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• 数学
• 陶哲轩
• 大学数学
• 解题技巧
• 繁体
• 港台原版
• 远流出版
• 于青林译
• 预定
• 正版

店铺： 拓特图书专营店

出版社： 1

ISBN：9789573268024

商品编码：28146867887

正文语种：繁体中文

陶哲軒教你聰明解數學

• 作者： 
• 原文作者：
• 譯者：
• 出版社：
• 出版日期：2011/07/01
• 語言：繁體中文

• 定價：280元

• ISBN：9789573268024
• 叢書系列：
• 規格：平裝 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
• 出版地：台灣

內容簡介

陶哲軒是華裔數學天才、目前數學界響噹噹的人物，也是極受學生歡迎的UCLA數學教授。本書寫於15歲，多年來對許多數學資優生、數學家和教育工作者帶來很大啟發。15年後陶哲軒30歲，應英國劍橋大學出版社之邀進行增補與修訂，再次出版。

這是一本愛好數學的中學生談怎樣學數學、解數學題的書。陶哲軒用中學生的語言講數學，優游於數論、代數、歐幾里得與解析幾何等數學領域，處處可見對他對數學之美的讚嘆與樂趣。他舉出一個個實際例子，教導大家從了解問題開始，進而分析問題的本質、討論各種解法的優劣、剔除不合適的方法，後使解題技巧逐漸浮現，並提供許多有趣的練習題。

書中特別著重解題過程的思考，藉由分享自己的經驗、觀察和思考問題的角度，帶領大家一起享受解題的樂趣，無論是中學生與老師、數學系學生或愛好數學的人，都可得到很大的收穫。

作者簡介

陶哲軒（Terence Tao）

1975年生於澳洲，曾於1986、1987、1988年入選國際數學奧林匹亞競賽澳洲代表隊，分別獲得銅、銀、金牌，創下年輕（13歲稚齡）獲得數學奧林匹亞競賽金牌的紀錄，至今無人能打破。

他在20歲獲頒普林斯頓大學博士，21歲起任教於加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學系，25歲成為正教授，31歲更獲頒有「數學界的諾貝爾獎」之稱的費爾茲獎（Fields Medal），是繼1982年的丘成桐之後獲此殊榮的第二位華人，被喻為「數學界的莫札特」。

目前與太太和兒子住在洛杉磯。

譯者簡介

于青林

加拿大西蒙菲莎大學（Simon Fraser University）博士，現任加拿大湯普森河大學（Thompson Rivers University）數學系教授、南開大學特聘教授。于青林教授是知名數學家，先後在國際數學期刊發表30餘篇論文，研究成果受到廣泛應用，曾和加拿大公司合作開發醫療資料庫管理軟體，於2001年獲頒微軟公司的MEC Award。

審訂者簡介

游森棚

曾任教於建中數理資優班，現任高雄大學應用數學系副教授。平日喜歡閱讀、看小說、聽音樂、寫書法、摺紙、跑長跑。曾獲十次北市及台灣區音樂比賽合唱冠軍，並任中華民國國際數學奧林匹亞競賽領隊。著有《我的資優班》。

序

導讀1
看見解答背後的思路
傅承德

數學究竟該怎麼教？怎麼學？

回顧我們從小到大的數學課，多半都是一個既定模式：老師教你一些數學工具，然後告訴你某種數學問題要用什麼工具，另一種數學問題又該用什麼工具。例如老師教你排列組合，然後告訴你三男五女圍著一張圓桌坐要怎麼算；教你三角函數時，告訴你怎麼用正弦定理求三角形的面積。

考試的時候，學生就依樣畫葫蘆。「老師說這題要用排列組合來算」，便套用排列組合的公式。「這題參考書有寫，要用正弦定理」，所以就把正弦定理拿出來用。碰到沒看過的題目，學生兩手一攤：「我沒學過，我不會。」

