拓扑动力系统——从拓扑方法到遍历理论方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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周作领，尹建东，许绍元 著

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• 拓扑动力系统
• 动力系统
• 拓扑学
• 遍历理论
• 数学
• 非线性动力学
• 混沌
• 相空间
• 时间序列分析
• 常微分方程

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出版社： 科学出版社有限责任公司

ISBN：9787030325860

商品编码：27463120521

包装：平装

出版时间：2017-12-01

基本信息

书名：拓扑动力系统——从拓扑方法到遍历理论方法

定价：98.00元

作者：周作领,尹建东,许绍元

出版社：科学出版社有限责任公司

出版日期：2017-12-01

ISBN：9787030325860

字数：

页码：

版次：31

装帧：平装

开本：

商品重量：0.359kg

编辑推荐

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内容提要

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1）从一维动力系统、符号动力系统、到一般动力系统，从纯拓扑方法到结合遍历理论方法到引进分形几何方法，作者30年来对拓扑动力系统进行了全面研究，得到一系列重要结果。本书将全面总结这些研究成果，他们将构成本书的主要内容。除一些基本内容外，所有内容将取材于作者的研究成果。（2）拓扑动力系统是当前外研究的热点之一，外各种流派甚多。作者在一般拓扑动力系统研究中，曾引进弱和拟弱几乎周期性和测度中心概念，被已故廖山涛教授评价为'观点方法新颖，引人入胜'。作者从这些概念出发，建立起一套与众不同的研究体系，这将是本书阐述的主导思想。本书属基础理论研究，理论意义大于实际应用意义。（3）外拓扑动力系统各种出版物甚多，多为教材，专著不多。本书为专著，主要阐述作者自己的成果和思想，即以弱和拟弱几乎周期性及测度中心概念为核心的与众不同的研究体系。本书将采取边叙边议边提问题的写作方式，对拓扑动力系统从一维动

