微分几何中嘉当的活动标架法和外微分系统初步（英文版） [Cartan for Beginners:Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 艾维（Thomas A.Ivey） 著

图书标签:

• Differential Geometry
• Moving Frames
• Cartan Geometry
• Exterior Differential Systems
• Manifolds
• Geometry
• Mathematics
• Topology
• Lie Groups
• Differential Forms

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040469172

版次：1

商品编码：12118838

包装：精装

丛书名： 美国数学会经典影印系列

外文名称：Cartan for Beginners:Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems

开本：16

内容简介

　　《微分几何中嘉当的活动标架法和外微分系统初步（英文版）》介绍了微分几何的嘉当方法。嘉当几何的两个中心方法是外微分理论和活动标架方法，《微分几何中嘉当的活动标架法和外微分系统初步（英文版）》对它们做了深入和现代化的处理，包括它们在古典和现代问题中的应用。
　　《微分几何中嘉当的活动标架法和外微分系统初步（英文版）》一开始用活动标架的语言讲述了经典曲面几何和基础黎曼几何，然后简要介绍了外微分。很多关键概念是通过导向定义、定理和证明的有启发性的例子逐步展开的。
　　这些方法的基础建立后，作者便转向应用和更高深的专题。一个引人注目的应用是关于复代数几何的，在那里射影微分几何的一些重要结果得以拓展和更新。本书重点引进了G-结构并讨论了联络理论。通过Darboux方法、特征法、等价性的嘉当法，嘉当的这种机制也被用来求偏微分方程的显式解。
　　《微分几何中嘉当的活动标架法和外微分系统初步（英文版）》适合在一年期的微分几何研究生课程中讲授，通篇包括大量的习题和例题。偏微分方程和代数几何等方向的专家如果想了解活动标架和外微分在他们领域中的应用，那么本书对他们是十分有用的。

内页插图

目录

Preface
Chapter 1． Moving Frames and Exterior Differential Systems
1．1． Geometry of surfaces in E3 in coordinates
1．2． Differential equations in coordinates
1．3． Introduction to differential equations without coordinates
1．4． Introduction to geometry without coordinates： curves in E2
1．5． Submanifolds of homogeneous spaces
1．6． The Maurer-Cartan form
1．7． Plane curves in other geometries
1．8． Curves in E3
1．9． Exterior differential systems and jet spaces

Chapter 2． Euclidean Geometry and Riemannian Geometry
2．1． Gauss and mean curvature via frames
2．2． Calculation of H and K for some examples
2．3． Darboux frames and applications
2．4． What do H and K tell us？
2．5． Invariants for n，-dimensional submanifolds of En+s
2．6． Intrinsic and extrinsic geometry
2．7． Space forms： the sphere and hyperbolic space
2．8． Curves on surfaces
2．9． The Gauss-Bonnet and Poincare-Hopf theorems
2．10． Non-orthonormalframes

Chapter 3． Projective Geometry
3．1． Grassmannians
3．2． Frames and the projective second fundamental form
3．3． Algebraic varieties
3．4． Varieties with degenerate Gauss mappings
3．5． Higher-order differential invariants
3．6． Fundamental forms of some homogeneous varieties
3．7． Higher-order Fubini forms
3．8． Ruled and uniruled varieties
3．9． Varieties with vanishing Fubini cubic
3．10． Dual varieties
3．11． Associated varieties
3．12． More on varieties with degenerate Gauss maps
3．13． Secant and tangential varieties
3．14． Rank restriction theorems
3．15． Local study of smooth varieties with degenerate tangential varieties
3．16． Generalized Monge systems
3．17． Complete intersections

Chapter 4． Cartan-Kahler Ⅰ： Linear Algebra and Constant-Coefficient Homogeneous Systems
4．1． Tableaux
4．2． First example
4．3． Second example
4．4． Third example
4．5． The general case
4．6． The characteristic variety of a tableau

