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赵小云 编

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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030147318

商品编码：29913142189

丛书名： 奥林匹克数学方法与解题研究

商品参数

奥林匹克数学方法与解题研究
	曾用价	78.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2005年07月
	开本	16
	作者	赵小云
	装帧	平装
	页数	288
	字数	363000
	ISBN编码	9787030147318

目录
目录
上篇 原理和方法篇
第*章 数学奥林匹克的历史和现状 3
1. 数学奥林匹克简史 3
1.1 数学奥林匹克起源 3
1.2 前苏联及俄罗斯数学奥林匹克 4
1.3 国际数学奥林匹克 4
1.4 美国数学奥林匹克 5
1.5 中国的中学数学奥林匹克 5
2. 中国在IMO中的崛起 6
3. IMO的发展与未来 7
第二章 奥林匹克数学及其特征 9
1. 奥林匹克数学是高等数学与初等数学之间的数学 9
2. 奥林匹克数学是现代数学与中学数学之间的桥梁 15
3. 灵活性和创造性是奥林匹克数学的精髓 17
第三章 数学奥林匹克在数学教育中的地位和作用 28
1. 有益于人才的发现和培养 28
2. 激发了青少年学习数学的兴趣，具有开发智力和创造力的深远意义 29
3. 促进和推动了数学教育的改革和发展 30
3.1 促进了中学数学教师的知识更新，是提高数学教师业务素质的重要途径 30
3.2 促进了数学第二课堂的开展，有利于发展学生个性 30
3.3 促进了中学数学课程的改革和现代化 31
3.4 对中学数学教学改革具有导向和推动作用 32
4. 丰富了初等数学研究的内容和数学解题理论 32
第四章 奥林匹克数学的内容和方法 66
1. 多项式问题 66
1.1 基本内容 66
1.2 方法评析 69
2. 数列与递归 73
2.1 基本内容 73
2.2 方法评析 74
3. 函数方程 79
3.1 基本内容 79
3.2 方法评析 79
4. 极值和不等式问题 85
4.1 基本内容 85
4.2 方法评析 87
5. 数论问题 96
5.1 基本内容 97
5.2 方法评析 98
6. 几何问题 103
6.1 基本内容 104
6.2 方法评析 105
7. 组合数学 112
7.1 基本内容 112
7.2 方法评析 113
第五章 奥林匹克数学命题研究 119
1. 数学奥林匹克的命题原则 119
1.1 科学性 119
1.2 目的性 122
1.3 适应性 124
1.4 创新性 125
2. 数学奥林匹克的命题方法 127
2.1 演绎法 127
2.2 基本量法 129
2.3 陈题改造 131
2.4 移用科研成果 136
下篇 解题研究篇
第*章 集合与函数 141
1. 集合 141
2. 充要条件 150
3. 映射与函数 155
4. 函数的性质 158
5. 二次函数 162
第二章 数列 167
1. 数列及其求和 167
2. 数学归纳法 176
第三章 三角函数 179
第四章 方程与不等式 184
1. 方程 184
2. 不等式的解法 188
3. 不等式的证明 190
4. 不等式的应用 193
5. 极值问题 196
第五章 直线与圆的方程 204
第六章 圆锥曲线方程 209
第七章 立体几何 222
第八章 排列与组合 240
第九章 复数 246
第十章 数论初步 256
第十一章 平面几何 260
第十二章 杂题 277
主要参考文献 287
在线试读
上篇 原理和方法篇
　　第*章数学奥林匹克的历史和现状
　　1. 数学奥林匹克简史
　　1.1 数学奥林匹克起源
　　解题的竞赛在数学发展的历史过程中由来已久。但是，像这样为激发中学生的学习兴趣，发现和选拔人才，由中学生自愿参加的数学竞赛，通常认为始源于匈牙利。
　　1894年，为了祝贺匈牙利数学家，全国数学协会主席埃特沃斯(L.Eot-vos)教授担任匈牙利教育大臣，匈牙利物理数学协会举办了第*届中学生数学竞赛。从此以后，除了由于两次世界大战和匈牙利事件间断过7年以外，每年举行一次，一直沿袭至今。
