非綫性微分方程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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傅希林，範進軍 著

圖書標籤:

• 非綫性微分方程
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 動力係統
• 數學分析
• 拓撲學
• 泛函分析
• 數值分析
• 應用數學
• 控製理論

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030313119

版次：31

商品編碼：12355732

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2018-05-01

頁數：376

正文語種：中文

內容簡介

本書旨在介紹非綫性微分方程研究的主要內容、典型方法和**成果，其中包括作者近年的一些研究工作。本書係統地闡述瞭非綫性常微分方程的基本理論、幾何理論、穩定性理論、振動理論與分支理論等，還分彆介紹廠非綫性泛函微分方程及非綫性脈衝微分方程的相應理論。本書緻力於核心概念的引入、基小定理的闡述、思想方法的揭示，以及非綫性微分方程在現代科技領域中的應用。

現代數學物理中的解析方法與拓撲結構 本書聚焦於數學物理前沿領域中，那些超越經典綫性模型所能描述的復雜係統。我們深入探討瞭一係列非綫性現象在不同物理情境下的數學錶達、精確解的構造及其定性行為的分析。全書以嚴謹的數學推導為基礎，輔以豐富的物理背景，旨在為高級學生和研究人員提供一把深入理解和解決現代物理難題的鑰匙。 --- 第一部分：經典場論中的非綫性演化 本部分著眼於宏觀物理係統中，經典場演化的核心——非綫性偏微分方程（PDEs）。我們不再滿足於簡單的綫性疊加原理，而是直接麵對耦閤項、自作用項帶來的復雜性。 第一章：可積係統與守恒律的幾何視角 首先迴顧經典可積係統（Integrable Systems）的理論框架。我們詳細闡述瞭 Lax 對的構造、譜綫束理論（Spectral Curve Theory）以及高階守恒量在流形上的意義。重點分析瞭 KdV（Korteweg-de Vries）方程和非綫性薛定諤方程（NLS）作為受限條件下（例如，在黎曼麯麵上或具有特定邊界條件時）的特例。 多重周期解的構造： 使用 Jacobi 橢圓函數和 Theta 函數，我們詳細推導瞭這些方程的周期解和擬周期解。這部分強調瞭代數幾何在尋找精確解中的作用，特彆是與麯綫模空間的聯係。 孤子（Soliton）的動力學： 從 Bäcklund 變換齣發，解析瞭單孤子、雙孤子乃至 $N$ 孤子解的精確形式。討論瞭孤子碰撞的“相位偏移”現象，並從幾何上解釋瞭這種非綫性相互作用的保守性。 第二章：流體力學中的激波與湍流的拓撲學描述 本章轉嚮不可壓縮流體模型，特彆是 Euler 方程和 Navier-Stokes 方程在特定條件下的非綫性行為。我們關注的是非光滑解的齣現，即激波（Shock Waves）和渦鏇（Vortices）的數學處理。 熵條件與弱解： 詳細討論瞭 L. Friedlander 關於激波的唯一性判據，即熵條件（Entropy Condition），並引入瞭分布函數（Distribution Theory）來定義弱解。 渦鏇動力學： 從 Biot-Savart 定律齣發，分析瞭二維平麵流中渦量場的演化。我們采用 V. Arnold 的幾何力學觀點，將流體運動視為在適當的無窮維李群上的測地綫運動，從而將非綫性動力學轉化為幾何問題。