吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘培杰数学工作室 编

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• 竞赛数学

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560359960

版次：1

商品编码：11946007

包装：平装

丛书名： 《数学中的小问题大定理》丛书

开本：16开

出版时间：2016-06-01

用纸：胶版纸

页数：93

字数：74000

正文语种：中文

内容简介

　　《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》从一道美国数学邀请赛试题的解法谈起，主要介绍了一元三次方程的一种解法、吴大任教授藏书中的因式分解公式、公式在解方程及方程组中的几个应用、对称多项式、赫尔德（Holder）不等式等内容。
　　《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》适合大、中学师生及数学爱好者参考阅读与收藏。

目录

0 引言
1 应用举例
2 一元三次方程的一种解法
3 吴大任教授藏书中的因式分解公式
4 公式在解方程及方程组中的几个应用
5 对称多项式
6 一元三次方程判别式的推导
7 利用牛顿公式解一个问题
8 有关对称多项式的两个竞赛题目
9 三个不等式的另类证明
10 赫尔德不等式
编辑手记

前言/序言

书籍简介：《费马大定理的百年探索：从密码学到现代数论的跨越》 一、 绪论：一个世纪的数学谜题 本书旨在深入剖析数学史上最负盛名的猜想之一——费马大定理（Fermat's Last Theorem）的百年探索历程。不同于传统的传记式叙事，本书将重点放在支撑该定理最终被证明的数学工具、思想演变以及它对现代数学分支的深远影响上。我们将追溯这一看似简单的方程 $x^n + y^n = z^n$（当整数 $n > 2$ 时无正整数解）如何成为了推动代数几何、椭圆曲线理论和伽罗瓦表示论发展的强大引擎。 全书结构围绕着“提出问题”、“早期尝试与误区”、“关键桥梁的建立”以及“最终的证明”这四大阶段展开，力求以严谨又不失可读性的方式，展现数学家们面对看似无解难题时所展现的非凡智慧与毅力。 二、 第一部分：萌芽与早期困境（17世纪至19世纪中叶） 1. 费马的挑战与早期直觉 本部分首先回顾费马在17世纪提出的这一著名命题，及其附注中留下的“我发现了极其美妙的证明，但此处空白太小写不下”的诱人文字。我们将详细探讨费马本人和他的早期追随者在 $n=3$ 和 $n=4$ 这两个特例上的成功，这些成功主要依赖于初等数论和费马自己的“无穷递降法”。 2. 代数数论的先驱工作：库默尔与理想数 随着数学工具的发展，人们开始意识到仅凭初等方法难以攻克普遍情况。本部分的核心是介绍19世纪中叶，德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）的开创性工作。库默尔发现，在某些数域（如分圆域 $mathbb{Q}(zeta_n)$）中，因子分解的唯一性被打破。为了解决这一障碍，他引入了“理想数”（Ideal Numbers）的概念，这直接催生了现代代数中的理想论。