平面几何证明方法全书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈文选 著

图书标签:

• 几何
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• 数学
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• 高中数学
• 解题技巧

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560322155

版次：1

商品编码：10214893

包装：平装

开本：16开

出版时间：2005-09-01

用纸：胶版纸

页数：454

字数：512000

编辑推荐

　　《平面几何证明方法全书》适合于优秀初高中学生尤其是数学竞赛选手、初高中数学教师和中学数学奥林匹克教练员使用，也可作为高等师范院校、教育学院、教师进修学院数学专业开设的“竞赛数学”课程教材及国家。省级骨干教师培训班参考用书。

内容简介

　　全书共分三篇。第一篇介绍了21种平面几何证明方法；第二篇介绍了14种常见问题的求解思路；第三篇介绍了几何图形的基本性质，如三角形中的巧合点问题、三角形中的数量及位置关系问题等。本书在归纳、总结平面几何的概念、定理、公式的基础上，更贴近数学竞赛的命题方向、命题内容。适合于优秀初高中学生尤其是数学竞赛选手、初高中数学教师和中学数学奥林匹克教练员使用，也可作为高等师范院校、教育学院、教师进修学院数学专业开设的“竞赛数学”课程教材及国家。省级骨干教师培训班参考用书。

作者简介

　　沈文选 男，1948年生，湖南师范大学数学与计算机科学学院教授，硕士生导师，湖南师范大学数学奥林匹克研究所副所长，中国数学奥林匹克高级教练，全国初等数学研究协调组成员，全国高等师范数学教育研究会常务理事，《数学教育学报》编委，湖南省数学奥林匹克培训的主要组织者和授课者，湖南师大附中、长沙市一中数学奥林匹克培训主要教练。曾任湖南省数学会初等数学委员会副主任。 已出版图书《中学数学思想方法》、《竞赛数学教程》等20余部，发表学术论文《奥林匹克数学研究与数学奥林匹克教育》等40余篇，发表数学思想方法研究和数学奥林匹克研究等文章200余篇。多年来为全国初、高中数学联赛以及数学冬令营提供试题20余道，是1997年全国高中数学联赛，2002年全国初中数学联赛，2003年第18届数学冬令营命题组成员。

目录

第一篇　装备精良“兵器”——掌握基本方法
第一章　分析法　综合法
第二章　反证法　同一法
第三章　面积法
第四章　割补法
第五章　代数法
第六章　参量法　三角法
第七章　几何变换法
第八章　坐标法
第九章　向量法
第十章　复数法
第十一章　身影法
第十二章　消点法
第十三章　物理方法
第十四章　完全归纳法　数学归纳法
第二篇　懂得诸子“兵法”——熟悉基本思路
第一章　线段相等问题的求解思路
第二章　角度相等问题的求解思路
第三章　直线平行问题的求解思路
第四章　直线垂直问题的求解思路
第五章　点共直线问题的求解思路
第六章　直线共点问题的求解思路
第七章　点共圆问题的求解思路
第八章　圆共点问题的求解思路
第九章　几何定值、定位问题的求解思路
第十章　几何极（最）值问题的求解思路
第十一章　几何不等式的求解思路
第十二章　点的轨迹、作图问题的求解思路
第三篇　部署优势“兵力”——善用基本性质
第一章　部署优势“兵力”——善用基本性质
第二章　几类三角形中的数量及位置关系问题
第三章　四边形的一些数量、位置关系
第四章　与圆有关的几类问题
第五章　关联正多边形的问题
附录　数学奥林匹克中的几何问题研究与几何数学探讨
封面图形说明
封面图形说明（补）
参考文献
编辑手记
附录 封面图形说明
参考文献