討論瞭 Euler 方程在 Arnold 框架下的李群結構和不變式。 第二部分：非綫性量子場論與規範理論 本部分將解析工具推廣到量子場論（QFT）和弦理論的背景下，這裏的非綫性主要體現在場方程的耦閤和潛在的真空結構。 第三章：共形場論（CFT）中的代數結構 我們深入研究瞭二維共形場論，其核心是無限維的 Virasoro 代數。這並非一個“微分方程”的傳統意義，而是其生成元之間滿足的非綫性對易關係。 中心荷的引入： 解釋瞭為什麼經典理論在量子化過程中需要引入中心荷（Central Charge $c$），以及它如何衡量瞭理論的自由度。詳細分析瞭 Wess-Zumino-Witten (WZZ) 模型作為一類重要的 CFT 實例。 Operator Product Expansion (OPE)： 闡述瞭 OPE 如何作為一種非綫性、局部化的重整化群流動的有效描述，並介紹瞭 OPE 展開係數的代數約束。 第四章：規範理論中的瞬子與構型空間 聚焦於 Yang-Mills 場方程，這是一個高度非綫性的四維場論。我們主要關注這些方程在尋找拓撲非平凡解（即瞬子，Instantons）時的錶現。 Atiyah-Singer 指標定理的物理意義： 將規範場方程的解空間結構與拓撲不變量聯係起來。討論瞭歐幾裏得空間中 Yang-Mills 場方程的 Bogomol'nyi 極值條件（Bogomol'nyi's Equation）——一個比原方程維度更低的非綫性方程組——及其與單極子、瞬子的關係。 ASD (Anti-Self-Dual) 方程與可積性： 展示瞭四維 ASD 方程是如何通過著名的 Ward 變換與二維的 Davey-Stewartson 或 TZD（Toda Lattice）方程建立起深刻聯係的，揭示瞭規範場論內部隱藏的可積結構。 第三部分：動力係統與奇性分析 本部分關注高維相空間中的定性行為，特彆是係統在特定參數下從穩定狀態到混沌行為的轉變。 第五章：混沌係統與龐加萊截麵 本章側重於有限維動力學係統，特彆是非周期性、對初始條件高度敏感的係統。我們使用幾何工具來解析這些係統的行為。 Strange Attractors 的構造： 以 Lorenz 係統為例，詳細推導瞭其方程組，並使用龐加萊截麵（Poincaré Section）技術來揭示其吸引子的分形結構。討論瞭 Lyapunov 指數（Lyapunov Exponents）如何量化混沌的程度。 KAM 定理的幾何解釋： 介紹瞭 Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) 定理，闡述瞭微小非綫性擾動如何保留大部分可積係統的準周期運動，以及“共振鏈”的破壞機製。這提供瞭理解復雜係統穩定性的重要見解。 第六章：奇點理論與臨界現象 我們將分析函數和映射在局部行為發生突變時的數學結構，這在統計物理的相變理論中至關重要。 分類與局部最小化： 運用 Morse 理論的初步概念，分析二階導數矩陣（Hessian）的性質。介紹 Thom 的“初等奇點”分類（A, B, C 係列），並將其與物理學中的臨界指數（Critical Exponents）聯係起來。 漸近展開的失效與重整化群： 探討在奇點附近，標準攝動方法如何失效，並引入重整化群（RG）的思想，通過尺度變換來“平移”奇點，從而揭示係統在不同尺度下的普適行為。 --- 全書的敘事綫索在於，展示現代數學物理如何利用從黎曼幾何、代數拓撲到動力係統理論的廣泛工具，去解決那些經典綫性分析無能為力的復雜物理問題。每章的分析都力求嚴謹，並強調不同物理領域之間數學結構的深層統一性。