Chapter 5． Cartan-Kahler Ⅱ： The Cartan Algorithm for Linear Pfaffian Systems
5．1． Linear Pfaffian systems
5．2． First example
5．3． Second example： constant coefficient homogeneous systems
5．4． The local isometric embedding problem
5．5． The Cartan algorithm formalized： tableau， torsion and prolongation
5．6． Summary of Cartan's algorithm for linear Pfaffian systems
5．7． Additional remarks on the theory
5．8． Examples
5．9． Functions whose Hessians commute， with remarks on singular solutions
5．10． The Cartan-Janet Isometric Embedding Theorem
5．11． Isometric embeddings of space forms （mostly flat ones）
5．12． Calibrated submanifolds

Chapter 6． Applications to PDE
6．1． Symmetries and Cauchy characteristics
6．2． Second-order PDE and Monge characteristics
6．3． Derived systems and the method of Darboux
6．4． Monge-Ampere systems and Weingarten surfaces
6．5． Integrable extensions and Backlund transformations

Chapter 7． Cartan-Kahler Ⅲ： The General Case
7．1． Integral elements and polar spaces
7．2． Example： Triply orthogonal systems
7．3． Statement and proof of Cartan-Kahler
7．4． Cartan's Test
7．5． More examples of Cartan's Test

Chapter 8． Geometric Structures and Connections
8．1． G-structures
8．2． How to differentiate sections of vector bundles
8．3． Connections on Fc and differential invariants of G-structures
8．4． Induced vector bundles and connections on induced bundles
8．5． Holonomy
8．6． Extended example： Path geometry
8．7． Frobenius and generalized conformal structures

Appendix A． Linear Algebra and Representation Theory
A．1． Dual spaces and tensor products
A．2． Matrix Lie groups
A．3． Complex vector spaces and complex structures
A．4． Lie algebras
A．5． Division algebras and the simple group G2
A．6． A smidgen of representation theory
A．7． Clifford algebras and spin groups

Appendix B． Differential Forms
B．1． Differential forms and vector fields
B．2． Three definitions of the exterior derivative
B．3． Basic and semi-basic forms
B．4． Differentialideals

Appendix C． Complex Structures and Complex Manifolds
C．1． Complex manifolds
C．2． The Cauchy-Riemann cquations
Appendix D． Initial Value Problems
Hints and Answers to Selected Exercises
Bibliography
Index

前言/序言

　　In this book， we use moving frames and exterior differential systems to study geometry and partial differential equations. These ideas originated about a century ago in the works of several mathematicians， including Gaston Darboux， Edouard Goursat and， most importantly， Elie Cartan. Over the years these techniques have been refined and extended; major contributors to the subject are mentioned below， under "Further Reading".
　　The book has the following features： It concisely covers the classical geometry of surfaces and basic Riemannian geometry in the language of moving frames. It includes results from projective differential geometry that update and expand the classic paper [69] of Griffiths and Harris. It provides an elementary introduction to the machinery of exterior differential systems (EDS)， and an introduction to the basics of G-structures and the general theory of connections. Classical and recent geometric applications of these techniques are discussed throughout the text.
　　This book is intended to be used as a textbook for a graduate-level course; there are numerous exercises throughout. It is suitable for a one- year course， although it has more material than can be covered in a year， and parts of it are suitable for one-semester course (see the end of this preface for some suggestions). The intended audience is both graduate students who have some familiarity with classical differential geometry and differentiable manifolds， and experts in areas such as PDE and algebraic geometry who want to learn how moving frame and EDS techniques apply to their fields.
　　In addition to the geometric applications presented here， EDS techniques are also applied in CR geometry (see， e.g.， [98])， robotics， and control theory (see [55， 56， 129]). This book prepares the reader for such areas， as well as for more advanced texts on exterior differential systems， such as [20]， and papers on recent advances in the theory， such as [58， 117l. Overview. Each section begins with geometric examples and problems. Techniques and definitions are introduced when they become useful to help solve the geometric questions under discussion. We generally keep the pre- sentation elementary， although advanced topics are interspersed throughout the text.
　　In Chapter 1， we introduce moving frames via the geometry of curves in the Euclidean plane E2. We define the Maurer-Cartan form of a Lie group G and explain its use in the study of submanifolds of G-homogeneous spaces. We give additional examples， including the equivalence of holomorphic mappings up to fractional linear transformation， where the machinery leads one naturally to the Schwarzian derivative.
　　We define exterior differential systems and jet spaces， and explain how to rephrase any system of partial differential equations as an EDS using jets. We state and prove the Frobenius system， leading up to it via an elementary example of an overdetermined system of PDE.
　　In Chapter 2， we cover traditional material-the geometry of surfaces in three-dimensional Euclidean space， submanifolds of higher-dimensional Eu- clidean space， and the rudiments of Riemannian geometry-all using moving frames. Our emphasis is on local geometry， although we include standard global theorems such as the rigidity of the sphere and the Gauss-Bonnet Theorem. Our presentation emphasizes finding and interpreting differential invariants to enable the reader to use the same techniques in other settings.
　　We begin Chapter 3 with a discussion of Grassmannians and the Pliicker embedding. We present some well-known material (e.g.， Fubini's theorem on the rigidity of the quadric) which is not readily available in other textbooks. We present several recent results， including the Zak and Landman theorems on the dual defect， and results of the second author on complete intersections. osculating hypersurfaces， uniruled varieties and varieties covered by lines. We keep the use of terminology and results from algebraic geometry to a minimum， but we believe we have included enough so that algebraic geometers will find this chapter useful.