　　匈牙利数学竞赛在每年10月举行，每次考试共3个试题，限参赛者在4小时内完成，允许使用任何参考书。匈牙利许多数学家和学者都参与了数学竞赛的辅导和命题。
　　匈牙利数学奥林匹克是世界上*有影响的数学奥林匹克之一。其试题新颖、别致，独具风格，充分体现了灵活性和创造性的思维，中学生用学过的初等数学知识就可解答，但又涉及许多高等数学课题的背景。例如，1947年的匈牙利数学奥林匹克中有这样一个问题：
　　问题1-1 证明：在任意6个人中，总有3人相互认识或相互不认识。
　　此题的背景是图论中的拉姆齐(Ramsey)数问题：给定正整数t，求这样的正整数rt，使得当n≥rt时，任何一个t色完全图kn中都有单色三角形，而当n　　数rt称为拉姆齐数，问题1-1就是r2=6。
　　由于拉姆齐数问题是现代数学中的一个研究热点，1953年在美国图论专家Harary的建议下，问题1-1又被选为美国普特南(Putnam)大学生数学奥林匹克试题。并在以后若干年中，被许多国家反复改造加以应用。1964年的第6届国际数学奥林匹克(IMO)试题：
　　问题1-2 17个科学家中，每名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时只讨论三个问题。而且任意两名科学家通信时只讨论一个问题。证明其中至少有三名科学家，他们互相通信中讨论的是同一个问题。
　　这便是r3=17，也是问题1-1的推广。
　　1.2 前苏联及俄罗斯数学奥林匹克
　　前苏联是开展数学竞赛活动比较早的国家之一。1934年列宁格勒大学主办了列宁格勒中学生数学奥林匹克，将数学竞赛与奥林匹克体育竞赛相联系，称数学竞赛为数学奥林匹克，形象地揭示了数学竞赛是参赛选手间智力的角逐。1935年莫斯科大学和基辅大学又分别主办了莫斯科数学奥林匹克和基辅数学奥林匹克。以后每年举行(除了在1942年至1944年中断过3年外)，到1962年，开始举办全苏数学奥林匹克。
　　前苏联数学奥林匹克的特点是分年级进行，每个年级(七至十一年级)都是要求在4小时内解答5个试题。高年级的优胜者可被免试推荐进入大学。现在，俄罗斯(包括原苏联的其他国家)的数学奥林匹克活动已发展到包括小学生，中学生和大学生在内的各级各类数学奥林匹克。其中尤以中学数学奥林匹克活动开展得*为广泛和普遍。，俄罗斯是继匈牙利之后的又一富有实力的国家，在已举办的41届国际数学奥林匹克中总分15次居第*，名列各国之首。
　　1.3 国际数学奥林匹克
　　20世纪以来，许多国家相继开展了数学奥林匹克活动。特别是东欧的一些国家，如罗马尼亚(始于1902年)，保加利亚(始于1949年)等等。到20世纪50年代中期，许多国家已形成了学校，地(市)，省，直至全国的不同级别的数学奥林匹克。为国际数学奥林匹克的举办奠定了良好的基础。
　　1956年，在罗马尼亚的罗曼(Roman)教授的倡议下，东欧国家和苏联确定了举办国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)的计划。第*届IMO于1959年7月在罗马尼亚的布拉索(Brasov)市举行，以后每年举行一次(除1980年因东道国蒙古经济困难停办外)，至今已举办了41届，参赛的国家也越来越多，第*届IMO仅有东欧的7个国家参加，如今参加的国家和地区已达80多个。
　　一年一度的IMO由各参赛国家或地区轮流主办，所需经费由主办国负担，整个活动由东道国设立的组织委员会领导。IMO的业务由各国领队组成的主试委员会主持，主试委员会主席一般由东道国担任。
　　IMO一般在每年7月进行，其试题的产生是由各参赛国家或地区事先提供一定数量的预选题(东道国不出题)，然后由主试委员会选出6道题作为考试题。考试分两天进行，每试4.5小时，3道试题，每题7分，两试满分为42分。参赛代表队的成员一般由正副领队和六名学生队员组成。
　　在IMO中起重要作用的是协调委员会，因为考试前由各国领队将试题译成本国的文字，并经协调委员会认可，而考试后各国的试卷也均由本国的正副领队批改，然后与协调委员会成员协商，如有分歧，由主试委员会仲裁，使评分标准保持一致。
