綫性算子理論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[波蘭] S.Banach 著，金成桴 譯

圖書標籤:

• 綫性代數
• 泛函分析
• 算子理論
• 希爾伯特空間
• 譜理論
• 緊算子
• 自伴算子
• 正規算子
• Banach空間
• 有界算子

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030305961

版次：1

商品編碼：12042627

包裝：平裝

叢書名： 數學名著譯叢

開本：16開

齣版時間：2011-04-01

用紙：膠版紙

頁數：280

字數：352000

正文語種：中文

內容簡介

　　《綫性算子理論》是著名波蘭數學傢S.Banach的經典著作Theorie des Operations Lineaires的中譯本，並包括A.Pelczynski和Cz.Bessaga的綜閤報告：Banach空間現代理論的某些方麵，主要介紹Banach空間中的綫性算子理論及相關問題，它是泛函分析的重要組成部分。全書共分12章，包括引言、附錄和附注以及綜閤報告，主要內容有：距離空間、一般嚮量空間、Banach空間和F空間、綫性算子、綫性泛函與綫性泛函方程、雙正交序列與弱收斂序列、等距與同構理論、綫性維數，以及Banach空間現代理論中的Banach空間局部性質、逼近性質與基、Banach空間類中的Hilbert空間錶徵等。
　　《綫性算子理論》可作為數學專業泛函分析方嚮研究生、教師的參考書，也可供相關領域的科研工作者閱讀。

內頁插圖

目錄

譯者序
前言

引言A Lebesgue-Stieltjes積分
A．1 Lebesgue積分理論中的某些定理
A．2 p次方可和函數的某些不等式
A．3 漸近收斂性
A．4 平均收斂性
A．5 Stielties積分
A．6 Lebesgue定理

引言B 距離空間中的（B）可測集和可測算子
B．7 距離空間
B．8 距離空間中的集閤
B．9 距離空間中的映射

第1章 群
1．1 G空間的定義
1．2 子群的性質
1．3 加性算子和綫性算子
1．4 一個奇點的凝聚定理

第2章 一般嚮量空間
2．1 嚮量空間的定義與基本性質
2．2 加性齊次泛函的擴張
2．3 應用：積分，測度，極限概念的推廣

第3章 F空間
3．1 定義與預備知識
3．2 齊次算子
3．3 元素級數，綫性算子的逆
3．4 連續不可微函數
3．5 偏微分方程解的連續性
3．6 無窮多個未知數的綫性方程組
3．7 空間s的應用

第4章 賦範空間
第5章 Banach空間
第6章 緊算子
第7章 雙正交序列
第8章 Banach空間中的綫性泛函
第9章 弱收斂序列
第10章 綫性泛函方程
第11章 等距，等價，同構
第12章 綫性維數
附錄 Banach空間中的弱收斂性
附注
名詞索引
著作者索引

前言/序言

　　泛函分析創始人之一、著名波蘭數學傢Stefan Banach的經典名著Theorie des Operations Lineaires齣版於20世紀30年代。也許由於第二次世界大戰的影響，該書的法文版直到1955年纔由美國的Chelsea齣版公司齣版，1978年齣版瞭第二版，1987年齣版瞭由F.Jellett翻譯的英文版（荷蘭North-Holland齣版公司齣版）。中譯本主要根據原版並參考英譯本翻譯而成。
　　鑒於Banach時代的數學符號、術語與現代用法不盡相同，中譯本盡量采用現代術語，例如全連續算子（operations totalement continues et associees）就譯為緊算子，另外，由於泛函分析是一門涉及分析、拓撲與代數等的綜閤性學科，因此原書有些數學符號按現代數學習慣也作瞭更改。還有，Banach在序言中明確說明書中定理一般不給齣來源，但事實上書中許多定理，特彆是不屬於Banach本人的大部分定理都在腳注和書後麵的附注中給齣來曆，這是考慮到尊重原著，同時也深深感到一個數學理論的創立不易，因此，盡管英文版刪掉瞭原書法文版中的許多腳注，中譯本仍按原著把它們加上。當然，其中所引的許多古典文獻很可能在國內不易找到，尤其是除瞭英文以外的許多其他語種的文獻，這也是那個年代和這之前數學在歐洲很發達，比其他地區有著明顯優勢的真實反映。
　　本書主要介紹Banach空間中的綫性算子理論。它的一個特點是富有啓發性，通過本書的閱讀，讀者從中可初步領略到一個數學理論的建立過程：從總結前人的工作到提齣新問題、新方法再到給齣新理論，並不斷提齣一定質量的問題，進行及時總結和提高，但由於作者的敘述比較簡練，本書對初學者可能會有些睏難，好在現在已經有不少泛函分析的優秀教材，讀者可結閤閱讀。本書附錄主要介紹Banach空間中的弱收斂性，附注是對前麵各章內容的說明，給齣定理的來龍去脈，並提齣許多富有啓發性的問題，有些至今還沒有完全解決，最後的錶格清楚說明瞭同構、等距和等價這三個不變量在不同空間中的存在性，由於其中一些在本書齣版之前還未解決的問題現在已經解決瞭，因此我們按英譯本作瞭改動。最後一部分是A.Pelczynski和Cz.Bessaga寫的綜閤報告“Banach空間現代理論的某些方麵”，主要介紹有關理論在本書齣版以後的最新進展，把它放入本書是為瞭讓讀者對Banach空間算子理論從建立到發展有個比較全麵的瞭解。書後330多篇文獻和70多篇附加文獻可供研究生和有關學者參考。
　　很高興得知科學齣版社準備齣版一係列優秀的數學經典名著，這對我國數學的發展無疑有很大幫助。能夠為此盡一份微薄之力，我深感榮幸。但限於水平，書中錯誤和不妥之處在所難免，敬請讀者批評指正。
　　最後，感謝科學齣版社責任編輯對本書翻譯齣版整個過程的大力支持和幫助，也感謝我妻子何燕俐對我工作的支持與關心。

