非线性微分方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

傅希林，范进军 著

图书标签:

• 非线性微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 动力系统
• 数学分析
• 拓扑学
• 泛函分析
• 数值分析
• 应用数学
• 控制理论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030313119

版次：31

商品编码：12355732

包装：平装

开本：32开

出版时间：2018-05-01

页数：376

正文语种：中文

内容简介

本书旨在介绍非线性微分方程研究的主要内容、典型方法和**成果，其中包括作者近年的一些研究工作。本书系统地阐述了非线性常微分方程的基本理论、几何理论、稳定性理论、振动理论与分支理论等，还分别介绍厂非线性泛函微分方程及非线性脉冲微分方程的相应理论。本书致力于核心概念的引入、基小定理的阐述、思想方法的揭示，以及非线性微分方程在现代科技领域中的应用。

现代数学物理中的解析方法与拓扑结构 本书聚焦于数学物理前沿领域中，那些超越经典线性模型所能描述的复杂系统。我们深入探讨了一系列非线性现象在不同物理情境下的数学表达、精确解的构造及其定性行为的分析。全书以严谨的数学推导为基础，辅以丰富的物理背景，旨在为高级学生和研究人员提供一把深入理解和解决现代物理难题的钥匙。 --- 第一部分：经典场论中的非线性演化 本部分着眼于宏观物理系统中，经典场演化的核心——非线性偏微分方程（PDEs）。我们不再满足于简单的线性叠加原理，而是直接面对耦合项、自作用项带来的复杂性。 第一章：可积系统与守恒律的几何视角 首先回顾经典可积系统（Integrable Systems）的理论框架。我们详细阐述了 Lax 对的构造、谱线束理论（Spectral Curve Theory）以及高阶守恒量在流形上的意义。重点分析了 KdV（Korteweg-de Vries）方程和非线性薛定谔方程（NLS）作为受限条件下（例如，在黎曼曲面上或具有特定边界条件时）的特例。 多重周期解的构造： 使用 Jacobi 椭圆函数和 Theta 函数，我们详细推导了这些方程的周期解和拟周期解。这部分强调了代数几何在寻找精确解中的作用，特别是与曲线模空间的联系。 孤子（Soliton）的动力学： 从 Bäcklund 变换出发，解析了单孤子、双孤子乃至 $N$ 孤子解的精确形式。讨论了孤子碰撞的“相位偏移”现象，并从几何上解释了这种非线性相互作用的保守性。 第二章：流体力学中的激波与湍流的拓扑学描述 本章转向不可压缩流体模型，特别是 Euler 方程和 Navier-Stokes 方程在特定条件下的非线性行为。我们关注的是非光滑解的出现，即激波（Shock Waves）和涡旋（Vortices）的数学处理。 熵条件与弱解： 详细讨论了 L. Friedlander 关于激波的唯一性判据，即熵条件（Entropy Condition），并引入了分布函数（Distribution Theory）来定义弱解。 涡旋动力学： 从 Biot-Savart 定律出发，分析了二维平面流中涡量场的演化。我们采用 V. Arnold 的几何力学观点，将流体运动视为在适当的无穷维李群上的测地线运动，从而将非线性动力学转化为几何问题。讨论了 Euler 方程在 Arnold 框架下的李群结构和不变式。 