於是，學生手握諸多神兵利器，卻對於沒見過的問題一點辦法也沒有，除非老師曾經教過，否則他不知道該如何出招。

偏偏世界上大多數的問題老師都沒教，也沒辦法教。在這個日新月異的時代，不論是學術界、實務界、數學奧林匹亞競賽乃至於現實人生，我們都不斷地面對新的問題，全世界沒有人看過，更沒有人知道該如何解答。在這樣的狀況下，我們不能再依靠學校老師給我們解答，因為解答根本還不存在於這個世界上！

因此，我們迫切需要培養「自行尋找解答」的能力。我們需要了解，一個解答是如何「想」出來的：為什麼三男五女的題目要這樣計算？為什麼這個面積要用正弦定理？當初想出這些解答的數學家們面對這些題目時，究竟是如何抽絲剝繭、逐步分析、找出適合的數學工具，並進而求解？

我們需要去看見「解答背後的思路」，才能了解在面對新的問題時如何創造新的解答。

而這便是本書的精髓所在。10歲便成為數學奧林匹亞國手，現今仍繼續活躍於數學界的「神童」陶哲軒教授，在這本書裡將他的解題思路完完整整地攤在諸位面前。他不只告訴各位題目怎麼解，更重要的是，他是如何「想」出這些解答的。藉由這本書，相信讀者可以很清楚地了解到，這些解答不是憑空掉下來的；它是透過逐步分析，一步步歸納出可行的方案，慢慢鋪陳出來的。

它是可以「想」出來的。您也做得到！

本書對於數學的學習與理解幫助甚大，能讓讀者學會如何將課堂上所學到的數學知識轉化為個人的數學能力，故在此推薦給學生、教師、家長以及社會大眾。相信在閱讀本書後，您會對數學這個大部分人覺得「神祕而難以理解」的學科有全新的理解與體悟，並對您在未來人生中思考問題上（不論是哪一類的問題），有非常正面的幫助。

（本文作者為中央大學統計研究所講座教授兼所長，中華民國數學奧林匹亞計畫主持人）

導讀2
頂數學家的年輕熱情
游森棚

讀者手上這本書，是當代閃亮的頂數學家陶哲軒在15歲時寫的一本關於如何解題的手冊。書中藉由一些試題，談談解數學題時的思維和方法。

書中的選題多是不難，卻是需要思考的數學競賽試題。但是說實在，關於解「數學難題」或「解數學競賽題」，市面上已經有太多書，任選一本，內容的深度和蒐羅的廣度大概都超過。如同升學參考書，這類型的書已經發展到有題型整理、有模擬試題、有貼心的重點整理。用這個標準篩選，這本書是排不進來的。

但是如果你真的熱愛數學、關心教育，我要大力推薦陶哲軒的這本書。所有熱愛數學的學生以及有機會教到資優學生的數學老師和家長，都可以讀一讀。為什麼？

首先，這是解題思路的第*手資料。到底難題是怎麼想出來的？這可能是所有在數學裡掙扎的人想知道的一點。這本小書中，作者不藏私地分享他在面對問題時的思緒：怎麼抽絲剝繭、怎麼分析、該選用什麼工具和知識、怎麼找到關鍵點。難得有書這樣寫，所以讀者若能吸收作者的想法，必能在數學的思維上有很多新的領悟和收穫！

再者，普羅大眾都喜歡奇人軼事。陶哲軒的早慧故事讓人津津樂道且目瞪口呆：他出生於1975年，從小就是有名的「天才兒童」，8歲時去考SAT（大學入學考試測驗），滿分800分，他考了760分；他在11、12、13歲（1986、87、88年）參加國際數學奧林匹亞競賽，分別拿到銅牌、銀牌和金牌，而13歲拿金牌，仍然是目前的紀錄保持人；他20歲拿到普林斯頓大學的博士學位，24歲成為加州大學洛杉磯分校（UCLA）的正教授。