評分☆☆☆☆☆

讀到《非綫性微分方程》這個書名，我的腦海中立刻浮現齣那些在科學研究和工程應用中至關重要的模型。我一直認為，現實世界中的很多現象，從微觀粒子的運動到宏觀宇宙的演化，都很難用簡單的綫性關係來完全概括。非綫性方程的存在，正是為瞭更精確地刻畫這些復雜的相互作用和演變過程。我希望這本書能夠為我提供一種全新的視角，讓我能夠理解那些看似雜亂無章的現象背後，可能隱藏著深刻的數學規律。我期待能夠學到如何分析非綫性微分方程的解的性質，如何識彆係統中的奇異點和不穩定性，以及如何利用數值方法來逼近那些難以解析求解的方程。如果書中能夠提供一些關於如何將實際問題轉化為非綫性微分方程模型，並進行求解和分析的案例研究，那我將會覺得這本書的價值極高。我希望它能幫助我提升解決復雜問題的能力，並為我的學術研究或職業發展打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠解釋自然界中普遍存在的復雜現象的數學工具感到著迷。這本書的題目《非綫性微分方程》恰好觸及瞭我最感興趣的領域之一。我相信，這類方程在描述諸如流體動力學、電磁學、甚至量子力學等許多物理學分支中都扮演著至關重要的角色。我希望這本書能夠以一種清晰且富有啓發性的方式，揭示非綫性微分方程的數學結構，以及它們如何捕捉現實世界中那些難以用簡單綫性模型解釋的現象。我期待能夠瞭解到一些關於穩定性分析、極限環、以及分岔理論的知識，這些概念對於理解許多動態係統的演化至關重要。如果書中能夠包含一些具有代錶性的實際案例，比如行星運動的軌道穩定性，或者是化學反應中的振蕩行為，那將極大地增強我對書中內容的理解和興趣。我希望這本書能夠成為我進一步深入研究相關領域的一個堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的標題《非綫性微分方程》對我來說，就像是一扇通往更高層次數學殿堂的大門。我之前接觸過一些基礎的數學知識，但對於更深奧的領域，特彆是那些涉及到復雜係統和動力學方程的部分，一直感到好奇又有些畏懼。我希望這本書能夠提供一個相對易懂的切入點，讓我能夠逐步掌握非綫性微分方程的核心概念和分析方法。我特彆希望能從中學習到如何用數學模型來描述和預測那些不確定性很強的係統。例如，在生態係統中，種群數量的增長和衰減常常錶現齣非綫性的特徵，如何用方程來模擬這些動態，以及預測它們未來的走嚮，這對我來說是一個非常吸引人的課題。這本書如果能夠在這方麵有所闡述，並提供一些實際的應用指導，那我將會非常受益。我期待它能夠在我學習的道路上，為我點亮前行的燈塔，讓我能夠更自信地探索更廣闊的數學天地。

評分☆☆☆☆☆

這本《非綫性微分方程》的封麵設計確實相當吸引人，深邃的藍色背景上，幾條蜿蜒麯摺的紅色綫條交織，仿佛在訴說著一種復雜而難以捉摸的動態。我拿到這本書的時候，就被它獨特的視覺語言所吸引，它給人的第一印象是神秘，同時也預示著內容可能會有一定的深度和挑戰性。雖然我對具體的數學公式和理論還不太熟悉，但我相信這本書一定能夠帶領我進入一個充滿探索和發現的數學世界。封麵上的這些麯綫，它們在物理學、工程學、經濟學乃至生物學中都有著廣泛的應用，能夠形象地勾勒齣許多自然現象和係統行為的本質。這本書的標題本身就充滿瞭數學的魅力，非綫性，意味著它擺脫瞭簡單的綫性關係，走嚮瞭更為真實和復雜的世界。我迫不及待地想知道，這本書會如何揭示這些非綫性現象背後的數學原理，又會如何引導我去理解那些看似混亂卻又暗藏規律的係統。我希望能在這本書中找到關於混沌、分岔、孤立子等前沿概念的清晰闡述，以及它們在實際問題中的應用案例。畢竟，現代科學的許多重大突破都與對非綫性係統的深入理解息息相關。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容，我感覺它應該是在探討那些行為模式不是簡單直綫變化的方程。在我的初步瞭解中，這種類型的方程在現實世界中無處不在，比如天氣預報中復雜多變的雲層變化，又或者是股市中難以預測的漲跌波動。我一直對這些看似隨機實則可能遵循某種內在規律的現象非常著迷。如果這本書能夠深入淺齣地解釋非綫性微分方程是如何描述這些復雜係統的，那將是一次非常寶貴的學習機會。我希望它不僅僅是羅列枯燥的公式和定理，而是能夠通過豐富的例子和圖示，幫助我建立起直觀的理解。例如，它能否解釋為什麼一些微小的初始擾動會導緻整個係統發生巨大的變化，也就是所謂的“蝴蝶效應”？或者，它能否展示一些非綫性方程是如何模擬齣周期性的震蕩，甚至是完全無序的混沌狀態？我期待這本書能夠打開我認識世界的一個新視角，讓我能夠用更深刻的數學工具去審視和理解那些我們習以為常卻又充滿奧秘的現象。