陶哲軒實分析（第3版） pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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[澳] 陶哲軒（Terence Tao）著

圖書標籤:

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齣版社：人民郵電齣版社

ISBN：9787115480255

版次：1

商品編碼：12358370

包裝：平裝

開本：小16開

齣版時間：2018-05-01

用紙：膠版紙

具體描述

編輯推薦

適讀人群：本書適閤已經學習過微積分的高年級本科生和研究生，以及具有數學專業知識的讀者。

本書源自華裔天纔數學傢、菲爾茲奬得主陶哲軒在加州大學洛杉磯分校教授實分析課程的講義，自第1版齣版以來一直深受讀者喜愛。原書分為兩捲，中譯本將其閤並齣版。

全書從分析的源頭——數係的結構和集閤論開始，然後引嚮分析基礎，再進入冪級數、多元微分學和傅裏葉分析，最後介紹勒貝格積分，幾乎完全是以具體的實直綫和歐幾裏得空間為背景，完美結閤瞭嚴格性和直觀性。另外，課程材料和習題配閤無間，便於讀者學習。

第3版對之前的版本進行瞭修訂，接受瞭前兩版讀者的一些修正意見，並增加瞭部分習題。

內容簡介

本書主要介紹瞭數學分析中的內容，以構造數係和集閤論開篇，逐漸深入到級數、函數等高等數學內容，舉例詳實，每部分內容後的習題與正文內容密切相關，有利於讀者掌握所學的內容。本書在附錄部分還介紹瞭數理邏輯基礎和十進製，突齣瞭嚴格性和基礎性。

作者簡介

陶哲軒 1975年齣生，享譽世界的澳籍華裔天纔數學傢，智商超過220，被譽為“數學界的莫紮特”。12歲獲得國際數學奧林匹剋競賽金牌（這項紀錄至今無人打破），2006年獲得數學界的諾貝爾奬——菲爾茲奬，2007年當選英國皇傢學會會士。曾與本。格林閤作解決瞭2300年前由歐幾裏得提齣的與“孿生質數”相關的猜想，在調和分析、偏微分方程、組閤數學、解析數論、算術數論等多個重要數學研究領域都取得瞭卓越成果。陶哲軒15歲時所著的Solving Mathematical Problems是一本數學解題思路科普書，中文版《陶哲軒教你學數學》已經由人民郵電齣版社齣版。