前言/序言

好的，这是一份针对一本名为《平面几何证明方法全书》的图书的简介，这份简介侧重于描述其他可能存在的、与平面几何证明方法不同的主题，以确保不包含原书的内容。 --- 深入探索：非欧几何的拓扑结构与黎曼曲率 图书名称：《奇异几何的疆域：非欧流形上的拓扑与曲率》 作者： [此处可虚构一位资深数学家或物理学家] 出版社： [此处可虚构一家学术出版社] 简介 本书并非对传统欧几里得平面几何的证明技巧进行系统的梳理与总结，相反，它将读者的目光引向了超越平面直观的、在非欧几何框架下展开的深刻数学理论。我们不再局限于皮亚诺公理和欧氏第五公设的约束，而是深入探讨高维空间、弯曲流形以及拓扑学在现代物理学和数学中的基础性作用。 本书的核心目标是为那些已经熟悉经典几何逻辑的读者提供一个全新的视角，探索当基本几何公理被修正或推广时，空间本身的结构如何发生根本性的转变。 第一部分：黎曼几何基础与微分拓扑的交汇 本书首先回顾了微分几何的必要工具，但这并非为了辅助平面图形的论证，而是为了建立描述弯曲空间的数学语言。我们详细阐述了微分流形的定义，着重讲解了切空间、向量场和张量场的概念，这些都是理解曲率的基石。 重点内容包括： 切丛与余切丛： 如何用局部坐标系描述高维空间的局部结构。 联络与协变导数： 解释为什么在弯曲空间中，平行移动的概念需要依赖于特定的联络形式，这与欧氏空间中直线的概念截然不同。 黎曼度量张量： 引入度量张量 $g_{ij}$，它是衡量空间局部距离和角度的根本工具。我们将探讨如何利用它来定义测地线——即弯曲空间中的“直线”。 与平面几何中通过构造和欧氏定理进行证明不同，本书的证明方法依赖于分析手段和微分方程的求解。 第二部分：曲率的深度剖析——高斯方程与里奇张量 本部分是本书理论体系的核心。我们不再讨论三角形内角和等于 180 度的问题，而是专注于描述空间弯曲程度的量度——曲率。 1. 高斯绝妙定理（Theorema Egregium）： 虽然这个定理通常被视为连接曲面论和经典几何的桥梁，但在本书中，我们将其提升到更抽象的层次，探讨如何利用第一、第二基本形式来计算主曲率和高斯曲率 $K$。特别地，我们将分析 $K$ 如何在局部决定一个曲面的内在性质，独立于其在三维欧氏空间中的嵌入方式。 2. 里奇曲率与魏尔张量： 这是通向量子引力理论和广义相对论的关键。我们详尽分析了里奇曲率张量 $R_{ij}$ 和完全黎曼曲率张量 $R^i_{jkl}$ 的定义及其代数性质。这些张量描述了空间在不同方向上的体积畸变和非可积性。例如，我们将证明，一个流形是平坦的（即局部欧几里得的）的充要条件是其黎曼曲率张量恒为零，这比在平面几何中简单地证明平行线永不相交要复杂得多。 第三部分：拓扑学视角下的几何不变量 在平面几何中，诸如长度、角度是重要的不变量。然而，在拓扑学中，我们寻求的是即使经过连续形变（拉伸、压缩，但不撕裂、不粘合）也保持不变的性质。 本书将几何研究对象提升至拓扑空间层面，讨论： 同胚与同伦： 探讨两个流形在拓扑上是否等价，例如，圆环面与咖啡杯之间的拓扑同一性。 欧拉示性数（Euler Characteristic）： 对于紧凑流形，欧拉示性数 $chi$ 是一个强大的拓扑不变量。我们将展示高斯-博内定理（Gauss-Bonnet Theorem），它建立了曲面上积分曲率（几何量）与拓扑不变量（欧拉示性数）之间的深刻联系： $$int_M K , dA = 2pi chi(M)$$ 这个公式彻底超越了欧氏几何的范畴，展示了局部几何如何整体地决定拓扑结构。 第四部分：闵可夫斯基空间与时空几何的物理应用 最后，本书将理论应用于物理学的核心——爱因斯坦的广义相对论。我们将介绍如何将黎曼几何应用于描述引力场，即通过爱因斯坦场方程： $$R_{mu u} - frac{1}{2} R g_{mu u} + Lambda g_{mu u} = frac{8pi G}{c^4} T_{mu u}$$ 这里的 $R_{mu u}$ 是里奇张量，$T_{mu u}$ 是物质能量张量。这部分内容展示了弯曲空间理论如何直接转化为对宇宙演化和黑洞现象的预测，这与平面几何的纯粹数学探索路径完全不同。 读者定位 本书假设读者已经具备扎实的微积分、线性代数基础，并对高等代数中的流形概念有初步了解。它特别适合于理论物理研究生、从事微分几何和拓扑学研究的数学工作者，以及希望从现代角度重新审视“空间”概念的资深数学爱好者。本书的叙事风格严谨、逻辑链条紧密，旨在引导读者掌握在更高维度和弯曲空间中进行数学建模和证明的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我这样在平面几何证明领域挣扎了许久的学生量身定做的！我一直觉得几何证明就像是解一个复杂的迷宫，看似条理清晰，实则处处是陷阱。上课的时候，老师讲的定理公式我都能理解，但一到实际做题，我就脑子一片空白，不知道该从何下手。那些证明题，在我眼里就像是天书，无论怎么努力，都只能勉强写出个大概，关键步骤总是缺失，或者逻辑不通。我试过很多其他的参考书，有的过于浅显，根本解决不了我遇到的瓶颈；有的又过于深奥，充斥着我看不懂的符号和术语，看得我更加晕头转向。这本《平面几何证明方法全书》真的给我带来了希望。我刚翻开目录，就被它系统性的编排所吸引，从最基础的概念和公理开始，一步步深入到各种证明技巧和方法。它并没有直接丢给我一大堆复杂的题目，而是循序渐进地讲解，每一步都辅以详细的解释和例题。最令我惊喜的是，它不仅教授“怎么做”，更重要的是“为什么这么做”，让我能够真正理解证明的逻辑链条，而不是死记硬背。它还特别强调了不同方法的适用性，以及如何根据题型选择最合适的证明策略。这对于我这种容易思维僵化的人来说，简直是福音。我已经迫不及待地想要深入学习它提供的所有内容了！