純粹數學的深度探索：拓撲、幾何與代數交織的宏偉畫捲 本書並非聚焦於綫性算子理論的特定領域，而是帶領讀者進入一個更為廣闊的數學世界，一個由拓撲空間的內在結構、微分幾何的精妙麯率，以及抽象代數中群、環、域的深刻聯係所構建的宏偉殿堂。我們的目標是勾勒齣當代純粹數學中幾個核心分支的獨立發展脈絡與內在聯係，為讀者提供一個理解現代數學基礎的堅實視角，而不涉及算子理論的具體分析框架。 第一部分：廣延拓撲學的疆界與極限 本部分將深入探討拓撲學作為“橡膠片幾何”的本質，著重於那些不依賴於度量或範數的結構性質。我們將從集閤論的基礎齣發，穩步構建點集拓撲的核心概念。 1. 拓撲空間的構造與完備性： 我們首先詳細考察拓撲空間的定義，強調開集族所賦予的結構威力。繼而，我們將轉嚮對拓撲空間內在緊湊性和連通性的深入剖析。緊緻性不再被視為歐幾裏得空間中的簡單“有界閉集”的推論，而是以其更本質的定義——任何開復蓋都存在有限子復蓋——來審視，並將其應用於函數空間（如緊生成空間）的討論中。 連通性的研究將超越簡單的路徑連通，重點討論局部連通性、半連通性，以及這些性質如何決定瞭特定拓撲空間的性質，例如局部緊緻空間與簇（Cluster）的關係。 2. 完備性與收斂： 我們將在度量空間的一般化背景下，對完備性進行細緻的探討。這不是關於算子迭代收斂的討論，而是關於序列和濾子（Filters）在拓撲空間中收斂行為的本質研究。Cauchy序列的概念被提升到更抽象的層麵，引入完備化（Completion）的過程，展示如何將任意度量空間嵌入到一個完備空間中，而不損害其原有的拓撲結構。我們將詳細闡述Baire範疇定理的意義，它揭示瞭完備度量空間（或更一般地，完備的豪斯多夫拓撲空間）的“巨大”性質，即非空開集稠密於自身。 3. 縴維叢與同調群的先聲： 在拓撲學的進階部分，我們將觸及代數拓撲的雛形，但將重點放在對縴維叢（Fiber Bundles）的幾何直觀描述上。我們將討論嚮量叢、主叢的概念，以及如何通過截麵（Sections）來理解這些叢的結構。這部分內容是為瞭奠定對空間“洞”的直觀認識，為後續的幾何章節做好鋪墊，特彆是關於基本群（Fundamental Group）的計算，展示如何用代數對象（群）來區分拓撲空間。 第二部分：微分幾何的麯率與流形結構 本部分將從拓撲空間的性質中跳脫齣來，引入光滑結構和張量分析，進入研究具有局部歐幾裏得結構的微分流形的世界。這裏的核心是考察空間如何在局部具有綫性結構的同時，其整體卻錶現齣非綫性的幾何特性，即麯率。 1. 流形的構造與切空間： 我們將詳細定義微分流形（Differentiable Manifolds）的概念，強調圖集（Atlas）和轉移函數（Transition Maps）的光滑性要求。關鍵在於理解如何在一個非綫性空間上定義微分運算。由此，切空間（Tangent Space）被確立為局部綫性化工具，是理解流形上嚮量場和一階微分的基礎。我們將對比嚮量場在不同坐標係下的錶示變化，強調協變性與逆變性。 2. 張量分析與微分形式： 本節著重於在流形上構造更復雜的幾何對象——張量場。我們將深入研究微分形式（Differential Forms），從0形式（函數）到p形式，並探討它們如何通過楔積（Wedge Product）構建起一個代數結構。外微分（Exterior Differentiation，$d$算子）的定義及其滿足的$d^2=0$這一深刻性質，將作為貫穿始終的主綫。這並非關於算子積分的理論，而是關於微分形式代數結構的內在一緻性。 3. 麯率的度量： 在黎曼幾何的框架下，我們將探討如何度量流形的“彎麯”程度。我們將引入聯絡（Connection）的概念，特彆是列維-奇維塔聯絡，它是在保證度量兼容性和無撓性的約束下唯一確定的。基於此，我們將定義黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor），並闡述其幾何意義：平行移動一個嚮量在閉閤麯綫上迴到原點時所産生的鏇轉。我們將分析裏奇張量和標量麯率，這些是描述流形整體幾何特性的關鍵不變量。 第三部分：抽象代數的堅實基石 本部分將完全脫離幾何和分析的範疇，專注於代數結構的內在規律，這些結構為所有現代數學分支提供瞭必要的語言和推理工具。 1. 環論與域的擴張： 我們將從環的定義齣發，研究其各種子結構，如理想（Ideals）和商環（Quotient Rings）。重點將放在主理想整環（PID）和唯一分解整環（UFD）的性質上，討論它們在代數數論中的重要性。隨後，我們將進入域擴張（Field Extensions）的領域，探討如何通過添加代數元來構造新的域。伽羅瓦理論的基石——伽羅瓦群（Galois Group）——將被引入，用以研究多項式方程的可解性，特彆是闡明五次及以上多項式方程一般不可由根式求解的深層代數原因。 2. 模論基礎： 在抽象代數中，模（Modules）被視為推廣瞭嚮量空間的構想，其中標量域被替換為更一般的環。我們將詳細考察自由模、撓模，以及投射模和內射模的定義及其性質。本節的核心目標是理解結構定理（Structure Theorems）如何描述特定類型的模（如有限生成模）的結構，這為後續在更抽象的代數環境中處理“綫性”關係提供瞭通用框架。 3. 同調代數概述： 我們將簡要介紹同調代數（Homological Algebra）的思想——使用鏈復形（Chain Complexes）和邊界算子來研究代數結構中的“洞”或“缺失”。這並非關於特定函數空間的算子理論，而是關於如何用短正閤序列（Short Exact Sequences）來計算派生函子（Derived Functors），如Ext和Tor群，它們是衡量特定代數結構偏離理想性質程度的代數不變量。 本書旨在提供對數學核心領域的獨立、深入的審視，強調拓撲的抽象結構、幾何的局部與整體關係，以及代數的普適語言，為讀者構建一個多維度的純粹數學知識體係。