　　IMO的口号是：面向未来——为了人类的进步，其目的为鼓励更多的青少年成才。为此，IMO的获奖人数多达参赛人数的一半，根据分数评选出金、银、铜牌三个等级的获奖者，其比例约为1∶2∶3。此外，主试委员会还对某个试题做出了非常漂亮解答的选手给予特别奖。IMO只举办个人赛，不举行团体赛，但每次竞赛后，仍列出团体总分的名次。
　　IMO是世界公认的*高水平的数学竞赛，1980年国际数学教育委员会(IC-ME)决定成立国际数学奥林匹克委员会作为其下设的一个专业委员会(IMO委员会已于1981年4月正式成立)。这不仅在组织上保证了IMO的正常进行，而且也意味着在学术上得到了国际数学教育委员会的确认，也就是说，关于数学奥林匹克的研究是数学教育中一个重要的研究课题。
　　1.4 美国数学奥林匹克
　　美国是参加IMO比较晚的国家，它于1974年才开始加入IMO。然而在美国，数学竞赛已有十分悠久的历史。早在1938年，美国就有一个大学生的数学竞赛——普特南数学竞赛，美国中学生数学竞赛(AHSME)始于1950年，现在已成为一种国际性的竞赛，包括我国在内的许多国家都参加了这一竞赛。AHSME通常在每年2月底或3月初的一个星期二举行，题目为30个选择题，考试时间为90分钟。自1983年开始又举办了美国数学邀请赛(AIME)，通常在3月下旬的一个星期二举行，AIME的题目为15个填空题，考试时间为150分钟。AIME的优胜者可参加5月初举行的美国数学奥林匹克(始于1972年)，美国数学奥林匹克(USAMO)共5个试题，考试时间为3.5小时，对USAMO中成绩*好的20名左右选手再进行三个星期的训练，从中选出6名学生作为美国队成员参加IMO。
　　1.5 中国的中学数学奥林匹克
　　中国的中学生数学竞赛始于1956年，由已故数学家华罗庚教授倡导举办。他自担任北京市数学竞赛委员会主任，并主持了命题工作，同年上海、天津、武汉也举办了数学竞赛。
　　中国的数学竞赛经历了曲折的道路。1958年以后的几年，由于国家处于经济困难时期，数学竞赛也被迫停止。1962年随着经济形势的好转，北京又恢复了数学竞赛，并在国内掀起了一个数学竞赛的浪潮。但是，1965年以后，由于文化大革命的原因，数学竞赛再度被迫中断十余年。直到1978年，数学竞赛第三次兴起，华罗庚教授再一次主持了全国八省市数学竞赛。1979年发展为除台湾省外的全国数学竞赛。
　　从1981年开始，中国的数学竞赛逐步纳入轨道。1981年中国数学会制定了“中学生数学竞赛简章(草案)”，并正式定名为“全国各省、市、自治区高中数学联合竞赛”，同时确定每年在10月中旬的第*个星期天举行全国高中数学联赛。从此，我国的数学竞赛活动得到了蓬勃发展。1985年全国初中数学联赛开始举行，1990年又举办了全国小学生数学奥林匹克。
　　2. 中国在IMO中的崛起
　　1985年，我国派出两名选手参加第26届IMO，以了解情况，取得经验。结果获得了一枚铜牌，成绩属中下水平。为了提高我国选手的参赛水平，自1986年开始，中国数学会决定每年1月份由中国数学会普及工作委员会、中国数学奥林匹克委员会和北京大学等四所重点大学联合举办全国中学生数学冬令营。冬令营的参加者为各省市在全国高中数学联赛中的优胜者(大约80余人，一般每省市至少有一个名额)。自1991年起，冬令营又定名为“中国数学奥林匹克”(简称CMO)，CMO的考试类似于IMO：考试分两天进行，每试3个题，时间为4.5小时，每题21分，二试满分126分。由CMO选拔出20余名选手组成国家集训队，然后经过集训选出6名队员组成国家代表队参加IMO。
　　1986年，我国选派了6名选手正式组队参加第27届IMO，中国队取得了总分第四名的好成绩。以后几年我国在IMO中都取得了好成绩。1989年我国代表队在第30届IMO中第*次获得了总分第*，1990年我国又成功地举办了第31届IMO，第31届IMO也是IMO第*次在亚洲国家举行，我国选手又一次获得了总分第*的优异成绩。
　　表1.1是我国在26~41届IMO中的获奖情况(见表1.1)。
　　我国参加IMO的历史虽然不长，但是，我国中学生参加IMO所取得的优异成绩表明，我国已进入IMO的强国之列。
内容介绍
本书对数学奥林匹克的历史和发展，奥林匹克数学及其特征，奥林匹克数学与数学教育，奥林匹克数学的内容和方法，以及数学奥林匹克命题理论和数学奥林匹克解题理论等方面进行了系统研究和探讨。全书内容丰富，观点鲜明。

