Peano曲线和Hausdorff测度与Hausdorff维数 pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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谢彦麟著

图书标签:

Peano曲线
Hausdorff测度
Hausdorff维数
数学分析
几何测度论
拓扑学
实分析
分形几何
测度论
维数理论

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出版社：哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560368467

版次：1

商品编码：12361966

包装：精装

开本：16

出版时间：2018-02-01

用纸：胶版纸

具体描述

编辑推荐

本书适合高等数学研究人员及高等院校数学专业教师及学生参考阅读。

内容简介

本书共分四编，从无限集谈起，讲述了皮亚诺曲线、豪斯道夫分球定理、豪斯道夫测度与豪斯道夫维数的相关理论。

《分形几何：从自相似集到测度论的桥梁》本书旨在深入探讨分形几何这一跨学科领域的核心概念与前沿进展，特别关注其在拓扑学、测度论以及非线性动力学中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求为读者构建一个从基础概念到复杂结构，再到严格数学构造的完整知识体系。第一部分：分形几何的直觉与基础本部分首先从直观上引入分形的理念，超越传统欧几里得几何的限制，引导读者进入“不规则中的规律”的世界。第1章：超越欧几里得维度本章将详细剖析传统整数维度（拓扑维度）的局限性，为引入非整数维度的必要性奠定基础。我们将通过几个经典的几何对象——例如直线、平面、立方体——来回顾维度定义，并引入“粗糙度”和“细节层次”的概念，作为理解分形特征的初始视角。第2章：自相似集的构造与收缩映射这是分形几何的基石。本章将聚焦于自相似集（Self-Similar Sets）的构造。我们将详细讲解迭代函数系统（Iterated Function Systems, IFS）的概念，特别是收缩映射（Contraction Mappings）在生成精确自相似结构中的作用。巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）在此处的应用，将严格证明这些构造过程的唯一性和收敛性。卡普兰-摩斯（Cantor-Moran）结构及其构造将被作为核心案例进行深入分析。第3章：经典的吸引子与维数猜想本章将展示一系列经典的分形结构，如科赫雪花（Koch Snowflake）、谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Gasket）和魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass Function）。重点在于，如何通过这些构造的自相似性，初步推导出它们的“豪斯多夫维数”或“相似维数”，从而揭示这些集合的内在维度如何超越其嵌入空间的拓扑维度。第二部分：严格的测度论基础分形的精确描述和量化离不开测度论的严密工具。本部分将建立必要的数学框架。第4章：外部测度与 $sigma$ 代本章回顾勒贝格测度（Lebesgue Measure）的构造，并将其推广至外部测度（Outer Measure）的概念。测度论中的 $sigma$-代（Sigma-Algebra）的性质和构造，特别是波雷尔 $sigma$-代（Borel $sigma$-Algebra），将作为后续讨论分形集合可测性的基础。第5章：测度的拓扑依赖性我们将讨论如何将测度的概念推广到更一般的拓扑空间。这里将引入米歇尔（Minkowski）测度与勒贝格测度之间的关系，并探讨在非度量空间中定义“大小”的挑战。重点分析测度对集合边界敏感的特性，为引入对“粗糙度”不敏感的豪斯多夫测度做铺垫。第三部分：豪斯多夫维数的精确计算本部分是全书的核心，致力于对非整数维度的精确量化——豪斯多夫维度（Hausdorff Dimension）的理论构建与计算方法。第6章：豪斯多夫测度与覆盖本章系统地介绍豪斯多夫测度（Hausdorff Measure）的构造过程。这涉及对任意集合 $E$ 和尺度 $delta > 0$ 下的 $delta$-覆盖的精细化过程。通过 $mathcal{H}_{delta}^s(E)$ 的定义，最终导出 $s$ 维的豪斯多夫测度 $mathcal{H}^s(E)$。重点分析测度对 $delta o 0$ 时的极限行为。第7章：豪斯多夫维数的定义与性质基于前一章构建的测度，本章正式定义豪斯多夫维度 $dim_H(E)$ 为使得 $mathcal{H}^s(E)$ 发生从无穷到零转变的临界值 $s$。我们将详述豪斯多夫维度的基本性质，例如： 1. 豪斯多夫维数对拓扑变换（如连续映射）的半不变性。 2. 维度与集合的拓扑性质的关系，特别是拓扑维度 $dim_T(E)$ 与 $dim_H(E)$ 的关系：$dim_T(E) leq dim_H(E)$。 3. 集合的并集的维度性质。第8章：自相似集的精确维度计算本章将结合第二部分的自相似构造，应用豪斯多夫维数的理论进行精确计算。对于满足特定条件的自相似集，我们将证明其豪斯多夫维数 $dim_H(E)$ 等于其相似维数 $s$，即满足 $sum_{i=1}^N r_i^s = 1$ 的 $s$ 值（其中 $r_i$ 是收缩比率）。我们将详细分析集合与测度之间的“测度零”关系——即如果 $s > dim_H(E)$，则 $mathcal{H}^s(E) = 0$；如果 $s < dim_H(E)$，则 $mathcal{H}^s(E) = infty$。第四部分：更广义的分形维度与应用本部分将视角的广度延伸至其他重要的维度概念，以及它们在实际问题中的应用。第9章：米歇尔维度与盒子计数除了豪斯多夫维度，本书还将介绍其他描述“粗糙度”的维度概念，特别是米歇尔维度（Minkowski Dimension，也称盒子计数维度）。我们将详细阐述如何通过最小化覆盖集合所需的“盒子”数量 $N(epsilon)$ 随着盒子尺寸 $epsilon$ 的减小而增长的速率来定义 $dim_M(E)$。对比分析 $dim_H(E)$ 和 $dim_M(E)$ 在处理不规则但有界集合时的异同。第10章：动力系统与吸引子的维度本章探讨分形在迭代动力系统中的自然出现。从洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）到曼德勃罗集（Mandelbrot Set）的边界，我们将讨论如何使用如“局部分形维度”或“信息维度”等工具来量化这些复杂吸引子的结构。这部分将引入更偏向于概率和信息论的视角来理解几何复杂性。第11章：应用案例：随机分形与边界最后，本书将涉及随机过程生成的分形，例如布朗运动（Brownian Motion）的轨迹，它们的维度不再是固定的常数，而是概率性的。此外，还将讨论函数图象的粗糙度（如魏尔斯特拉斯函数的例子）如何通过分形维度来精确表征其不可微性。全书的数学推导严谨，侧重于概念的清晰阐释和核心定理的证明，适合高年级本科生、研究生以及对几何测度论有浓厚兴趣的研究人员作为深入学习的参考资料。