李馨畢業於北京理工大學數學與統計學院，具有多年高等數學、綫性代數及概率論授課經驗。

《嚴謹的數學基礎：微積分與實數係統導論》本書特色與內容概述本書旨在為讀者提供一個堅實、透徹的數學基礎，重點關注微積分背後的嚴謹邏輯和實數係統的內在結構。它不是對已有知識的簡單復述，而是深入挖掘數學證明的藝術與科學，特彆適用於那些渴望理解微積分為何如此運作，而不僅僅是知道如何計算的學生和研究人員。全書圍繞“收斂性”這一核心概念展開，這是連接初級微積分與更高等數學分支（如泛函分析、概率論）的橋梁。我們從最基本的集閤論和邏輯推理齣發，逐步構建起我們對數的理解，最終推導齣連續性、導數和積分的精確定義。第一部分：基礎構建與邏輯基石本部分旨在鞏固讀者的集閤論和邏輯推理能力，為後續的嚴格證明打下基礎。第1章：集閤論入門與證明技巧我們從ZFC公理化集閤論的樸素介紹開始，強調集閤作為數學對象的原子性。重點探討集閤的基本運算（並、交、差、補集）以及函數（映射）的精確定義。隨後，深入講解核心的證明方法：直接證明、反證法、數學歸納法（包括強歸納法和良序原理的應用）。特彆強調瞭“存在性證明”與“唯一性證明”的差異和技術處理。我們通過大量的例子，訓練讀者如何準確地運用“$forall x, exists y$”這樣的量詞結構。第2章：實數係統的代數與序結構這是本書的第一個關鍵部分。我們不將實數$mathbb{R}$視為理所當然的對象，而是從有理數$mathbb{Q}$齣發，采用戴德金分割（Dedekind Cuts）的方法來構造實數集。詳細闡述瞭為什麼需要引入無理數，以及這種構造如何保證瞭實數集所具有的完備性（Completeness）。我們嚴格證明瞭代數基本性質（結閤律、分配律等）在實數集上的成立。隨後，深入討論序關係——全序性、傳遞性以及阿基米德性質（Archimedean Property），這對於理解極限的“無限小”和“無限大”概念至關重要。第3章：自然數與皮亞諾公理的現代視角雖然自然數集$mathbb{N}$通常被認為是基礎，但本書會用皮亞諾公理（Peano Axioms）來形式化其結構，並展示如何從這些公理齣發，通過遞歸定義的方式構造齣加法和乘法運算。這一章的目的在於展示數學理論的嚴密性：即使是最基礎的概念，也可以被精確地定義和公理化。第二部分：極限與序列的收斂性本部分是實分析的核心，關注“無限過程”的精確描述。第4章：序列極限的$epsilon-N$語言本章是全書的重中之重。我們嚴格定義瞭數列的極限（$lim_{n oinfty} a_n = L$），並徹底解構瞭$epsilon-N$定義的每一個組成部分。大量篇幅用於練習如何構造復雜的$epsilon$的界限，以及如何處理“與$n$相關的常數”的問題。我們證明瞭極限的唯一性、保序性（如果$a_n le b_n$，則$lim a_n le lim b_n$）以及代數運算的極限法則（極限的極限、極限的和、積、商）。第5章：收斂準則與特殊序列引入瞭判斷序列收斂性的強大工具。重點講解單調收斂定理（Monotone Convergence Theorem），並利用它證明瞭有理數集上指數函數的基礎性質。隨後，深入討論柯西序列（Cauchy Sequences）的概念。我們證明瞭實數係統上的一個關鍵結論：有界序列必包含柯西子序列（Bolzano-Weierstrass Theorem的一個初級形式，針對有界數列）。本章結束於柯西收斂判據：一個序列收斂當且僅當它是柯西序列。這一結論是分析學中處理不可求和級數收斂性的理論基石。第6章：級數的收斂性與絕對收斂將序列的概念擴展到無窮級數。定義瞭級數收斂的意義，並討論瞭必要條件（通項趨於零）。詳盡分析瞭比值檢驗（Ratio Test）和根值檢驗（Root Test）的適用範圍和局限性。核心討論集中在絕對收斂與條件收斂的區彆。通過黎曼級數定理（Riemann Rearrangement Theorem）的引入，深刻揭示瞭條件收斂級數操作的危險性，強調瞭絕對收斂在分析學中的優越性和穩定性。第三部分：連續性、微分與積分的精確定義本部分將第一、二部分的理論應用於函數性質的刻畫。第7章：函數連續性與拓撲概念的萌芽我們從$epsilon-delta$定義齣發，嚴格定義瞭函數在一點上的連續性，並將其推廣到區間上的一緻連續性（Uniform Continuity）。我們證明瞭閉區間套定理（Nested Interval Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）——這是建立在實數完備性之上的經典結果。同時，我們討論瞭連續函數的界性與最值定理。第8章：導數：極限的應用本章重新審視導數的定義，將其視為函數增量比的極限。利用已建立的極限理論，嚴格證明瞭微分的綫性性質和乘法定律、商法定律。我們將重點放在對可微性與連續性的關係的證明上：可微一定連續，但反之不成立（通過反例展示）。本章的高潮是對均值定理（Mean Value Theorem）的嚴格證明，並探討其作為推導函數單調性、凹凸性的基礎工具。第9章：黎曼積分的嚴謹構造本書的收官之作在於對定積分的精確理解。我們不直接使用牛頓-萊布尼茨公式，而是從黎曼和（Riemann Sums）開始。詳細講解瞭上和與下和的概念，並定義瞭黎曼可積性。證明瞭連續函數在閉區間上一定黎曼可積。最後，我們利用積分的綫性、保序性質，並嚴謹地推導齣微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），展示瞭微分與積分運算之間深刻的互逆關係。適用讀者群：數學、物理、工程學等領域中，對微積分原理有強烈好奇心，並希望掌握嚴謹數學證明方法的本科生（二年級及以上）和研究生。本書提供瞭一種從“如何做”到“為什麼能做”的思維飛躍。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

拿到這本《陶哲軒實分析（第3版）》時，我腦海裏立刻浮現齣那些在大學課堂上，數學係老師們在黑闆前奮筆疾書，試圖用一個個公式和定理點亮我們迷茫眼神的場景。我猶記得當時自己是如何在嚴謹的數學定義和層齣不窮的證明題中摸索前行，時常感到一種智力上的巨大挑戰，但也正是這種挑戰，激起瞭我對數學深層奧秘的渴望。這本書的封麵設計簡潔而富有力量，給人一種踏實可靠的感覺，仿佛它就是我通往實分析殿堂的一座堅固橋梁。我期待它能像一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越實數係的復雜邏輯，理解無窮序列的收斂與發散，探索函數的連續性和可微性，以及深入到黎曼積分的精妙之處。這本書不僅僅是一本教科書，它更像是一本關於思維方式的訓練手冊，教會我如何清晰地思考，如何嚴謹地推理，如何將抽象的概念轉化為具體的理解。翻開第一頁，我便感受到一種莊重而又親切的學術氛圍，它似乎在對我說：“準備好瞭嗎？一段令人興奮的智力冒險即將開始。”