以上這些經歷，可能是現今台灣父母夢寐以求的想望，一個如此聰明的「天才兒童」。

但是外行看熱鬧，內行看門道。以上可以當做茶餘飯後的故事，真正值得敬佩的是他接下來的學術成就。截至2011年，陶哲軒已經發表了將近200篇高品質的學術論文。多半學者窮其一生只能專精一、兩個領域，他卻已經可以同時在數個領域，諸如調和分析、偏微分方程、解析數論、組合學等等都走在同行的頂，甚至開創了幾個新的研究方向。

不到40歲，陶哲軒已經得到十多個國際性的學術獎項，包括2000年薩蘭獎（SalemPrize）、2002年博謝獎Salem Prize）（Bocher Prize）、2003年克萊數學研究獎（Clay Research Award）、2008年沃特曼獎（AlanT.WatermanPrize）、2009Alan T. Waterman Prize）年費薩爾國王國際獎（King Faisal International Prize）、2010 年內默斯獎（Nemmers Prize）和波利亞獎（Polya Prize），以及2006年在國際數學家大會上榮獲有「數學界的諾貝爾獎」之稱的費爾茲獎（Fields Medal）。說實話，這些成就已經如同遠在天邊的星星，是多少科學家一輩子無法達到的境界。

因此，不管是學生、老師、家長或學者，面對手上這本書，我們都應該有一點點興奮。這不是一本解題報告，也不是教導如何準備數學競賽的參考書，而是一個當今頂數學家的年輕熱情。這顆年輕的心是如此熱愛數學，熱愛到會想把自己的心得寫成一本小小的冊子，向（那時候還不知道在哪裡的）讀者分享他的喜悅。這是有血有肉的年輕歲月紀錄，這是面對自己熱情的誠實筆記。

我希望讀者能體會我要傳達的意思。藉由這本小書的內容，除了吸收陶哲軒對於解題的思路以外，更值得思考的是，這樣的熱情如何能經過陶冶、淬煉成長而成熟。

這幾年我有一些機會參與國際奧林匹亞競賽選手的選拔及培訓工作，也有幸擔任了2006和2007年的國家代表隊領隊。在頒獎時我總是非常戰慄，打從心底戰慄，因為你知道台上這些年輕的學生不僅聰明又努力，而且他們很有可能會改變這個世界。

種子要開花結果，需要適當的土壤、肥料、水分和陽光；同樣的道理，在台灣聰明的學生到處都是，但更需要的是健康的環境與個人的努力。黑葉荔枝怎麼種也不會變成玉荷包，反而應當好好栽培成甜的黑葉。同樣的道理，發掘自己的熱情和資質擅長所在，專精一致才是正確的方向。

希望這本書的出版不僅讓我們一窺數學的美妙，也讓我們思考一些關於人才養成的深刻問題。

（本文作者為高雄大學應用數學系教授，2006、2007年國際數學奧林匹亞競賽國家代表隊領隊）

推薦文
體驗以簡馭繁的數學美感
曾俊雄

閱讀本書讓我領略到陶哲軒的思維特性，敏銳的直覺、嚴謹的邏輯和藝術般的解題策略與歷程，令人驚讚連連！

你也可以一起動筆想想看、做做看！或找兩、三好友一起PK討論，再對照書中的解法，看看各有何巧妙之處；也可以將陶哲軒當成家庭教師，看他述說如何破題，隨他遨遊解題歷程，一起感受數學以簡馭繁的精神與美感，一起享受碰壁、轉彎、柳暗花明、豁然開朗的解題樂趣！

常有人問：那些「數學天才」解題時的想法果真深奧難懂？他們超凡的洞察力難道來自於神諭？或是解題工具、技巧超乎尋常？我想這位智商220以上、被推崇為聰明科學家的陶哲軒，已提供了他的答案！