好的，以下是根据您的要求撰写的一份图书简介，重点围绕微分几何的基础理论、李群、李代数以及外微分系统，同时避免提及您所提供的具体书名及内容。 --- 探索几何的深度：从基础概念到现代方法的解析 本书旨在为读者提供一个深入而系统的几何学探索之旅，重点聚焦于经典几何框架下的关键概念及其在现代数学物理中的应用。我们旨在搭建一座坚实的桥梁，连接初学者对曲线、曲面几何的直观理解与高级研究中不可或缺的分析工具。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在不牺牲数学严谨性的前提下，使得复杂概念易于消化吸收。 第一部分：基础结构的重塑与概念的深化 本书的开篇部分将回归微分几何的基石——流形（Manifolds）。我们将详尽阐述拓扑空间、连续映射、微分结构等基本要素，为后续的微分几何研究奠定坚实的基础。我们不会止步于传统的欧几里得空间，而是将视角扩展到抽象的微分流形上，探讨如何在这个高维、非线性的设定中定义光滑函数、向量场以及张量场。 向量场与切空间： 切空间作为流形上局部结构的核心，是理解方向和速度的关键。本书将深入剖析切空间的代数结构，并详细阐述向量场如何构成一个李代数结构，这是后续研究李群理论的先决条件。我们将通过实例说明如何利用微分作用于函数（即李导数）来刻画流形上的“运动”与“变形”。 微分形式与积分： 在本部分，我们将引入微分形式（Differential Forms）的概念，这是连接几何直观与代数计算的强大工具。从 0-形式（函数）到 $n$-形式（体积形式），我们将系统地构建外积代数（Exterior Algebra）。重点在于楔积（Wedge Product）的定义及其双线性、反对称性质，这些性质是后续构建微分算子的核心。 微分算子与基本定理： 沿着外微分的路径，我们将定义外微分（Exterior Derivative） $d$。这个运算将张量场的概念提升到了一个新的高度，使得我们可以用单一的代数操作来概括梯度、旋度和散度等经典向量微积分概念。本书将深入探讨著名的 Poincaré 引理（关于局部精确性）以及 Stokes 定理的推广。这个推广的 Stokes 定理将成为连接拓扑不变量与微分结构的核心工具，它清晰地展示了 $d^2 = 0$ 这一简洁而深刻的代数关系在几何中的物理意义。 第二部分：李群与李代数：对称性的代数语言 现代几何与物理学的核心支柱之一是对称性的研究。本部分将引入李群（Lie Groups）的概念，它们是既是群又是光滑流形的结构，是描述连续对称性的数学对象。 李群的结构： 我们将从欧几里得空间中的正交群 $O(n)$ 和特殊线性群 $SL(n)$ 等经典例子入手，逐步抽象出李群的定义。重点在于理解李群的局部结构——它在单位元附近的邻域可以被一个向量空间所近似。 李代数的生成元： 这种局部近似导出了李代数（Lie Algebra）的概念。