第二部分：非线性量子场论与规范理论 本部分将解析工具推广到量子场论（QFT）和弦理论的背景下，这里的非线性主要体现在场方程的耦合和潜在的真空结构。 第三章：共形场论（CFT）中的代数结构 我们深入研究了二维共形场论，其核心是无限维的 Virasoro 代数。这并非一个“微分方程”的传统意义，而是其生成元之间满足的非线性对易关系。 中心荷的引入： 解释了为什么经典理论在量子化过程中需要引入中心荷（Central Charge $c$），以及它如何衡量了理论的自由度。详细分析了 Wess-Zumino-Witten (WZZ) 模型作为一类重要的 CFT 实例。 Operator Product Expansion (OPE)： 阐述了 OPE 如何作为一种非线性、局部化的重整化群流动的有效描述，并介绍了 OPE 展开系数的代数约束。 第四章：规范理论中的瞬子与构型空间 聚焦于 Yang-Mills 场方程，这是一个高度非线性的四维场论。我们主要关注这些方程在寻找拓扑非平凡解（即瞬子，Instantons）时的表现。 Atiyah-Singer 指标定理的物理意义： 将规范场方程的解空间结构与拓扑不变量联系起来。讨论了欧几里得空间中 Yang-Mills 场方程的 Bogomol'nyi 极值条件（Bogomol'nyi's Equation）——一个比原方程维度更低的非线性方程组——及其与单极子、瞬子的关系。 ASD (Anti-Self-Dual) 方程与可积性： 展示了四维 ASD 方程是如何通过著名的 Ward 变换与二维的 Davey-Stewartson 或 TZD（Toda Lattice）方程建立起深刻联系的，揭示了规范场论内部隐藏的可积结构。 第三部分：动力系统与奇性分析 本部分关注高维相空间中的定性行为，特别是系统在特定参数下从稳定状态到混沌行为的转变。 第五章：混沌系统与庞加莱截面 本章侧重于有限维动力学系统，特别是非周期性、对初始条件高度敏感的系统。我们使用几何工具来解析这些系统的行为。 Strange Attractors 的构造： 以 Lorenz 系统为例，详细推导了其方程组，并使用庞加莱截面（Poincaré Section）技术来揭示其吸引子的分形结构。讨论了 Lyapunov 指数（Lyapunov Exponents）如何量化混沌的程度。 KAM 定理的几何解释： 介绍了 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 定理，阐述了微小非线性扰动如何保留大部分可积系统的准周期运动，以及“共振链”的破坏机制。这提供了理解复杂系统稳定性的重要见解。 第六章：奇点理论与临界现象 我们将分析函数和映射在局部行为发生突变时的数学结构，这在统计物理的相变理论中至关重要。 分类与局部最小化： 运用 Morse 理论的初步概念，分析二阶导数矩阵（Hessian）的性质。介绍 Thom 的“初等奇点”分类（A, B, C 系列），并将其与物理学中的临界指数（Critical Exponents）联系起来。 渐近展开的失效与重整化群： 探讨在奇点附近，标准摄动方法如何失效，并引入重整化群（RG）的思想，通过尺度变换来“平移”奇点，从而揭示系统在不同尺度下的普适行为。 --- 全书的叙事线索在于，展示现代数学物理如何利用从黎曼几何、代数拓扑到动力系统理论的广泛工具，去解决那些经典线性分析无能为力的复杂物理问题。每章的分析都力求严谨，并强调不同物理领域之间数学结构的深层统一性。