用户评价

评分☆☆☆☆☆

评价三整本书的结构安排非常巧妙，将Peano曲线的构造及其所展示的“填充空间”的特性，与Hausdorff测度与维数这些更普适的几何测量工具紧密地联系在了一起。最初，我以为这会是两本独立书籍的合集，但阅读过程中，我惊喜地发现作者是如何将两者有机地融合，形成一种相辅相成的论述。Peano曲线作为一种具有突破性意义的“空间填充曲线”，其自身就蕴含着深刻的几何性质，而Hausdorff测度和维数正是解读这些性质的强大工具。作者在介绍完Peano曲线的构造后，自然而然地转向了如何用Hausdorff测度来“量化”这条曲线的“占有”能力，以及如何计算它的Hausdorff维数。这种关联性极大地增强了我的理解深度，让我不再将Peano曲线仅仅视为一个有趣的数学构造，而是将其置于更广阔的几何测量理论框架下进行审视。例如，作者讨论了Peano曲线的Hausdorff维数是多少，并且解释了为何它是2，这对于理解一条“一维”曲线如何能够“占据”二维空间提供了非常有力的数学支撑。这种将具体实例与抽象理论相结合的写作手法，是本书最吸引我的地方之一，它使得原本可能令人生畏的数学概念，变得更加具有可理解性和趣味性。

评分☆☆☆☆☆

评价二我一直对那些能够描述“粗糙”或“不规则”几何形状的数学工具感到着迷，而Hausdorff测度和Hausdorff维数无疑是其中的佼佼者。这本书在这两个概念的阐述上，可以说做到了淋漓尽致。作者并没有直接抛出复杂的定义，而是从直观的“测量”概念入手，逐渐引导读者理解为何传统的欧几里得测度在处理分形这类“奇怪”的几何对象时会显得力不从心。他通过一系列巧妙的例子，比如计算海岸线的长度，或者理解云的形状，来引出Hausdorff测度在刻画物体“占有空间”的能力方面的独特之处。更让我印象深刻的是，作者在解释Hausdorff维数时，并没有停留在简单的数值，而是深入探讨了这个维数背后所蕴含的几何意义。他展示了如何通过调整“覆盖”的方式，以及对覆盖集进行精细的“测量”，最终得到一个非整数维数。这个过程本身就充满了数学的智慧和洞察力。我尤其喜欢他对一些经典分形，比如Cantor集和Sierpinski三角形，在Hausdorff测度和维数上的计算和分析。这些具体的例子，让抽象的理论变得触手可及，也让我对这些看似“破碎”的几何形状有了全新的认识，理解了它们在“维度”这个层面上与我们熟悉的直线、平面、立体有何本质的不同。