李代数是与李群相关联的切空间，其上的乘法运算被定义为李括号（Lie Bracket）。我们将详尽地分析李括号的性质，特别是它的反对称性和雅可比恒等式。李括号不再仅仅是一个代数运算，而是衡量群结构“弯曲程度”的量度。 指数映射与对数映射： 连接群与代数的桥梁是指数映射。我们将详细讨论指数映射如何从李代数的元素映射到相应的李群元素，以及对数映射如何反之作用。这种映射关系使得我们可以利用代数工具（李代数）来分析拓扑和几何结构（李群），这是解决许多微分几何和拓扑问题的关键策略。 经典李群的分解： 本书将对 $GL(n), O(n), U(n)$ 等经典紧致李群进行结构分析，探究它们的子群、根系（Root Systems）以及Cartan子代数（Cartan Subalgebras）的构造。理解这些代数结构，对于处理对称空间和表示论至关重要。 第三部分：构建解析工具：外微分系统导论 在掌握了流形和对称性的代数工具之后，本书将进一步介绍一种强大的、基于微分形式的解析框架——外微分系统（Exterior Differential Systems）。这种方法为解决复杂的偏微分方程组以及研究微分方程的几何结构提供了一种统一的视角。 微分形式的组合与方程组： 我们将探讨如何利用外微分系统来表达一组耦合的微分方程。一个外微分系统通常表现为一个形式理想（Ideal of Forms）的集合。重点在于理解什么是“可积的”（Integrable）系统，即系统的解的存在性和唯一性条件。 Frobenius 定理的几何诠释： 系统的可积性在几何上对应于 Frobenius 定理。我们将从高维微分形式的视角重新审视此定理，它明确指出了何时一个由微分形式构成的子空间可以由一组独立的函数或向量场的积分流来生成。这个定理是连接代数结构（外微分系统）与几何构造（积分流形）的枢纽。 特征值与解的存在性： 我们将分析在系统中引入外部约束（例如，要求特定形式为零）时，如何通过分析系统的特征值（Eigenvalues）来判断局部解的存在性。这种分析将微分方程的求解问题转化为对特定外微分结构特性的代数判定。 应用实例： 本部分将通过具体的几何问题，如等距嵌入问题（Isometry Embedding Problems）或特定类型的非线性偏微分方程，展示外微分系统在构造解或证明解的性质方面的威力。我们将侧重于如何将几何约束转化为形式语言，并通过系统的代数操作来推进几何分析。 总结与展望 本书的结构设计力求在介绍深奥概念时保持清晰的层次感。从流形的微积分，到对称性的李代数描述，再到利用外微分系统解决复杂的微分方程几何，读者将获得一套完整的现代几何分析工具箱。它不仅是理论学习的教材，更是一份引导读者进入微分几何前沿研究的路线图。最终目标是让读者能够独立地运用这些强大的数学语言，去解析和构建复杂的几何模型。