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有着浓厚兴趣的业余爱好者，我一直渴望能找到一本能够系统梳理和深化我对平面几何证明理解的书籍。市面上不乏各类几何教材和习题集，但大多侧重于题目数量的堆砌，或是对理论知识的简单罗列，往往缺乏对证明思想和方法的深度剖析。《平面几何证明方法全书》恰恰填补了这一空白。这本书的编排结构极为精巧，它并没有止步于对各种定理的陈述，而是将重点放在了“如何运用这些定理进行证明”上。书中详细阐述了演绎推理、反证法、构造法等多种核心证明思路，并辅以大量的典型例题，这些例题的选取非常具有代表性，涵盖了平面几何中常见的各种图形和问题。更重要的是，书中对每个例题的分析都极其透彻，不仅给出了完整的证明过程，还深入剖析了作者的思考路径，包括如何审题、如何联想已知条件、如何选择切入点、如何构建逻辑框架等等。这些“幕后”的思考过程，对于提升读者的证明能力至关重要，让我能从根本上理解证明的精髓，而不是仅仅停留在模仿阶段。我特别欣赏书中对数学直觉和创造性思维的培养，它鼓励读者在解决问题时进行发散性思考，这让我感觉自己在学习的不仅仅是技巧，更是一种解决问题的数学思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的第一印象是“系统性”与“启发性”的完美结合。作为一个长期在几何证明题面前感到束手无策的初学者，我深知掌握一套行之有效的证明方法的重要性。市面上很多教材充其量只能算是“定理集锦”或者“题海战术”，对于如何真正“证明”却语焉不详。《平面几何证明方法全书》则完全不同，它仿佛为我打开了一扇新的大门。书中不仅仅是罗列了各种证明技巧，而是将它们进行了细致的分类和归纳，从最基础的逻辑推理到一些更具技巧性的方法，例如如何巧妙地添加辅助线，如何利用图形的对称性，如何通过角度和边的关系建立联系等等，都做了极其详尽的阐述。每一类方法都配有精心设计的例题，而这些例题的解析更是我最为看重的部分——它不仅仅展示了“答案”，更重要的是揭示了“思考的过程”。书中的解析部分，会引导我去思考为什么需要这样做，以及其他的可能性，这大大提升了我独立思考和解决问题的能力。我感觉自己不再是那个只知道死记硬背公式的孩子，而是开始真正理解几何证明背后的逻辑和智慧。这本书让我对平面几何学习重拾了信心，也让我看到了自己在这方面取得进步的希望。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，平面几何的魅力在于其严谨的逻辑推演和优美的图形展现，但遗憾的是，许多现有的教材在“证明方法”这一核心环节的处理上，往往显得不够系统和深入，要么过于简略，要么就是知识点罗列，未能真正教会读者掌握证明的“内功心法”。《平面几何证明方法全书》在这方面做得尤为出色。我翻阅后，立刻被其详尽且逻辑清晰的体系所吸引。它不仅涵盖了平面几何中所有基础的定理和公理，更重要的是，将重心放在了如何灵活运用这些知识进行严谨的证明。书中对于各种证明技巧，如“转化法”、“反证法”、“构造法”等，都进行了深入浅出的讲解，并且通过大量的精选例题，展示了这些方法在解决实际问题中的应用。我尤其欣赏的是，本书在讲解例题时，并没有仅仅给出最终的证明过程，而是深入剖析了证明思路的形成过程，包括如何观察图形、如何联想已知条件、如何选择恰当的定理、如何组织证明步骤等，这些“思考的痕迹”对于培养读者的数学思维能力具有不可估量的价值。它教会我不仅仅是“记住”证明，更是“理解”证明，从而能够举一反三，应对各种复杂的证明题。

