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张世清 著

图书标签:

• 泛函分析
• 数学分析
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• 理论基础
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• 数值分析
• 优化理论
• 工程数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030572813

版次：31

商品编码：12361650

包装：平装

丛书名： 大学数学科学丛书

开本：16开

出版时间：2018-05-01

用纸：书写纸

页数：218

字数：280000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：数学、物理、力学、航天、自动控制以及经济数学等专业的高年级本科生及研究生，也可供相关专业的教师和科研人员

本书作者在非线性泛函分析及其应用方面有很深的造诣。作者试图写一本面向国内数学、物理及部分工科高年级优秀本科生及研究生的比较易读的教材。这本书非常值得泛函分析的初学者学习。强烈推荐！

内容简介

泛函分析是现代数学的一个重要分支，它不但具有高度的抽象性，而且具有高度的统一性和广泛的应用性。《泛函分析及其应用》试图将抽象的泛函分析与一些具体的物理问题联系起来，内容涉及经典变分中的几个著名例子，线性泛函分析中一些基本定理，广义函数和Sobolev空间，泛函极值的一阶和二阶必要条件及充分条件，Ekeland变分原理及其推广和应用，Pontryagin大值原理及其应用，共轭凸函数理论及其应用，极小极大原理尤其是山路引理及其应用，具有Newton势的N(≥2)体问题的周期解，以及几个经典的不动点定理。

精彩书评

本书尝试将线性泛函分析与非线性泛函分析结合,尤其强调将抽象的泛函分析中的部分重要定理与一些具体的来自物理、几何中的经典变分问题的结合。

目录

目录
前言
第1章 变分法的几个经典例子 1
1.1 等周问题与捷线问题等 1
1.2 定义与记号 5
习题 6
第2章 Banach空间与Hilbert空间简介 7
2.1 Banach空间及其一些基本概念 7
2.2 Hahn-Banach延拓定理与凸集分离定理 9
2.3 Hilbert空间、Riesz表示定理及Lax-Milgram定理 15
习题 19
第3章 广义函数与Sobolev空间 22
3.1 广义函数 22
3.2 几个常用的经典不等式 28
3.3 Sobolev嵌入定理 31
习题 50
第4章 泛函极值的一阶和二阶条件 52
4.1 Frechet微分与Gateaux微分 52
4.2 Euler-Lagrange方程 60
4.3 经典Weierstrass定理的无限维推广及Dirichlet原理 71
4.4 二阶变分的Legendre必要条件和acobi必要条件 80
4.5 弱极小的二阶变分的充分条件 90
习题 92
第5章 Ekeland变分原理及其应用 94
5.1 经典的Ekeland变分原理 94
5.2 Ekeland变分原理的推广 97
5.3 Ekeland变分原理的应用 101
习题 105
第6章 Pontryagin最大值原理及其应用 106
6.1 引言 106
6.2 Pontryagin最大值原理 107
6.3 Pontryagin最大值原理应用于经典变分问题 110
6.4 Ekeland变分原理应用于Pontryagin最大值原理 112
习题 113
第7章 共轭凸函数理论及其应用 114
7.1 共轭凸函数理论简介 114
7.2 Hamilton共轭与Clarke共轭 123
习题 126
第8章 极小极大原理 128
8.1 伪梯度向量场与形变引理 130
8.2 一般的极小极大定理 138
8.3 山路引理 141
8.4 山路引理在椭圆边值问题中的应用 144
习题 152
第9章 多体问题的周期解 153
9.1 Kepler轨道及其变分最小性质 153
9.2 三体问题的Euler解和Lagrange解及其变分最小性 158
9.3 平面等质量三体问题的“8”字形解 169
9.4 平面三体问题新的周期解 174
9.5 三维空间中的N体问题的非平面非碰撞周期解 179
9.6 Saari猜想简介 185
习题 187
第10章 几个著名的不动点定理及其应用 188
10.1 Banach压缩映像原理及其应用 188
10.2 Brouwer不动点定理、Fan Ky不等式与Nash均衡 193
10.3 Schauder不动点定理及其应用 205
10.4 Leray-Schauder不动点定理 209
10.5 Poincare-Birkho不动点定理简介 211
习题 212
参考文献 213
致射 219

