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内容简介

　　近十多年来迅速发展起来的对称性分岔理论方法因其深刻的数学基础，以及在固体力学、流体力学、物理学、化学、生物学及一些工程领域中的重要应用，已受到许多数学及应用科学工作者的日益关注，特别地，近年来关于对称混沌吸引子的一些结果已成为等变动力系统理论中一个值得注意的方向。《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》系统地阐述与对称性有关的分岔和混沌吸引子的理论、方法及其应用，《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》论证严谨、深入浅出，能使读者在较短的时间内掌握对称性分岔与混沌吸引子的理论基础，并较快地深入到与此相关的各种问题的研究中去，每章末附有习题，以便于读者深入理解《现代数学基础丛书·典藏版46：对称性分岔理论基础》内容。
　　读者对象为理工科大学数学系、应用数学系和其他相关专业的大学生、研究生、教师及有关的科学工作者。

内页插图

目录

第一章 引论
§1．1 对称性分岔问题和方法
1．1．1 分岔问题
1．1．2 对称性
1．1．3 稳定性和对称性的变化
1．1．4 Hopf分岔
1．1．5 离散系统的对称性分岔问题
1．1．6 对称性分岔问题的处理方式
§1．2 泛函分析工具
1．2．1 Banach空间中的微分运算
1．2．2 反函数和隐函数定理
1．2．3 静态分岔存在的必要条件
1．2．4 Fredholm算子
§1．3 Liapunov-Schmidt简约
1．3．1 Liapunov-Schmidt简约的基本步骤
1．3．2 系数计算公式
1．3．3 Fredholm算子情形
1．3．4 应用
§1．4 奇点理论初步
1．4．1 有关的代数知识
1．4．2 芽空间
1．4．3 Malgrange预备定理
§1．5 Malgrange预备定理的证明
1．5．1 除法定理
1．5．2 Malgrange预备定理的证明
1．5．3 引理1．5．3 的证明
1．5．4 Nirenberg延拓定理的证明
习题一

第二章 单变量分岔理论
§2．1 轨道切空间
2．1．1 等价和强等价
2．1．2 轨道切空间
2．1．3 轨道切空间的基本定理及推论
§2．2 内蕴理想与识别问题
2．2．1 内蕴理想
2．2．2 最大和最小内蕴理想
……
第三章 群论方法
第四章 等变分岔理论
第五章 向量场的局部分岔理论方法
第六章 对称破缺理论
第七章 离散系统中吸引子的对称性
参考文献

前言/序言

　　对称性是指在某个群的作用下不变的性质，具有对称性的分岔问题在参数通过分岔值时，其解的个数，稳定性及对称性都可能发生变化。由于这种变化所揭示的现象带有普遍性，对称性分岔理论在固体力学、流体力学、物理学、化学、生物学及一些工程领域中都有着重要应用，并已成为许多数学及应用科学工作者关注的课题。
　　对称性分岔理论用到的数学工具除微分方程、泛函分析等分岔理论通常采用的方法外，还以奇点理论和群论方法作为其理论基础，奇点理论最初在1970年前后由R.Thom以突变理论的形式提出，并由J.Mather[Mat1-3]给出了严格的数学论证，V.I.Arnold还在向量场的局部分岔应用方面作了发展。自本世纪70年代末以来，M.Golubitsky等人[GSc1，2]将奇点理论同群论方法结合起来，系统地用于分岔问题的研究，以后又将群论工具用于离散系统吸引子的对称结构研究。他们的工作大大丰富和发展了这方面的理论，并在一系列应用问题方面取得了举世瞩目的成效。
　　奇点概念描述了系统连续变化过程中出现的间断结构，引进群的对称性之后，进一步丰富了它的研究对象。运用奇点理论和群论方法来研究分岔理论大致能比较满意地处理以下几方面的问题：
　　（1）将映射的分岔问题化为比较简单的正规形（识别问题），并通过分岔问题级数展式的前有限项来确定其多重解的性态（有限确定性）。
　　（2）研究分岔问题在一般扰动下的解的结构（普适开折）及其不变性质（持续性），并对所涉及的分岔问题按余维数进行分类（分类问题）。
　　（3）通过运用群表示论和不变量理论工具将分岔理论的研究范围拓广到具有对称形式的解的结构变化并使计算过程简化。
　　（4）对于Hopf分岔及与周期解、拟周期解有关的分岔问题作出统一的处理，并给出可行的计算公式。
　　（5）运用群论方法对于分岔问题的对称破缺和增加过程，及分岔解的稳定性质作出较为有效的处理。
　　（6）群论工具还可用来研究等变离散系统的吸引子，特别是混沌吸引子的对称性结构，增减和转迁过程。
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