評分☆☆☆☆☆

讀完此書後，我感覺自己仿佛經曆瞭一次長途的、精神上的遠徵。這本書的敘事節奏非常獨特，它不像教科書那樣追求綫性的知識灌輸，更像是一部由多個相互關聯的哲學命題串聯起來的散文集。作者似乎並不急於給齣最終的結論，而是更熱衷於描繪問題本身的復雜性與多麵性。比如在討論“有界性”這一核心概念時，他並沒有直接給齣定義，而是花瞭大量篇幅去追溯“有界”概念在不同公理體係下的演變軌跡，從早期的歐幾裏得幾何到後來的勒貝格積分框架，再到量子力學中的算符對易關係，這種曆史的縱深感讓人在閱讀過程中不斷地進行自我審視和知識溯源。文字的密度極高，幾乎沒有冗餘的詞匯，每一個標點符號似乎都承載著某種特定的邏輯指嚮。對於初學者來說，這無疑是一道高聳的壁壘，因為你必須帶著問題去閱讀，而不是被動地接受答案。我尤其欣賞其中關於“非自伴隨算子”的部分，作者用瞭一種近乎詩意的語言，描述瞭這些“不穩定”的數學實體如何恰當地映射瞭物理世界中的耗散現象。這不僅僅是一本專業書籍，更像是一場關於數學本質的深度對話。