（本文作者為台北市立建國高中數理資優班導師暨數學老師）

探索数学的深度与广度：精选数学读物导览 本导览旨在为对数学抱有浓厚兴趣的读者，特别是那些寻求深入理解、拓展思维边界的学术探索者，提供一个精选的书目推荐。以下介绍的系列著作，旨在构建一个从基础到前沿的数学知识体系，涵盖了严谨的理论基础、优雅的证明艺术，以及数学在现代科学中的广泛应用。 --- 第一部分：奠定坚实基础——微积分与线性代数的重塑 对于任何深入学习数学的读者而言，微积分和线性代数是不可或缺的两大支柱。本部分推荐的书籍，摒弃了传统教材的枯燥说教，注重培养读者的直觉理解和严谨的逻辑构建能力。 1. 《分析的基石：从实数到勒贝格积分的严谨之旅》 目标读者： 准备进入高等数学（分析学）阶段，或对微积分背后的严密性有疑问的本科生及自学者。 内容侧重： 本书致力于将读者从高中阶段直观的微积分概念，引导至现代数学分析的严格框架。它不仅仅教授如何计算导数和积分，更深入探讨了极限、连续性、收敛性的精确定义和基本性质。 实数系统与拓扑基础： 首先，本书详尽地构建了完备的实数系统（如利用戴德金分割或柯西序列构造），并引入了度量空间和拓扑空间的基本概念，为后续的泛化打下基础。 序列与级数的收敛性： 强调了均匀收敛与逐点收敛的区别，这是理解函数序列和级数行为的关键。 黎曼积分的局限与勒贝格积分的引入： 详细剖析了标准黎曼积分在处理不规则函数时的不足，然后以清晰的步骤介绍勒贝格测度和积分理论。这一部分尤其侧重于“为什么”需要这种新的积分概念，以及它如何极大地扩展了可积函数的范围，为泛函分析做铺垫。 证明的艺术： 书中穿插了大量的范例和挑战题，要求读者不仅要理解定理的内容，更要能够独立构建完整的证明链条。 2. 《线性代数：几何直觉与矩阵的内在结构》 目标读者： 计算机科学、工程学、经济学专业学生，以及希望掌握矩阵理论在数据科学中应用的研究人员。 内容侧重： 传统线性代数常被简化为一系列解方程组的算法。本书则强调几何意义和结构性理解。 向量空间与线性变换的几何视角： 从向量和子空间的直观几何意义出发，理解线性变换如何作用于空间，如旋转、投影和拉伸。 特征值与特征向量的深层意义： 不仅计算它们，更解释了特征值代表了线性变换作用下保持方向的“轴线”，是理解动力系统和稳定性分析的核心。 内积空间与正交性： 探讨了如何在更高维空间中定义“长度”和“角度”，这是傅里叶分析、最小二乘法等技术的基础。 奇异值分解（SVD）： 作为全书的亮点之一，SVD被视为对任意线性变换最“清晰”的描述。本书详细阐述了SVD在数据降维（PCA）和矩阵近似中的实际应用。 --- 第二部分：抽象与结构——代数与离散数学的探秘 一旦掌握了分析的基础，下一步便是转向数学的抽象结构——代数。这部分读物旨在培养读者对对称性、运算规则和结构保持性的深刻理解。 3. 《抽象代数导论：群、环与域的统一视角》 目标读者： 数学专业高年级学生，或对数论、密码学有兴趣的理工科背景读者。 内容侧重： 探讨代数结构的核心概念，强调从具体例子（如整数、多项式）上升到抽象定义的逻辑过程。 群论的入门与应用： 从对称群（如二面体群、旋转群）开始建立直觉，随后过渡到子群、陪集、同态和同构的概念。重点讨论拉格朗日定理和Sylow定理的意义。 环与域的结构： 考察整数环、多项式环的性质，引入理想（Ideals）的概念，理解它们如何充当“子结构”的角色。