我们将详尽分析库默尔如何利用他的理论证明了“正则素数”的情况，并解释为何“非正则素数”的出现使证明陷入了长期的停滞。 三、 第二部分：连接的桥梁——椭圆曲线与模形式 本部分是全书的转折点，重点论述了两个看似不相关的数学领域——椭圆曲线和模形式——是如何通过一个深刻的猜想被联系起来的。 1. 椭圆曲线：几何与代数的交汇点 我们将引入椭圆曲线的代数定义 $y^2 = x^3 + Ax + B$，解释其上点的群结构，以及它们在有理数域上的性质。重点讨论了莫德尔-韦伊定理（Mordell-Weil Theorem）的意义，即椭圆曲线的有理点群是有限生成阿贝尔群，这为研究费马方程的解集提供了强大的分析框架。 2. 谷山-志村猜想的初步形态 本书将详细介绍日本数学家们（谷山丰、志村五郎）在20世纪中叶提出的革命性猜想：每一个有理系数的椭圆曲线都可以被一个模形式所参数化。我们将解释模形式的深奥性质——它们是具有高度对称性的复变函数，并揭示了这种“对应关系”的深刻含义：如果费马方程存在非平凡解 $(a, b, c)$，那么由其构造出的弗雷曲线（Frey Curve）将是一条具有极端病态性质的椭圆曲线。 3. 里贝特定理：将费马问题转化为椭圆曲线性质 我们将深入分析热拉尔·弗雷（Gerhard Frey）的洞察，以及肯尼思·里贝特（Ken Ribet）在1986年证明的里贝特定理（Ribet's Theorem），也称为 $epsilon$-猜想。里贝特定理确立了：如果费马大定理是错的（即存在非平凡解），那么弗雷曲线将存在，且该曲线将是“非常态”的，它不可能被任何模形式所参数化。这一证明将费马大定理的存亡直接与谷山-志村猜想的真伪挂钩。 四、 第三部分：安德鲁·怀尔斯的世纪证明 本部分将聚焦于安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）在1993年至1995年间完成的证明工作。 1. 怀尔斯的工作核心：伽罗瓦表示与L-函数 我们将探讨怀尔斯如何集中精力于证明谷山-志村猜想的一个关键子集——半稳定椭圆曲线的模化。这主要依赖于对椭圆曲线上的点定义的伽罗瓦表示与椭圆曲线自身的L-函数之间的深刻联系。我们解释了如何使用Hecke代数和Deformation Rings（变形环）的概念来“测量”和比较这些表示之间的差异，从而证明它们在特定情况下必须是相同的（即模化）。 2. 证明的艰难与修正 本书将忠实记录1993年宣布证明后的波折，特别是数学家们发现了一个关键环节（关于Colle-Wiles环的计算）的漏洞。随后，我们详述怀尔斯与理查德·泰勒（Richard Taylor）在一年多的时间里，如何巧妙地利用费马自己留下的特例证明中的思想，成功填补了证明的最后缺口，彻底巩固了证明的逻辑链条。 五、 结论：遗产与展望 本书最后一部分将总结费马大定理的解决对现代数学的贡献：它不仅是一个历史性的里程碑，更重要的是，它彻底验证了朗兰兹纲领（Langlands Program）在这一关键领域（椭圆曲线模化）的正确性。我们将简要探讨费马大定理的成功如何启发了后来的数学家，并成为驱动代数几何和数论深度融合的典范案例。 目标读者： 对高等数学史、数论、代数几何有浓厚兴趣的读者，以及希望理解20世纪最伟大数学成就背后深刻数学原理的专业人士和爱好者。本书假定读者具备微积分和线性代数的基础知识，但所有数论和代数概念都将得到清晰的阐释。