评分☆☆☆☆☆

我之前一直觉得平面几何证明题是个“老大难”问题，总是在证明的关键时刻卡壳，或者逻辑跳跃得厉害，让老师看了直摇头。虽然看了很多题目，也背了不少定理，但实际运用起来总是事倍功半。《平面几何证明方法全书》的出现，简直就是我几何学习道路上的一盏明灯。这本书给我最大的感受就是它的“实用性”和“深度”兼备。它不是那种告诉你“看，就是这么做的”的书，而是耐心地解释“为什么这么做”以及“还有什么其他做法”。书中将各种证明方法进行了系统性的归纳和梳理，比如如何运用“等积法”来处理面积问题，如何巧用“相似三角形”来解决边长和角度关系，甚至连一些更高级的“向量法”、“坐标法”在平面几何中的应用都有提及。而且，它的例题真的太有代表性了，每一种方法都配上了精心挑选的题目，并且对解题过程中的每一个步骤都做了详尽的解释，甚至还指出了可能会出现的误区，这一点真的太贴心了。我发现，通过这本书的学习，我不再是机械地套用公式，而是能够主动地去分析题目，思考哪些条件可以用什么方法来证明，思路一下子就清晰了很多。感觉这本书真的能帮助我建立起扎实的几何证明功底，让我告别“死记硬背”的窘境。

评分☆☆☆☆☆

终于买到了，这个可以有

评分☆☆☆☆☆

书很好，希望看了能有所提升

评分☆☆☆☆☆

学霸必备工具书！

评分☆☆☆☆☆

送货速度快，书籍正版，值得收藏

评分☆☆☆☆☆

，，

评分☆☆☆☆☆

好书 买过不少沈教授的书

评分☆☆☆☆☆

。。。。。。。。

评分☆☆☆☆☆

纸张一般，内容较难。适合搞竞赛的老师和天才学生，一般人就不要浪费钱了。

评分☆☆☆☆☆

好。讲解很全面。只是没有答案。