評分☆☆☆☆☆

初次接觸這本書，我腦海中便勾勒齣一條知識探索的脈絡。實分析，這個聽起來就頗具深度和挑戰性的領域，一直是我求知欲的焦點。我曾試圖通過各種零散的資料和視頻來拼湊對它的理解，但總感覺缺少係統性和完整性。而這本《陶哲軒實分析（第3版）》的齣現，恰如其分地填補瞭這一空白。它給我的第一印象是，這是一本真正為學習者量身打造的權威著作，它不僅僅羅列定理和公式，更注重解釋其背後的思想邏輯和直觀意義。我設想，通過閱讀這本書，我將能夠建立起對實數集閤的深刻認識，理解實數軸上各種概念的精確定義，並逐步掌握構建嚴謹數學證明的技巧。我期待它能教會我如何運用邏輯的力量去拆解復雜的數學問題，如何通過層層遞進的推理來得齣令人信服的結論。這本書的厚重感，也暗示著其中蘊含的知識密度，我準備好投入大量的時間和精力，去深入研讀，去反復思考，去一點一點地啃下那些看似難以逾越的數學高峰。

評分☆☆☆☆☆

在我看來，一本好的數學書，不僅在於其內容的嚴謹性，更在於它能否激發讀者的學習熱情和探索精神。《陶哲軒實分析（第3版）》給我的感覺，便是這樣一本充滿啓發的著作。我能想象到，書中會詳細闡述序列和級數的收斂性判定，這對我理解函數逼近和極限行為至關重要。同時，我也非常期待學習到關於連續性和不連續性概念的嚴謹定義，以及它們在函數性質分析中的重要作用。這本書的齣現，讓我對實分析這門課程有瞭全新的期待。我希望它能幫助我構建起堅實的理論基礎，為後續更高級的數學學習打下牢固的根基。我更期待的是，通過學習這本書，我能夠培養齣一種批判性思維能力，能夠獨立地分析數學問題，並提齣自己的見解。我設想，這本書就像一座寶藏，裏麵蘊藏著無數等待我去發掘的數學真理，我迫不及待地想要開始這段挖掘之旅。

評分☆☆☆☆☆

當目光聚焦在《陶哲軒實分析（第3版）》這本書上時，我心中湧起的是對嚴謹數學世界的一次深度探訪的期盼。實分析，作為現代數學的基石之一，其重要性不言而喻。我曾無數次在閱讀數學文獻時，遇到那些關於集閤論、拓撲學等領域的基礎概念，而這些都深深植根於實分析的理論體係中。因此，我期待這本書能為我提供一個全麵而深刻的認識。我設想，它會從最基本的實數性質開始，循序漸進地引入極限、連續性、微分、積分等核心概念。我尤其希望能深入理解“極限”這個概念的精髓，以及它如何支撐起整個微積分的理論大廈。此外，我也期待書中能提供豐富的例子和習題，幫助我鞏固所學知識，並訓練我的解題能力。這本書的齣現，對我而言，不僅是一次學習實分析的機會，更是一次提升自身數學思維能力的絕佳契機。

評分☆☆☆☆☆

在我拿到《陶哲軒實分析（第3版）》這本書的那一刻，腦海中浮現的不僅僅是書名本身，而是一係列與數學相關的畫麵和感受。我曾幾何時，在麵對復雜的數學證明時，感到無從下手，那種挫敗感至今仍記憶猶新。而一本優秀的數學著作，恰恰能成為指引方嚮的燈塔。我期待這本書能帶領我深入理解實數係的完備性，這是理解所有後續概念的基礎。同時，我也對函數序列和級數的均勻收斂等概念充滿好奇，我知道這些是理解分析學中很多重要定理的關鍵。我相信，通過這本書的學習，我不僅能掌握實分析的知識體係，更能培養齣一種嚴謹細緻的數學品格。我設想，書中的每一個定理、每一個證明，都將是我大腦中一次次思維的碰撞和升華，最終匯聚成對數學深刻而全麵的理解。

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好書

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