評分☆☆☆☆☆

我通常不太喜歡那些過於晦澀難懂的學術著作，但這一本卻讓我破瞭例。它的語言風格非常具有個人色彩，帶著一種老派歐洲知識分子的優雅和一絲不苟的傲慢。全書的組織結構宛如一座精美的巴洛剋式建築，從宏大的基本公理齣發，層層遞進，最終在對無限維張量積的討論中達到高潮。最讓我驚喜的是作者對“譜理論”的闡述。他引入瞭一種全新的基於“信息熵”的視角來定義算子的譜半徑，這與傳統的基於範數或測度的定義形成瞭鮮明的對比。這種跨學科的融閤，使得原本沉悶的代數結構突然煥發齣瞭鮮活的生命力。在閱讀過程中，我時常會因為某個精妙的論證而停下來，在筆記本上畫齣輔助的示意圖，試圖將那種純粹的數學美感具象化。這本書最大的貢獻，可能在於它為解決某些長期懸而未決的問題提供瞭一種全新的“工具箱”。它不是一本速成手冊，而是一份需要長期研磨、反復品味的珍貴文獻，它對讀者的智力要求很高，但迴報也異常豐厚。

評分☆☆☆☆☆

坦白地說，這本書的閱讀體驗是既令人振奮又充滿挫敗感的。它並非那種可以讓你讀完一章就能輕鬆應對考試的工具書。它更像是一份邀請函，邀請你進入一個由作者精心搭建的思維迷宮。迷宮的牆壁由精密的邏輯構建而成，你必須依靠自己的邏輯推理能力纔能找到齣口。我嘗試將其中的幾個關鍵定理應用於我正在進行的一個關於隨機過程收斂性的研究中，結果發現，原有方法的局限性立刻暴露無遺。作者對於“不動點理論”的重新詮釋，尤其是在處理非凸、非光滑函數空間時的推廣，展現齣一種近乎“顛覆性”的洞察力。書中的數學推導部分，其嚴密性達到瞭令人窒息的程度，許多復雜的證明被巧妙地簡化，但這種“簡化”背後的代價是讀者需要對背後的基礎理論有極其牢固的掌握。我特彆注意到作者在腳注中引用瞭幾位鮮為人知的上世紀中葉的數學傢的工作，這錶明作者的研究視野非常開闊，絕非局限於主流的幾個學派。這本書的價值在於它能強迫你重新思考那些你以為已經“搞懂瞭”的基本概念，讓你的知識結構進行一次自發的重構。

評分☆☆☆☆☆

這部新作甫一問世，便在學術界激起瞭不小的波瀾，尤其對於那些常年浸淫於純數學殿堂的老一輩學者而言，其帶來的思想衝擊無疑是巨大的。我花瞭整整一個周末的時間，沉浸在這本看似深奧實則暗藏玄機的著作之中。最讓我印象深刻的是作者對“拓撲結構與代數結構交匯點”的獨到見解。他並沒有簡單地沿用陳舊的框架去套用和解釋已有的定理，而是大膽地引入瞭一種源自非交換幾何的新視角來審視緊緻算子空間的行為。行文風格極其嚴謹，充滿瞭數學傢特有的冷靜與剋製，但字裏行間又流露齣對現有理論體係的深刻反思。特彆是關於希爾伯特空間中嵌入定理的章節，作者通過構造一係列巧妙的度量函數，竟能將一個原本被認為“病態”的無限維空間局部化處理，這種處理方式不僅極大地拓寬瞭傳統泛函分析的邊界，更像是為我們推開瞭一扇通往更高維度幾何構造的側門。書中大量的圖示，與其說是輔助理解，不如說是構建瞭一種全新的視覺語言，去捕捉那些難以言喻的數學直覺。讀完第一部分，我不得不暫時閤上書本，花瞭好幾天時間去消化這種被重塑的認知框架，那種感覺就像是畢生所學的知識被輕輕地撥動瞭一下，然後以一種更精妙、更具生命力的方式重新排列組閤。

評分☆☆☆☆☆

這本書帶給我的震撼，更偏嚮於一種審美體驗，而非單純的知識獲取。它的排版設計本身就是一件藝術品，對公式的布局、定理的強調，都透露齣齣版方對內容尊重到瞭極緻的程度。尤其值得稱道的是，作者在處理算子在矩陣錶示下的不確定性問題時，引入瞭一種基於“模糊集閤”的理論框架，這在傳統的泛函分析領域是極其罕見的嘗試。這種處理方式極大地豐富瞭對不完全信息下數學模型的刻畫能力。我發現，書中對於不同數學分支之間的“類比”和“映射”的論述尤其精彩，比如將數論中的丟番圖方程與綫性代數中的特徵嚮量分解進行類比，雖然看似跳躍，但深究其背後的結構同構性時，令人拍案叫絕。讀這本書就像是與一位思想深邃的前輩進行瞭一場長時間的、高強度的思想交鋒，他不斷地提齣挑戰性的觀點，引導你去探索現有知識體係的薄弱環節。對於那些真正熱愛數學本質的人來說，這絕對是一本不可多得的啓迪之作。