经典力学导论：基于拉格朗日和哈密顿原理的现代阐释 作者： 某资深物理学家、大学教授 出版社： 科学前沿出版社 出版年份： 2023年秋季版 --- 内容提要： 《经典力学导论：基于拉格朗日和哈密顿原理的现代阐释》旨在为物理学、工程学及相关交叉学科的高年级本科生和研究生提供一个严谨、深入且具有现代视角的经典力学教材。本书的核心目标并非仅仅复述牛顿力学的直观描述，而是将读者迅速引导至以变分原理为基础的分析力学的框架，即拉格朗日力学和哈密顿力学。通过这种方法的构建，本书为后续学习量子力学、场论乃至广义相对论奠定了必要的数学和物理直觉基础。 本书共分为九个章节，结构严谨，循序渐进，力求在保持数学精确性的同时，兼顾物理图像的清晰性与应用实例的广泛性。 --- 第一部分：牛顿力学的回顾与升华 (第一至第二章) 第一章：质点运动的复习与新视角 本章首先回顾了牛顿第二定律在笛卡尔坐标系下的基本应用，强调了动量和角动量守恒的物理意义。随后，引入了约束的概念，并阐述了约束力在分析问题时带来的不便。重点在于介绍广义坐标——一套描述系统构型的最小独立坐标集。通过对不同类型约束（完整约束与非完整约束）的初步讨论，为引入拉格朗日量（Lagrangian）的必要性做铺垫。本章以对开普勒问题的简要分析作结，展示了使用极坐标的优越性。 第二章：变分原理与最小作用量 这是全书的理论基石。本章详细介绍了变分法的基础知识，包括欧拉-拉格朗日方程的推导过程，其核心在于最小作用量原理（Principle of Least Action），即费马原理在力学中的推广。我们详细分析了泛函的变分，并得出了欧拉-拉格朗日方程： $$frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} ight) - frac{partial L}{partial q_i} = 0$$ 其中 $L = T - V$ 是拉格朗日量（动能 $T$ 减去势能 $V$）。本章通过理想摆、弹簧振子等简单系统，展示了如何从 $L$ 快速导出系统的运动微分方程，其优雅性远超牛顿法。 --- 第二部分：拉格朗日力学：对称性与守恒定律 (第三至第五章) 第三章：拉格朗日方程的应用 本章专注于将拉格朗日力学应用于复杂系统。内容包括： 1. 含约束的系统： 阐述了在无显式约束力介入的情况下，如何利用广义坐标处理动摩擦约束和几何约束。 2. 耦合振动系统： 深入探讨了双摆、耦合的LC振荡电路等系统的分析。引入了正规模式（Normal Modes）的概念，通过坐标变换对角化运动方程，求解特征频率。 3. 非保守力与耗散函数： 讨论了广义力（Generalized Force）的概念，以及在考虑摩擦等耗散力时，拉格朗日量需要如何修正（引入雷利耗散函数）。 第四章：诺特定理：对称性与守恒量 诺特定理（Noether's Theorem）是理论物理的基石之一。本章系统地阐述了如何通过检验拉格朗日量对坐标变换（包括时空平移和坐标旋转）的不变性来导出守恒量。内容包括： 1. 时移不变性 $ ightarrow$ 能量守恒： 详细推导了哈密顿量 $H$ 在拉格朗日量不显含时间时的意义，并证明其即为系统的总能量。 2. 空移不变性 $ ightarrow$ 动量守恒。 3. 转动不变性 $ ightarrow$ 角动量守恒。 本章通过案例分析，强调了诺特定理在物理直觉和严格证明之间的桥梁作用。 第五章：微小的扰动与稳定性分析 本章将分析置于平衡点附近的微小振动。使用拉格朗日量对平衡点附近的势能进行泰勒展开，重点研究二阶项。