好的，以下是一份为您的图书《奥林匹克数学方法与解题研究》量身定制的、不包含该书内容的详细图书简介。 --- 《几何的诗篇：欧氏体系下的非传统探索》 图书简介 本书是一部深入剖析现代几何学核心概念与前沿研究的专著，旨在为有志于超越标准教材范畴的几何学爱好者、高等教育阶段的学生以及科研人员提供一个系统、深入且富有启发性的学习路径。我们摒弃了传统教科书的叙事方式，转而聚焦于几何学中那些虽植根于欧氏体系，却又展现出惊人创造力和非凡应用潜力的领域。全书分为四大核心板块，层层递进，力求构建一个多维度、立体化的几何认知框架。 第一部分：拓扑与度量的交汇——从黎曼到闵可夫斯基的视角 本部分首先从拓扑学的基本原理切入，探讨空间结构如何决定了度量（距离、角度）的内在属性。我们不满足于欧氏空间的简单复习，而是迅速过渡到更具挑战性的非欧几何领域。重点章节将详细解析黎曼几何的基础概念，特别是曲率张量的引入及其在微分几何中的核心地位。我们将详细阐述测地线的概念，并通过实际案例展示如何使用第二基本形式来分析子流形的嵌入性质。 随后，我们将深入到狭义相对论的数学结构——闵可夫斯基时空。在这里，几何不再仅仅是关于点的排列，而是关于事件的连接。本书将严谨推导洛伦兹变换的群论基础，并阐释不变间隔的概念如何取代了传统的欧氏距离。我们还将探讨双曲几何与此主题的内在联系，解析庞加莱圆盘模型在非线性几何优化中的实际效用，这为理解弯曲空间中的路径规划提供了强有力的工具。 第二部分：代数几何的语言——簇、环与谱的图景 代数几何是连接代数与几何的桥梁，它以代数的精确性描述了几何对象的形状。本卷将本书的叙事重心转向抽象代数，聚焦于代数簇的定义与性质。我们将详细讲解理想与变体的对应关系，并引入希尔伯特零点定理，这是理解代数几何大厦的基石。 我们超越了经典代数几何的范畴，着重介绍了概形（Scheme）的概念。概形的引入极大地拓宽了研究对象，使得我们可以将“点”的概念推广到更一般的环论结构。本书将详尽阐述环的谱（Spec $R$）的构造，并深入讨论它如何作为一种“拓扑空间”来描述代数结构。特别是，我们会详细分析局部化技术在分解复杂几何问题时的关键作用，并展示如何利用这些工具来研究奇点理论——即几何对象“自相交”或“不光滑”之处的代数特性。 第三部分：离散几何与组合优化 在现代计算科学和数据分析的背景下，离散几何的重要性日益凸显。本部分将主题从连续空间转向了由有限元素构成的结构。核心内容包括凸包、最小生成树（MST）的各种高效算法（如Kruskal和Prim算法的几何视角），以及平面划分的欧拉示性数理论。 一个重要的章节将专门讨论计算几何中的对偶图与平面对偶性的应用，这对于构建高效的网格化算法至关重要。此外，本书将引入组合拓扑学的概念，如单纯复形（Simplicial Complex）和链复形（Chain Complex）。通过这些工具，我们将能够使用代数方法来“计数”几何对象的拓扑特征，例如贝蒂数（Betti Numbers）的计算及其在网络鲁棒性分析中的应用。我们将探讨如何将这些离散结构映射到连续空间中，以解决现实世界中的配置问题。 第四部分：几何动力学与可积系统 几何学的应用延伸到了对物理系统演化的描述。本部分将探讨几何结构如何影响时间演化。我们将从哈密顿力学的几何表述出发，引入辛几何（Symplectic Geometry）的概念。辛结构不仅仅是描述相空间的某种度量，它本质上定义了系统演化（李导数流）的保持量。 随后，我们将聚焦于可积系统，这是在多体问题和混沌理论中寻找精确解的关键。本书将介绍费米-帕斯塔方法（Fermion-Pasta method）的几何背景，并以KdV方程为例，展示如何通过引入Lax对和谱曲线来构造无穷多守恒量。通过将动力学问题转化为代数几何中的椭圆函数理论，我们展示了即使是最复杂的非线性演化，也可以在高度结构化的几何框架下找到精确的解析解。 结语：几何思维的广阔疆域 本书的最终目标是培养读者一种“几何思维”，即能够用空间、形状和结构来理解抽象概念的能力。我们相信，几何学远非一门静态的学科，它是连接分析、代数、拓扑乃至物理学的通用语言。通过对这些非传统主题的深入挖掘，读者将能够为未来的跨学科研究打下坚实的基础，并掌握分析和解决复杂问题的尖端工具集。本书的深度和广度，要求读者具备坚实的微积分基础和扎实的线性代数背景，它是一场对几何学精髓的深度朝圣之旅。