评分☆☆☆☆☆

提到“外微分系统”，这在我目前的学习阶段，是一个相对陌生但又充满了神秘感的话题。我听说过它在偏微分方程、代数几何以及现代动力学理论中扮演着至关重要的角色，但具体它如何运作，又为何能如此强大，我一直缺乏一个清晰的入口。这本书将它与活动标架法并列，并且冠以“初步”之名，这让我看到了一个绝佳的学习机会。我设想，活动标架法提供的动态视角，或许能为理解抽象的外微分系统提供一种具体的、可操作的框架。也许，这本书会教我如何将几何对象转化为一系列微分方程的组合，然后利用活动标架的工具来分析这些系统的解空间，从而洞察其内在的几何性质。我对这种将几何的“形”与代数的“数”巧妙结合的方法感到非常兴奋。我希望这本书能像一个向导，带领我穿过这片看似晦涩的领域，让我能够初步领略到外微分系统的强大之处，并为其在其他数学分支中的应用打下基础。

评分☆☆☆☆☆

选择一本新的数学书籍，尤其是在一些较为深入的领域，往往会伴随着一些担忧。我会担心这本书的抽象程度是否过高，是否会充斥着我无法理解的术语，或者例题是否过于简单，无法体现核心思想的精髓。但是，“初学者”这个词，以及“活动标架法”和“外微分系统”这两个概念的并列，又让我对这本书的组织结构充满了好奇。我猜想，这本书的编排一定经过了精心的设计，能够将这两个相对独立的但又紧密联系的概念有机地融合在一起。也许，它会首先通过活动标架法来建立一种几何直觉，然后在此基础上引入外微分系统的概念，并且用活动标架的语言来解释和解决外微分系统的问题。我希望这本书能提供大量的例子，并且这些例子能够清晰地展示出所介绍方法的有效性，让我能够看到这些理论在实际问题中的应用。

评分☆☆☆☆☆

这本书，[Cartan for Beginners:Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems]，当我第一次看到书名的时候，就有一种莫名的吸引力。它似乎承诺了一个不同寻常的学习路径，将 Cartan那复杂而精妙的数学思想，以一种“初学者”都能理解的方式呈现出来。在许多教科书中，微分几何常常以坐标系为基础，逐步引入张量和曲率，这个过程固然严谨，但有时也显得有些沉重，仿佛一步步被束缚在固定的框架内。而“活动标架法”这个词，立刻让我联想到了一种更加灵活、更加“空间感”的学习方式，仿佛我们可以随着曲线或曲面一起“移动”，用一个动态的视角去审视几何的本质。我一直在寻找能够帮助我突破现有认知局限的学习材料，这本书的书名就给了我这样的希望。它暗示着一种“直觉式”的理解，而不是纯粹的符号演算，这对于我这样更倾向于可视化和概念化理解的学习者来说，是极具诱惑力的。我希望这本书能够真正地“激活”我的几何直觉，让我看到那些隐藏在繁复公式背后的优雅结构。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我过去的微分几何学习经历，有时会让我觉得像是在一个密闭的空间里解题。我们被告知一个定理，然后被要求用特定的方法去证明它，却很少有机会去“玩味”这个定理的几何意义，或者思考它在更广阔的数学世界中可能扮演的角色。这本书的书名，特别是“Cartan for Beginners”这个副标题，给我一种感觉，它不仅仅是一本介绍技术方法的书，更可能是一本试图传达一种“ Cartan 精神”的书。我期待它能展现出 Cartan 那种宏大而统一的几何视野，将看似孤立的几何概念串联起来，形成一个更加有机的整体。我希望作者能够循序渐进地引导读者，从最基本的概念出发，逐步建立起对活动标架和外微分系统的深刻理解，而不是直接扔出一堆复杂的定义和定理。我渴望的是一种能够激发我好奇心，并且让我能够主动去探索数学的阅读体验，而不是被动地接受知识。

评分☆☆☆☆☆

当我浏览图书目录或者阅读其他书评时，我通常会寻找那些能够在我脑海中“点亮”新思路的书。这本书的名字，[Cartan for Beginners:Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems]，就有一种这样的魔力。它不是那种简单地罗列定理和证明的书，它似乎在向我展示一种全新的视角，一种理解几何的“方式”。我期待这本书能够让我摆脱对坐标的过度依赖，学会用一种更加内在、更加“几何”的方式去思考问题。我希望它能够让我体会到 Cartan 思想的精妙之处，并且能够理解为什么活动标架法和外微分系统能够成为理解现代几何和拓扑学的关键工具。我希望通过阅读这本书，我能够对微分几何有一个更深刻、更全面的认识，并且能够为我未来进一步的学习打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

学习学习。好书。生也有涯，知也无涯，虽有涯难随无涯，但还是忍不住。

评分☆☆☆☆☆

纸张、装订都很好！

评分☆☆☆☆☆

不错！不错！不错！不错！不错！不错！不错！不错！不错！不错！

评分☆☆☆☆☆

学习学习。好书。生也有涯，知也无涯，虽有涯难随无涯，但还是忍不住。

评分☆☆☆☆☆

很不错。很不错。很不错。

评分☆☆☆☆☆

高教的AMS系列高大上，印刷很精美，大促做活动，咬牙买了。值！

评分☆☆☆☆☆

要毕业了，不知道以后还搞不搞学术

评分☆☆☆☆☆

非常好的书，印刷质量也很好，不过京东送货的包装不敢恭维，送过来的书的精装封面都能够有破损和折痕！

评分☆☆☆☆☆

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