通过特征值问题的求解，确定系统的稳定性，并为后续接触到最小作用量原理的稳定性判据打下基础。 --- 第三部分：哈密顿力学：相空间与正则变换 (第六至第七章) 第六章：从拉格朗日量到哈密顿量 本章是通往分析力学更高层次的跃迁。通过勒让德变换（Legendre Transformation），从拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$ 构造出哈密顿量 $H(q, p, t)$，其中 $p_i = partial L / partial dot{q}_i$ 被定义为广义动量。 $$H = sum_i p_i dot{q}_i - L$$ 随后，引出哈密顿正则方程（Hamilton’s Canonical Equations），这是分析力学的核心方程组： $$dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i}, quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i}$$ 本章展示了如何利用相空间（Phase Space）的概念，将二阶微分方程转化为一阶微分方程组，极大地简化了运动轨迹的分析。 第七章：泊松括号与正则变换 本章深入探讨哈密顿力学的代数结构。 1. 泊松括号（Poisson Brackets）： 定义了泊松括号 ${A, B}$ 的形式，并展示了其满足李代数性质。关键在于：守恒量的判据 $Leftrightarrow$ 泊松括号为零。 系统的演化由哈密顿量通过泊松括号驱动：$frac{dA}{dt} = {A, H} + frac{partial A}{partial t}$。 2. 正则变换（Canonical Transformations）： 讨论了坐标 $(q, p)$ 到新坐标 $(Q, P)$ 的变换，并阐述了生成函数（Generating Functions）在构建这些变换中的核心作用。重点分析了保持泊松括号不变性的必要条件。 --- 第四部分：高级主题与过渡 (第八至第九章) 第八章：哈密顿-雅可比理论与经典系统的可积性 本章介绍了哈密顿-雅可比方程，这是一个偏微分方程，其解可以一步到位地给出系统的运动方程。通过引入特征函数 $S(q, alpha, t)$，本章展示了如何将哈密顿量在正则变换下转化为常数（即 $H'=0$），从而实现系统的解析求解。最后，讨论了可积系统的概念，以及如何通过引入适当的正则坐标来实现系统解耦。 第九章：从经典到量子的桥梁 本章是全书的收尾和展望。它回顾了哈密顿量在量子力学中的地位（对应于能量算符 $hat{H}$）。重点在于： 1. 经典极限： 阐述了当普朗克常数 $hbar o 0$ 时，泊松括号如何收敛于量子力学中的对易子关系。 2. 中心势场问题再探： 运用哈密顿-雅可比方法重新求解中心势场（如库仑势），巩固对可积系统解法的理解。 --- 本书特色： 1. 强调物理直觉与数学严谨的结合： 避免纯粹的数学推导堆砌，确保每一个数学工具（如变分法、勒让德变换）都紧密服务于物理问题的解决。 2. 现代视角： 从一开始就聚焦于分析力学（拉格朗日和哈密顿形式），这使得学生能够平滑过渡到场论和量子场论的学习。 3. 丰富的习题设计： 每章末尾均附有大量难度分层的习题，涵盖基础巩固、方法应用及理论拓展，特别是对复杂耦合系统的分析题。 本书不仅是经典力学课程的权威参考书，更是有志于深入理论物理研究的学生的必备工具书。它将引导读者掌握一套强有力的、超越牛顿力学的分析工具箱。