评分☆☆☆☆☆

这本《非线性微分方程》的封面设计确实相当吸引人，深邃的蓝色背景上，几条蜿蜒曲折的红色线条交织，仿佛在诉说着一种复杂而难以捉摸的动态。我拿到这本书的时候，就被它独特的视觉语言所吸引，它给人的第一印象是神秘，同时也预示着内容可能会有一定的深度和挑战性。虽然我对具体的数学公式和理论还不太熟悉，但我相信这本书一定能够带领我进入一个充满探索和发现的数学世界。封面上的这些曲线，它们在物理学、工程学、经济学乃至生物学中都有着广泛的应用，能够形象地勾勒出许多自然现象和系统行为的本质。这本书的标题本身就充满了数学的魅力，非线性，意味着它摆脱了简单的线性关系，走向了更为真实和复杂的世界。我迫不及待地想知道，这本书会如何揭示这些非线性现象背后的数学原理，又会如何引导我去理解那些看似混乱却又暗藏规律的系统。我希望能在这本书中找到关于混沌、分岔、孤立子等前沿概念的清晰阐述，以及它们在实际问题中的应用案例。毕竟，现代科学的许多重大突破都与对非线性系统的深入理解息息相关。

评分☆☆☆☆☆

读到《非线性微分方程》这个书名，我的脑海中立刻浮现出那些在科学研究和工程应用中至关重要的模型。我一直认为，现实世界中的很多现象，从微观粒子的运动到宏观宇宙的演化，都很难用简单的线性关系来完全概括。非线性方程的存在，正是为了更精确地刻画这些复杂的相互作用和演变过程。我希望这本书能够为我提供一种全新的视角，让我能够理解那些看似杂乱无章的现象背后，可能隐藏着深刻的数学规律。我期待能够学到如何分析非线性微分方程的解的性质，如何识别系统中的奇异点和不稳定性，以及如何利用数值方法来逼近那些难以解析求解的方程。如果书中能够提供一些关于如何将实际问题转化为非线性微分方程模型，并进行求解和分析的案例研究，那我将会觉得这本书的价值极高。我希望它能帮助我提升解决复杂问题的能力，并为我的学术研究或职业发展打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题《非线性微分方程》对我来说，就像是一扇通往更高层次数学殿堂的大门。我之前接触过一些基础的数学知识，但对于更深奥的领域，特别是那些涉及到复杂系统和动力学方程的部分，一直感到好奇又有些畏惧。我希望这本书能够提供一个相对易懂的切入点，让我能够逐步掌握非线性微分方程的核心概念和分析方法。我特别希望能从中学习到如何用数学模型来描述和预测那些不确定性很强的系统。例如，在生态系统中，种群数量的增长和衰减常常表现出非线性的特征，如何用方程来模拟这些动态，以及预测它们未来的走向，这对我来说是一个非常吸引人的课题。这本书如果能够在这方面有所阐述，并提供一些实际的应用指导，那我将会非常受益。我期待它能够在我学习的道路上，为我点亮前行的灯塔，让我能够更自信地探索更广阔的数学天地。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容，我感觉它应该是在探讨那些行为模式不是简单直线变化的方程。在我的初步了解中，这种类型的方程在现实世界中无处不在，比如天气预报中复杂多变的云层变化，又或者是股市中难以预测的涨跌波动。我一直对这些看似随机实则可能遵循某种内在规律的现象非常着迷。如果这本书能够深入浅出地解释非线性微分方程是如何描述这些复杂系统的，那将是一次非常宝贵的学习机会。我希望它不仅仅是罗列枯燥的公式和定理，而是能够通过丰富的例子和图示，帮助我建立起直观的理解。例如，它能否解释为什么一些微小的初始扰动会导致整个系统发生巨大的变化，也就是所谓的“蝴蝶效应”？或者，它能否展示一些非线性方程是如何模拟出周期性的震荡，甚至是完全无序的混沌状态？我期待这本书能够打开我认识世界的一个新视角，让我能够用更深刻的数学工具去审视和理解那些我们习以为常却又充满奥秘的现象。

评分☆☆☆☆☆

我一直对那些能够解释自然界中普遍存在的复杂现象的数学工具感到着迷。这本书的题目《非线性微分方程》恰好触及了我最感兴趣的领域之一。我相信，这类方程在描述诸如流体动力学、电磁学、甚至量子力学等许多物理学分支中都扮演着至关重要的角色。我希望这本书能够以一种清晰且富有启发性的方式，揭示非线性微分方程的数学结构，以及它们如何捕捉现实世界中那些难以用简单线性模型解释的现象。我期待能够了解到一些关于稳定性分析、极限环、以及分岔理论的知识，这些概念对于理解许多动态系统的演化至关重要。如果书中能够包含一些具有代表性的实际案例，比如行星运动的轨道稳定性，或者是化学反应中的振荡行为，那将极大地增强我对书中内容的理解和兴趣。我希望这本书能够成为我进一步深入研究相关领域的一个坚实的基础。