域（Fields）作为没有零因子的环，是伽罗瓦理论的基础。 伽罗瓦理论的初探： 虽然是深入主题，但本书会以简化的方式介绍伽罗瓦理论如何用群论的语言解释多项式方程的可解性（如五次方程不可解的原因）。 4. 《离散数学：逻辑、集合与算法的桥梁》 目标读者： 计算机科学家、逻辑学爱好者，以及需要扎实组合计数和图论基础的工程师。 内容侧重： 关注有限世界中的数学结构，强调严谨的逻辑推理和计数方法。 数理逻辑与证明方法： 深入研究命题逻辑和一阶逻辑，重点训练演绎推理、归谬法、数学归纳法等核心证明技巧。 组合数学的计数技巧： 涵盖排列组合的进阶主题，如容斥原理、生成函数在解决复杂计数问题中的应用。 图论的结构与应用： 不仅介绍连通性、遍历性（欧拉路、哈密顿环），更深入探讨平面图、图着色问题，以及图论在网络分析中的建模能力。 关系与函数的性质： 详细分析等价关系和偏序关系，这对于数据结构和数据库理论至关重要。 --- 第三部分：前沿与交叉——概率、应用与展望 数学的魅力在于其解决现实问题的能力。本部分的书籍聚焦于不确定性下的建模以及数学与其他学科的交汇点。 5. 《概率论与随机过程：从贝叶斯推断到马尔可夫链》 目标读者： 数据科学家、金融工程师，以及需要掌握随机模型进行预测和决策的读者。 内容侧重： 建立在严格测度论基础上的概率论，并将其推广到随时间变化的随机现象。 概率的公理化基础： 强调样本空间、事件域和概率测度的严格定义。 随机变量与期望的计算： 区分离散与连续随机变量，重点介绍矩、矩母函数和中心极限定理的普适性。 随机过程的构建： 详细介绍重要的随机过程模型，包括： 泊松过程： 用于描述事件的随机到达。 马尔可夫链： 阐述“无后效性”原理，用于建模状态转移和稳态分布分析。 布朗运动（Wiener过程）： 作为连续时间随机过程的基石，连接到金融数学中的期权定价。 统计推断的数学基础： 引入大数定律和中心极限定理，为参数估计（如最大似然估计）和假设检验提供坚实的数学保障。 6. 《微分方程的几何与物理：从守恒律到混沌》 目标读者： 物理学、工程学以及生物数学领域的研究者。 内容侧重： 将常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）视为描述自然界变化规律的语言。 一阶ODE的相平面分析： 引入相平面、平衡点、稳定性和不稳定性的概念，即使在无法求解解析解时，也能通过几何图形洞察系统的长期行为。 线性ODE系统与矩阵指数： 利用线性代数的工具（特征值分解）系统地求解高阶线性微分方程组。 初值问题与解的存在性/唯一性： 探讨皮卡-林德勒夫（Picard-Lindelöf）定理，确立了解的可靠性。 经典PDE的物理背景： 重点分析热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程。讲解分离变量法、傅里叶级数在求解这些边界值问题中的核心作用。 简介混沌理论： 通过洛伦兹吸引子等例子，展示确定性系统如何产生看似随机的复杂行为，以及庞加莱截面等工具的应用。 --- 总结： 本导览精选的六本书籍，共同构成了一个从严格基础分析到抽象代数结构，再到随机建模和微分方程应用的完整学习路径。它们的目标是培养读者不仅能“计算”，更能“理解”数学的内在逻辑和外在表现力，从而能够自信地探索更深层次的学术领域。