评分☆☆☆☆☆

我最近入手了这本《泛函分析及其应用》，封面设计简洁大气，散发着一种沉静而又深邃的学术气息。我一直觉得，好的数学书籍就像一座宝库，里面藏着前人智慧的结晶，等待着我们去发掘。泛函分析这门学科，对我来说一直是一个既熟悉又陌生的存在。熟悉是因为它在高等数学的课程中有所提及，陌生则是因为其理论的抽象性和深度。这本书的出现，让我觉得有机会能够系统地、深入地理解这门学科。我特别关注书中对于数学史背景的介绍，比如泛函分析是如何一步步发展起来的，有哪些关键的人物和思想贡献，这对于理解理论的形成和演化非常有帮助。同时，我也期待书中能够对一些基础概念，例如巴拿赫空间、希尔伯特空间等，给予清晰、严谨的定义和丰富的例子，帮助我建立直观的认识，避免在抽象的定义中迷失方向。对于“应用”部分，我希望能够看到一些具体的问题是如何被泛函分析的工具所解决的，哪怕是初步的介绍，也能极大地激发我的学习热情，让我看到理论的价值所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字是《泛函分析及其应用》，光听名字就觉得相当有分量，而且“及其应用”几个字，一下子就勾起了我学习的兴趣。我一直对数学中那些抽象而又强大的工具很着迷，泛函分析正是这样一门学科，它将无限维空间的概念引入，为解决很多经典的数学问题提供了全新的视角和强有力的手段。虽然我还没有深入研读这本书，但从它在学术界的名气以及周围同学的推荐来看，它一定包含了不少精妙的理论和深刻的洞见。我尤其好奇书中会如何阐述那些我们耳熟能详的数学对象，比如函数空间，在泛函分析的框架下会展现出怎样令人惊叹的结构和性质。更不用说“应用”二字了，这让我对接下来的学习充满了期待，我希望这本书能够带领我领略泛函分析在诸如偏微分方程、量子力学、信号处理等领域中的实际应用，理解那些高深的数学理论是如何与现实世界紧密相连，并解决实际问题的。我个人对数学的应用一直抱有浓厚的兴趣，认为这是检验理论生命力的重要标准，所以对这本书在应用方面的阐述，我有很高的期望值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字《泛函分析及其应用》给我一种感觉，它不是一本纯粹的理论书籍，而是试图将抽象的数学概念与实际问题联系起来。我对泛函分析的了解仅限于一些入门性的概念，比如向量空间和线性算子，但深知这门学科的广度和深度远超于此。我特别感兴趣的是书中关于“应用”的部分。很多时候，我们学习理论知识，最直接的动力就是知道它能做什么，能解决什么问题。因此，我期望这本书能提供一些贴近现实的案例，例如如何利用泛函分析来理解量子力学中的态空间，或者如何在信号处理中运用傅里叶分析的泛函分析视角。如果书中能够包含一些算法的介绍，或者简单展示一下如何将泛函分析的思想转化为实际的计算方法，那就更好了。当然，在应用之前，扎实的理论基础是必不可少的。我希望这本书在介绍理论时，能够注重数学逻辑的严密性和推理的清晰性，同时也能穿插一些历史发展脉络，让读者对这门学科有一个更全面的认识。

评分☆☆☆☆☆

拿到《泛函分析及其应用》这本书，我首先被它厚重的体量所吸引，这通常意味着内容的丰富和详尽。泛函分析，对于非数学专业的我来说，它可能听起来遥不可及，但听说它是许多现代科学和工程领域的基础，比如人工智能、大数据分析的背后，都可能隐藏着泛函分析的影子。因此，我抱着一种“探索未知”的心态来对待这本书。我希望它能用一种相对容易理解的方式，循序渐进地介绍泛函分析的核心概念，而不是上来就抛出大量晦涩的定义和定理。比如，关于度量空间、拓扑空间这些概念，希望能有生动的类比和直观的图示。我尤其期待书中能够花一些篇幅来讲解一些经典的泛函分析定理，比如谱定理，以及它们是如何被证明的，这样不仅能加深我对定理的理解，也能体会到数学证明的严谨与精妙。至于应用，我希望能够看到它如何被用来解决一些我们熟悉的实际问题，例如图像压缩、数据去噪等，这样就能更好地理解学习这门学科的意义。

评分☆☆☆☆☆

《泛函分析及其应用》这本书，听名字就觉得很“硬核”，对于我这样数学基础不算特别扎实的读者来说，这是一次不小的挑战，但也充满了诱惑。泛函分析，作为20世纪数学发展的一个重要分支，它极大地拓展了我们对空间和函数的认识，带来了许多革命性的思想。我之所以对这本书产生兴趣，是因为它不仅仅停留在理论层面，还强调了“应用”，这表明它可能不仅仅是为了训练数学家的思维，更是为了解决更广泛的问题。我期待书中能够有足够的篇幅来讲解一些核心概念，比如希尔伯特空间的几何直观，以及算子理论的精髓。如果能有一些篇幅来讨论如何从初等微积分或线性代数的知识过渡到泛函分析的视角，那对我来说会很有帮助。在应用方面，我希望看到一些经典的例子，比如如何用泛函分析来理解拉普拉斯变换或者傅里叶级数，这些都是我曾经学习过但不够深入的概念。如果书中能提供一些练习题，并且附带详细的解答，那将是最好的学习方式，能帮助我巩固和检验所学知识。