评分☆☆☆☆☆

说实话，在翻阅这本书之前，我对“因式分解”这个概念的印象还停留在中学课本的范畴，觉得它不过是解题过程中一个基础且略显枯燥的步骤。然而，《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》这个书名，却像一股清流，瞬间打破了我固有的认知。它没有直接抛出艰深的理论，而是从一个具体的“公式”出发，勾勒出一条从“一”到“美国数学邀请赛试题”的宏大叙事。这让我不禁开始思考，一个看似不起眼的公式，究竟隐藏着怎样的魔力，能够跨越如此大的知识鸿沟？它背后是否有着某种普适性的数学思想，能够融会贯通不同层次的问题？我对作者能够巧妙地将一个基础概念，转化为解决顶尖数学竞赛难题的利器，充满了敬佩。这不仅是对作者本人数学造诣的肯定，更是对数学学科本身强大生命力和无限可能性的生动诠释。我迫不及待地想知道，这个“公式”究竟是什么，以及它是如何被层层剥茧，最终应用于解决那些令人生畏的AIME题目。这种充满故事性和探索性的书名，极大地激发了我想要一探究竟的欲望。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次看到《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》的书名时，脑海中立刻浮现出一种“寻宝”的奇妙感觉。它暗示着，在这个看似平凡的“因式分解公式”背后，隐藏着一段不平凡的旅程，这段旅程的起点是一份珍贵的学术遗产（吴大任教授藏书），而终点则是数学竞赛中的璀璨明珠（美国数学邀请赛试题）。这种从“基础”到“拔高”的递进关系，非常有吸引力。我很好奇，这个“公式”本身是什么，它为何如此特别，能够承载如此大的跨越？更让我期待的是，作者将如何一步步地拆解，如何将一个看似简单的数学工具，巧妙地运用到那些充满挑战性的竞赛题目中。这其中必然涉及到深刻的数学思想和精妙的解题技巧。我希望这本书能让我看到，数学并非是僵化的知识点堆砌，而是一个充满联系、可以灵活运用的思想体系。通过阅读，我期待能够理解数学的“骨骼”是如何支撑起“血肉”，即基础如何成就了高难度问题的解决。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题，《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》，给我一种独特的阅读体验的预告。它并非那种直接罗列定理公式、堆砌学术术语的书籍，反而带着一丝叙事性和探索的意味。“吴大任教授藏书”这几个字，不仅赋予了这本书一份历史的厚重感和学术的严谨性，更像是在邀请读者一同走进一个知识的宝库，去发掘其中的珍贵“遗珠”。而“因式分解公式”这个核心要素，又将我们拉回到数学最基本的运算层面，但紧随其后的“从一到美国数学邀请赛试题”的路径，则是一个巨大的飞跃，它暗示着作者并非满足于停留在基础知识的讲解，而是要展现如何利用基础，去攀登数学竞赛的顶峰。这种从“基础”到“尖端”的视角转换，让我对本书的解读方式产生了浓厚的兴趣。我期待它能够用一种非同寻常的方式，引领我理解因式分解的深层含义，以及它在解决复杂数学问题中的强大作用。这种从浅入深、由简到繁的编排思路，在我看来，是一种非常高明的教学设计，能够让不同数学水平的读者都能从中受益。

评分☆☆☆☆☆

《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》这个书名，着实让我眼前一亮。它不像市面上许多数学书籍那样，直截了当的抛出“高难度”、“竞赛题”等字眼来吸引眼球，而是以一种更为含蓄、却又极具启发性的方式，勾勒出了本书的核心内容。“吴大任教授藏书”五个字，自带一种历史沉淀和学术权威的光环，让我对接下来的内容充满了信任感。而“因式分解公式”这个相对基础的概念，与“美国数学邀请赛试题”这样高难度的目标并列，形成了一种强烈的对比，也激起了我强烈的好奇心：一个基础公式，如何能成为攻克高难度竞赛题的利器？作者又是如何构建起从“一”（基础）到“美国数学邀请赛试题”之间的桥梁？这其中的思路、方法、以及可能存在的数学“巧思”，都是我迫切想要了解的。我预感，这本书不仅仅是关于一个公式的讲解，更可能是一次数学思维的深度探索，一次对数学学习路径的创新性阐释。它似乎在告诉我们，即使是最基础的知识，只要运用得当，也能发挥出惊人的能量。

评分☆☆☆☆☆

《吴大任教授藏书中的一个因式分解公式：从一到美国数学邀请赛试题的解法谈起》这本书，初拿到手时，我内心是充满好奇与期待的。我一直对数学中的奥秘，尤其是那些看似简单却蕴含深邃哲理的公式，抱有极大的兴趣。而“因式分解”这个概念，对我来说，既熟悉又带着一丝挑战。它像是数学世界里的一把钥匙，能够打开更复杂问题的门扉。书名中“吴大任教授藏书”的字样，更是增添了一份权威感和珍贵感，仿佛在指引着我，这条探索之路是由一位在数学领域深耕多年的大家所铺设，其间的精髓必是经过了时间的沉淀和智慧的打磨。我设想着，这本书不仅仅是关于一个公式的讲解，更可能是一次思想的启迪，一次数学思维的训练。作者如何将一个基础的因式分解公式，巧妙地引申到难度极高的美国数学邀请赛（AIME）试题中，这其中的逻辑链条、思维转化，想必会是本书最吸引我的地方。我期待着，通过阅读这本书，能够提升我的数学解题能力，更重要的是，能从更高的维度去理解数学的本质，体会数学的优雅与力量。这种将基础与拔高相结合的叙事方式，在很多科普读物中并不多见，它预示着这本书有着不寻常的价值。