目录

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作者介绍

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文摘

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序言

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随机过程与随机动力系统导论 本书旨在为读者提供一个全面而深入的随机过程与随机动力系统领域的导论。内容涵盖了从经典概率论基础到现代随机动力系统前沿理论的广泛知识体系，重点在于连接纯粹的数学理论与在物理、工程、金融等领域中的实际应用。 全书结构严谨，逻辑清晰，旨在培养读者扎实的理论功底和解决实际问题的能力。我们从概率论的基石出发，逐步过渡到更复杂的随机现象的建模与分析。 --- 第一部分：概率论与随机变量基础回顾 本部分作为后续高级主题的铺垫，系统性地回顾和深化了读者对现代概率论核心概念的理解。 第一章：测度论基础与概率空间 本章详细阐述了勒贝格积分理论在概率论中的应用基础。我们从$sigma$-代数、可测空间的概念入手，严格定义了概率测度，并引入了$sigma$-有限测度的概念及其重要性。随机变量被定义为可测函数，并讨论了随机变量的分布函数、特征函数和矩的存在性。重点解析了概率论中常见的收敛概念，如依概率收敛、依分布收敛和几乎必然收敛之间的相互关系和差异，这对于理解随机动力系统的长期行为至关重要。 第二章：经典随机过程 本章聚焦于时间上具有特定依赖结构的随机过程。马尔可夫过程是核心内容，包括离散时间马尔可夫链（DMC）和连续时间马尔可夫链（CTMC）。我们深入分析了转移概率、稳态分布、首达时间等关键概念。特别地，对于不可约、非周期的DMC，我们证明了其存在唯一的稳态分布，并通过Chapman-Kolmogorov方程推导了CTMC的演化规律。此外，本章还对泊松过程进行了详尽的探讨，包括其复合过程和应用，为后续的随机微分方程打下基础。 --- 第二部分：鞅论与信息结构 鞅论是分析随机过程高质量路径性质（如一致性、一致可积性等）的强大工具。本部分将鞅论置于信息论的框架下进行考察。 第三章：鞅与次鞅基础 本章引入了信息流的概念——过滤（Filtration）。基于过滤，我们严格定义了鞅、上鞅（Supermartingale）和下鞅（Submartingale）。我们详细分析了鞅的停止定理（Optional Stopping Theorem），这是许多随机控制和金融定价模型的基础。此外，还探讨了$L^p$有界鞅的性质，以及Doob上鞅不等式的应用，该不等式是证明强大数定律随机版本的重要工具。 第四章：连续时间鞅与随机积分 对于处理连续时间随机现象，标准的马尔可夫链不足以描述。本章过渡到布朗运动（Wiener 过程），它是连续时间随机分析的基石。我们从布朗运动的二次变差和无穷小增量独立性出发，严格定义了伊藤积分（Itô Integral）。我们将伊藤积分的构造扩展到适用于简单的适应过程，并阐述了伊藤等距性质。基于此，本章还介绍了伊藤公式，这是随机微积分中的核心微分法则，用于计算随机函数的微分。 --- 第三部分：随机微分方程（SDEs）及其解的性质 随机微分方程是描述受随机扰动影响的动力学系统的标准数学语言。本部分专注于SDEs的理论解法和解的性质分析。 第五章：一维SDEs的解法与存在性 本章集中讨论形如 $dX_t = a(X_t) dt + b(X_t) dW_t$ 的一维随机微分方程。我们首先讨论了局部欧拉-伊藤解的存在性与唯一性定理，即Picard迭代在随机环境下的收敛性证明。随后，引入了强解和弱解的概念。对于满足适当Lipschitz和线性增长条件的方程，我们证明了解的全局存在性和唯一性。本章还涵盖了如何利用傅里叶变换或特征函数分析特定形式SDE解的分布。 第六章：高维SDEs与随机流 将讨论扩展到多维随机系统。高维SDEs的求解需要依赖张量和矩阵微积分。我们探讨了随机向量场的流（Stochastic Flow）的概念，并讨论了其光滑性（即解对初始条件的依赖性）。重点分析了随机常微分方程（ODEs）在微小随机扰动下的稳定性（如随机稳定性、指数稳定性），并引入了李雅普诺夫函数在随机系统分析中的应用。 --- 第四部分：随机动力系统的稳定性与长期行为 在这一部分，我们将随机分析的工具应用于考察系统在长时间尺度上的统计特性和稳定性。 第七章：随机系统的平稳分布与遍历性 对于一个随机动力系统，如果其统计特性不随时间演化而改变，则系统达到平稳状态。本章着重研究马尔可夫过程的平稳分布。对于满足特定条件的SDEs（例如，具有吸引子的系统），我们利用Fokker-Planck方程（也称为Kolmogorov前向方程）来刻画解的概率密度函数的演化。进一步，我们讨论了遍历性的概念，证明了在满足特定遍历性假设下，时间平均收敛于空间平均，这对于数值模拟和实验验证至关重要。 第八章：随机系统的稳定性分析 稳定性是动力系统中的核心议题。本章区分了轨道稳定性（轨迹的邻近性）和矩稳定性（矩的收敛性）。我们运用基于二次型李雅普诺夫函数的随机稳定性判据，如随机指数稳定性。此外，我们还讨论了随机系统中的吸引子概念，以及如何利用随机收缩映射的理论来确定吸引子的存在性和唯一性。 --- 第五部分：随机系统在特定领域的建模与应用 最后一部分展示了随机过程和SDEs在解决实际工程和科学问题中的威力。 第九章：随机金融中的衍生品定价 本章将随机微积分应用于金融领域。我们介绍了Black-Scholes模型的随机推导过程，将其视为一个具有扩散项的ODE。在此基础上，我们推导了期权定价中的Girsanov定理，该定理允许我们在不同的概率测度（真实世界测度与风险中性测度）之间进行转换，这是无套利定价的核心。 第十章：随机场与偏微分方程 本章探讨了空间上具有随机性的场量——随机偏微分方程（SPDEs）。我们主要关注抽象的随机泛函分析框架，并简要介绍了随机热方程和随机波动方程的弱解概念。重点在于理解随机扰动如何影响场量的空间相关性和长时间尺度的平稳形态，这在材料科学和流体力学中有直接应用。 --- 全书以严谨的数学推导为骨架，辅以大量的实例和应用背景，确保读者不仅掌握理论，更能理解其在真实世界中的价值。本书适合作为数学、物理、工程、金融工程等专业高年级本科生和研究生的教材或参考书。