评分☆☆☆☆☆

评价一这本书的封面设计就透着一股数学的严谨与艺术的美感，深邃的蓝色背景上，是错综复杂却又充满秩序的Peano曲线的抽象图形，仿佛在诉说着它那无限蔓延的故事。我被这封面深深吸引，迫不及待地翻开了它。从阅读的最初几页起，我就被作者细腻的笔触和清晰的逻辑所折服。他不仅仅是罗列公式和定理，而是将抽象的数学概念，特别是Peano曲线的构建过程，描绘得如同讲故事一般生动。我感觉自己仿佛置身于一个由数学线条构成的奇幻世界，跟随作者的引导，一步步探索着这条曲线如何从简单的直线网格中“生长”出来，如何以一种令人惊叹的方式填充二维空间。作者对概念的引入循序渐进，避免了初学者可能遇到的晦涩难懂，而是通过大量的图示和类比，将原本抽象的几何概念具象化。例如，在解释Peano曲线的迭代过程时，他用了一种非常直观的方式，让我能够清晰地看到每一代曲线是如何从上一代演变而来，并且最终逼近于一条连续填充空间的曲线。这种深入浅出的讲解方式，极大地降低了学习门槛，让我这个并非数学科班出身的读者也能逐渐领略到Peano曲线的魅力。

评分☆☆☆☆☆

评价四我特别欣赏本书作者在数学表述上的严谨与清晰。在许多数学书籍中，概念的引入往往是突兀且缺乏铺垫的，这使得读者很容易迷失在复杂的符号和定义之中。然而，在这本书中，作者仿佛一位经验丰富的向导，总是能为读者指明前方的道路。他对每一个新概念的出现，都会给予足够的背景介绍，说明其出现的动机，以及它在整个理论体系中所扮演的角色。例如，在介绍Hausdorff测度时，他并没有直接给出公式，而是通过对有限集合、可数集合以及测度空间的逐步推广，让读者自然而然地理解了测度这个概念的演变过程。这种“追根溯源”的讲解方式，让我觉得自己在学习的不仅仅是某个具体的数学工具，而是在理解数学思想的形成和发展。他对Peano曲线的描述，也是如此。他详细阐述了不同时期数学家们在尝试构建类似曲线时的思路和遇到的挑战，这使得Peano曲线的出现更像是数学发展过程中一个必然的里程碑。书中的图例设计也非常用心，它们不仅是插图，更是重要的辅助理解工具，每一张图都经过精心选择，准确地传达了作者想要表达的几何信息，让我能够更直观地感受到数学的美妙。

评分☆☆☆☆☆

评价五这本书的深度与广度都令人称道，它成功地将看似独立的数学领域——拓扑几何与测度理论——进行了精妙的融合。我原本以为，Peano曲线更多的是一个拓扑学或几何学的概念，而Hausdorff测度与维数则是更偏向于分析和测度理论的工具。但通过本书，我看到了它们之间深刻的内在联系。作者不仅清晰地阐述了Peano曲线的构造及其“填充空间”的特性，还巧妙地运用Hausdorff测度和维数来定量地刻画这条曲线的复杂性和“空间占据能力”。他深入探讨了为何Peano曲线，尽管其定义是基于一维的迭代过程，最终却拥有二维的Hausdorff维数。这不仅仅是一个数学上的结论，更揭示了我们对“维度”和“测度”的理解，需要超越传统的直观认知。书中对一些分形几何的讨论，更是将这种思想推向了极致。我看到了如何在数学上精确地描述自然界中那些“粗糙”而又充满自相似性的现象，例如海岸线的长度、树枝的生长模式等，并通过Hausdorff维数赋予它们量化的意义。这种将抽象数学理论与现实世界中的复杂现象联系起来的视角，让本书的阅读体验充满了启迪性和震撼力，让我对数学在理解和描述世界方面的力量有了更深刻的认识。