评分☆☆☆☆☆

作为一名理工科学生，我手边已经堆了不少各种版本的微积分和线性代数的参考书，但老实说，很多都是“救急”用的，看完就忘。这本“陶哲轩”系列（我姑且这么称呼它），给我的感觉完全不同，它更像一本思想入门手册。它并没有直接给出大量的习题，而是通过一系列精妙的论证，潜移默化地提升读者的数学直觉。我曾经在一个非常困惑的点上卡了很久——关于抽象代数中某个群结构的理解。阅读这本书中的相关章节后，茅塞顿开。作者并没有直接给出定义，而是用了一种非常“搭积木”的方式，让你自己去体会为什么需要这样的结构存在。这种引导式的教学方法，极大地减少了死记硬背的痛苦，让知识真正内化成了自己的能力。对于那些希望从“做题家”转型为“思考者”的读者来说，这本书的价值是无法用做对多少题来衡量的。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为那些想在数学世界里“开挂”的年轻人量身打造的秘籍！我本来对高等数学这种“高冷”的学科望而却步，觉得那些复杂的公式和抽象的概念就是天书。但作者（陶哲轩本人或者译者，我不太确定具体是谁，但绝对是位数学大家）的叙述方式完全颠覆了我的认知。它不是那种枯燥地堆砌定义和定理，而是像一个经验老到的向导，带着你一步步深入到数学思维的核心。最让我惊喜的是，它似乎有一种魔力，能把那些曾经让我头疼的积分、极限，甚至是一些线代的概念，变得清晰而直观。书中穿插的那些小故事和历史背景，也让整个学习过程充满了趣味性，不再是单纯的记忆和计算。比如，它讲解某个定理的由来时，会引出当年数学家们是如何“头疼”并最终找到突破口的，这种沉浸式的体验，让人感觉自己仿佛也参与了那场智力上的探索。我强烈推荐给所有在大学数学课上挣扎的朋友们，这本书绝对能帮你找到学习的乐趣和自信。

评分☆☆☆☆☆

说实话，刚开始接触这本书时，我有点担心它是否会过于强调“快”，毕竟“聪明解数学”这个标题挺唬人的。但读完前几章后，我发现自己的担心是多余的。这里的“聪明”并非指投机取巧，而是一种更高效率的理解能力。它教你如何跳出题目的细节，从宏观角度把握住全局的脉络。例如，在处理多变量函数优化问题时，这本书提供了一种几何直观的理解框架，让我能迅速判断出哪个方向是梯度上升最快的，而不是机械地套用拉格朗日乘数法。这种思维方式的提升，对于准备研究生考试或未来从事科研工作的人来说，简直是如虎添翼。它不仅是解答眼前习题的工具书，更是一本可以伴随你整个学术生涯的思维指南。我已经在推荐给所有低年级学弟学妹了，希望他们能尽早领悟到这种更高级的学习方法。

评分☆☆☆☆☆

这本港台原版的引进工作做得非常到位，于青林老师的翻译功力可见一斑。对于理工科的专业术语，翻译得既准确又不失流畅性，没有那种生硬的“翻译腔”，这在学术著作中是非常难得的。特别是对于一些涉及到哲学思辨的数学概念，译者把握住了那种微妙的语境，使得我们这些习惯了大陆教材表达方式的读者也能迅速适应并深入理解。我特别欣赏书中对于“证明”的讨论。它详细阐述了不同层次的证明所需的严谨度，以及在什么情况下可以采用更直观的论证。这一点在国内很多基础教材中是被忽略的，大家只强调最终结论的正确性，却很少探讨“如何让人信服”的过程。通过阅读这本书，我开始关注证明的结构美和逻辑的优雅性，这让我对数学本身产生了更深的敬意。它不再仅仅是一门工具，而是一门艺术。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本繁体字版的书时，首先就被它扎实的装帧和清晰的排版吸引住了。远流出版的质量一向让人放心，纸张的手感很好，即使长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳。内容上，虽然书名听起来有些“功利”，好像是直接灌输解题技巧，但实际上它探讨的是一种更深层次的“聪明”——如何像一个真正的数学家那样思考问题。书中的例子选择非常巧妙，它们既有足够的深度来挑战读者的思维，又不会因为过于偏僻而显得脱离实际应用。我特别喜欢它对“反例”的讨论，很多时候，理解一个概念的边界比记住它的定义更重要，这本书在这方面做得极为出色。它教会我的不是如何快速得出答案，而是如何构建一个逻辑严密的推理链条，即便是面对从未见过的题目类型，也能迅速抓住问题的本质。这套理念的转变，对我后续接触到的一些应用数学领域也产生了积极的影响，让我不再畏惧那些看似无解的难题。