评分☆☆☆☆☆

从读者的实用角度来看，这本书的习题设计堪称一绝，它们完美地平衡了理论巩固与能力拓展的需求。初级的练习题旨在确保读者完全掌握本章的核心概念和基本计算，比如构造特定性质的动力系统或验证基础的拓扑不变量。而难度较高的挑战题则往往需要读者综合运用前后章节的知识，甚至需要引入书本之外的工具进行创新性的思考。这些难题并非为了刁难而设置，它们大多以“开放式探索”的形式出现，引导读者去探索某一特定动力系统家族的未解之谜或特定参数范围下的临界行为。我个人花费了大量时间在这些挑战题上，虽然过程充满挫折，但每当攻克一个难题，那种智力上的满足感是无与伦比的。这种精心设计的难度梯度，确保了即便是自学者，也能在不断提升挑战的道路上保持适度的成就感，从而维持持续的学习动力。

评分☆☆☆☆☆

这本书在论证的严密性方面，达到了教科书的顶尖水准。每一个定理的证明都力求详尽无遗，逻辑链条清晰可见，几乎没有需要读者自行“脑补”的跳跃之处。特别是在处理那些涉及高维空间或抽象结构的问题时，作者展现了高超的表达技巧，能够将原本晦涩的数学推理过程，转化为可以被清晰追踪的步骤。我尤其喜欢它在证明末尾加入的“思考提示”部分，这些提示往往不是对证明本身的重复，而是对证明背后蕴含的数学思想的提炼与升华，比如指出某个关键引理的普适性或局限性。这使得这本书超越了单纯的知识传递，更像是在培养读者的数学直觉和批判性思维。我发现自己不再满足于仅仅知道“这个结论是对的”，而是开始思考“为什么是通过这种方式达成的”，这种对内在机制的探究，是真正将知识内化的关键。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计颇具匠心，封面采用了一种沉稳的深蓝色调，搭配着纤细而富有几何感的金色线条，让人在书架上瞥见时，便能感受到一种严谨而深邃的气息。内页的纸张质地细腻，触感温和，即便是长时间阅读，指尖也不会感到疲惫。排版上，作者似乎对细节有着近乎苛求的追求，公式与文字之间的留白恰到好处，使得复杂的数学符号也显得井然有序，极大地降低了阅读时的视觉负担。尤其值得称道的是，书中对于关键概念的引言部分，往往会先用一段通俗易懂的语言进行勾勒，随后再引入严谨的数学定义，这种循序渐进的处理方式，对于那些初次接触动力系统领域的读者来说，无疑是搭建知识桥梁的坚实基石。我特别欣赏它在章节过渡时的设计，图文并茂的插页常常用简洁的示意图来总结前一节的核心思想，为接下来的深入探讨做了完美的铺垫，让人感觉每一次翻页都是一次思维的升级，而不是信息的堆砌。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，虽然本质上是高度专业的数学论述，但却流露着一种超越术语本身的哲学思辨色彩。作者在描述动力系统的演化和长期行为时，所用的词汇和句子结构，偶尔会带有一种宏大叙事的韵味，仿佛在描绘宇宙中粒子永恒的舞蹈。例如，在讨论混沌系统的敏感依赖性时，他没有止步于李雅普诺夫指数的数值定义，而是将其描绘为“时间箭头对初始条件的无情放大”，这种文学性的表达有效地激发了读者对“确定性背后的不确定性”这一核心矛盾的深刻共鸣。这使得阅读体验不再是枯燥的公式推导，而更像是一场与数学家对自然界最深层规律的对话。这种文理兼备的叙述方式，极大地拓宽了读者的视野，让人在掌握工具的同时，也领悟了动力系统研究背后所蕴含的深刻世界观。

评分☆☆☆☆☆

阅读过程中，我深刻体会到作者在构建知识体系上的深厚功力。它并非简单地罗列定理和证明，而是像一位经验丰富的向导，引领读者穿越拓扑学的广袤森林，最终抵达遍历理论的壮丽山巅。书中对基本拓扑概念的阐述极其到位，从连续映射到紧致性，每一个基础的砖块都打磨得光洁坚实，为后续的非线性分析提供了无可挑剔的平台。更令人称道的是，作者在引入复杂工具时，总是会辅以详尽的历史背景和动机分析，让人明白“为什么需要这个工具”以及“这个工具解决了什么核心问题”，而不是孤立地呈现技术细节。这种对问题导向的重视，使得学习过程充满了探索的乐趣。例如，在讨论某一类映射的稳定流形时，作者巧妙地引入了一个历史上的争议案例，通过对该案例的不同拓扑视角分析，自然而然地导出了当前主流理论的优越性，这种叙事手法极大地增强了阅读的代入感和对理论的信服力。