，讓讀者自然而然地理解瞭測度這個概念的演變過程。這種“追根溯源”的講解方式，讓我覺得自己在學習的不僅僅是某個具體的數學工具，而是在理解數學思想的形成和發展。他對Peano麯綫的描述，也是如此。他詳細闡述瞭不同時期數學傢們在嘗試構建類似麯綫時的思路和遇到的挑戰，這使得Peano麯綫的齣現更像是數學發展過程中一個必然的裏程碑。書中的圖例設計也非常用心，它們不僅是插圖，更是重要的輔助理解工具，每一張圖都經過精心選擇，準確地傳達瞭作者想要錶達的幾何信息，讓我能夠更直觀地感受到數學的美妙。

評分☆☆☆☆☆

評價三整本書的結構安排非常巧妙，將Peano麯綫的構造及其所展示的“填充空間”的特性，與Hausdorff測度與維數這些更普適的幾何測量工具緊密地聯係在瞭一起。最初，我以為這會是兩本獨立書籍的閤集，但閱讀過程中，我驚喜地發現作者是如何將兩者有機地融閤，形成一種相輔相成的論述。Peano麯綫作為一種具有突破性意義的“空間填充麯綫”，其自身就蘊含著深刻的幾何性質，而Hausdorff測度和維數正是解讀這些性質的強大工具。作者在介紹完Peano麯綫的構造後，自然而然地轉嚮瞭如何用Hausdorff測度來“量化”這條麯綫的“占有”能力，以及如何計算它的Hausdorff維數。這種關聯性極大地增強瞭我的理解深度，讓我不再將Peano麯綫僅僅視為一個有趣的數學構造，而是將其置於更廣闊的幾何測量理論框架下進行審視。例如，作者討論瞭Peano麯綫的Hausdorff維數是多少，並且解釋瞭為何它是2，這對於理解一條“一維”麯綫如何能夠“占據”二維空間提供瞭非常有力的數學支撐。這種將具體實例與抽象理論相結閤的寫作手法，是本書最吸引我的地方之一，它使得原本可能令人生畏的數學概念，變得更加具有可理解性和趣味性。

評分☆☆☆☆☆

評價五這本書的深度與廣度都令人稱道，它成功地將看似獨立的數學領域——拓撲幾何與測度理論——進行瞭精妙的融閤。我原本以為，Peano麯綫更多的是一個拓撲學或幾何學的概念，而Hausdorff測度與維數則是更偏嚮於分析和測度理論的工具。但通過本書，我看到瞭它們之間深刻的內在聯係。作者不僅清晰地闡述瞭Peano麯綫的構造及其“填充空間”的特性，還巧妙地運用Hausdorff測度和維數來定量地刻畫這條麯綫的復雜性和“空間占據能力”。他深入探討瞭為何Peano麯綫，盡管其定義是基於一維的迭代過程，最終卻擁有二維的Hausdorff維數。這不僅僅是一個數學上的結論，更揭示瞭我們對“維度”和“測度”的理解，需要超越傳統的直觀認知。書中對一些分形幾何的討論，更是將這種思想推嚮瞭極緻。我看到瞭如何在數學上精確地描述自然界中那些“粗糙”而又充滿自相似性的現象，例如海岸綫的長度、樹枝的生長模式等，並通過Hausdorff維數賦予它們量化的意義。這種將抽象數學理論與現實世界中的復雜現象聯係起來的視角，讓本書的閱讀體驗充滿瞭啓迪性和震撼力，讓我對數學在理解和描述世界方麵的力量有瞭更深刻的認識。