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁而有力，散发出一种知识的庄重感。我一直以来都对数学的奥妙之处充满了好奇，尤其是那些在竞赛中脱颖而出的解题技巧。《奥林匹克数学方法与解题研究》这个书名，恰如其分地概括了我一直以来希望探索的方向。我猜测，本书的编撰者必定对数学有着深厚的造诣，并能将其精炼成易于读者理解和吸收的内容。我非常期待书中能够详细地解析一些经典的奥数题目，并不仅仅停留在给出解法，而是深入分析每一步推理的逻辑，以及所运用的数学思想。也许，书中还会穿插一些数学史的小故事，或者是不同解题方法的比较分析，让我能够更全面地理解数学的魅力。这本书对我而言，不仅是一本学习资料，更是一次与伟大数学思想对话的机会。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，一股浓郁的书卷气扑面而来，让我立刻感受到了一种严谨而又充满探索精神的氛围。这本书的名字，无疑是它最吸引人的地方：《奥林匹克数学方法与解题研究》。这几个字仿佛能直接点燃我对数学学习的热情，尤其是“方法”和“研究”这两个词，让我对它充满了期待。我猜想，这本书不仅仅是简单地列举一些数学题目和答案，而是会深入地去分析和探讨解决这些题目背后的核心思想和关键技巧。比如，它可能会详细讲解如何从问题的本质出发，找到最佳的解题策略；如何将复杂的数学概念转化为易于理解的模型；甚至可能还会涉及一些非传统的、富有创造性的解题思路。我希望这本书能够帮助我突破思维的定势，学会用更灵活、更深刻的眼光去审视数学问题，最终在数学的世界里获得真正的进步。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本书，还没来得及仔细研读，但从目录和初步翻阅来看，它似乎是一本深度挖掘数学奥秘的宝藏。首先吸引我的是它对数学解题方法的研究，这正是很多学习者在面对复杂问题时最需要的那份指引。我猜想书中会详细拆解各种经典奥数题型，然后层层剥离出其背后的核心思想和技巧，比如如何巧妙运用代数恒等式、如何构建几何模型、如何进行数论分析等等。我期待它能提供一套系统性的解题框架，让我在面对陌生题目时也能游刃有余。而且，“研究”二字暗示了这本书不仅仅是罗列解法，更在于探索这些方法是如何被创造和发展的，这对于培养学生的数学思维和创新能力至关重要。我尤其希望看到书中能穿插一些历史典故或者数学家的小故事，这样学习过程会更加生动有趣，也能激发对数学更深层次的理解和热爱。总而言之，这本书给我一种“授人以渔”的感觉，相信通过深入学习，能够极大地提升我的解题能力和数学素养。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和排版给我留下了深刻的第一印象，简洁大方，纸质也很好，拿在手里很有质感。我一直对数学的逻辑性和严谨性深感着迷，而本书的题目《奥林匹克数学方法与解题研究》恰好触及了我最感兴趣的领域。虽然我还没有深入阅读内容，但单从书名就足以勾起我对那些精妙绝伦的数学证明和巧妙的解题思路的无限遐想。我猜想，这本书或许会带领我们走进一个充满智慧和挑战的数学世界，去探索那些看似遥不可及的难题是如何被一步步攻克的。我期待它能提供一些关于如何培养数学直觉和创新思维的见解，毕竟，在奥林匹克数学的殿堂里，不仅仅是知识的积累，更是思维的飞跃。这本书无疑为我打开了一扇通往更广阔数学领域的大门，我迫不及待地想要沉浸其中，去感受数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我手中沉甸甸的，散发着知识的厚重感。我一直对数学解题的“道”与“术”有着浓厚的兴趣，而本书的书名《奥林匹克数学方法与解题研究》正是我苦苦寻觅的那盏明灯。初次接触，我便被它所蕴含的深度和广度所吸引。我推测书中会涉及大量的数学思想和方法论，例如，在代数部分，它可能会深入探讨母函数、生成函数等高级技巧；在几何部分，或许会详尽介绍解析几何、向量法在几何问题中的应用；在数论方面，可能会解构欧拉函数、模运算在解题中的关键作用。更让我期待的是，“研究”二字暗示了本书不仅仅是知识的堆砌，更是对这些方法论的深入剖析，或许会包含一些历史沿革，或者对不同方法的优劣进行比较分析，从而引导读者形成自己的解题体系。这本书无疑是一份宝贵的数学财富，我将倍加珍惜，并努力从中汲取养分。