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圖書標籤:

• Galois理論
• 餘環
• 代數
• 抽象代數
• 環論
• 域論
• 數學
• 高等代數
• 群論
• 代數結構

店鋪： 金衛文化圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030255648

商品編碼：29914672656

叢書名： Galois餘環理論

開本：16開

齣版時間：2009-10-01

基本信息

書名:Galois餘環理論

原書定價：38元

售價：30.40元,

作者:王栓宏，陳建龍 著

齣版社：科學齣版社

齣版日期：2009-10-01

ISBN：9787030255648

字數：

頁碼：177

版次：1

裝幀：平裝

開本：16開

商品重量：

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內容提要：《Galois餘環理論》介紹瞭餘環和餘模的基本概念、環擴張和Galois下降理論、纏繞結構、Morita理論、群餘環理論及其應用等。內容由淺入深，既有理論又有應用，反映瞭近二十年來在餘環和量子群理論領域的研究成果。
《Galois餘環理論》可供高等院校數學和數學物理專業的高年級大學生、研究生、教師以及科研人員閱讀參考。

編輯推薦

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《Galois餘環理論》的目的是介紹國際前沿學科的研究動嚮：各種Hopf代數與量子群研究的新方法——餘環理論，讀者可以從中領略到這一理論具有概括性強、處理問題簡明和涉及麵廣的特點。《Galois餘環理論》的取材具有很深的數學物理背景，建立在作者近十幾年來與國外同行專傢閤作研究的成果之上。在寫作方麵，《Galois餘環理論》盡量做到自成體係，當然也假定讀者已經熟悉Hopf代數的基本知識。

目錄

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內容提要

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《Galois餘環理論》介紹瞭餘環和餘模的基本概念、環擴張和Galois下降理論、纏繞結構、Morita理論、群餘環理論及其應用等。內容由淺入深，既有理論又有應用，反映瞭近二十年來在餘環和量子群理論領域的研究成果。
《Galois餘環理論》可供高等院校數學和數學物理專業的高年級大學生、研究生、教師以及科研人員閱讀參考。

文摘

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作者介紹

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《域論基礎：從伽羅瓦群到代數幾何的橋梁》 內容提要： 本書旨在為讀者提供一個深入而嚴謹的域（Fields）理論基礎，涵蓋瞭從初等域擴張到更高級的伽羅瓦理論結構，並逐步過渡到代數幾何中域論的應用。全書共分十章，內容翔實，推導細緻，旨在幫助有誌於代數幾何、數論或代數拓撲的研究者和高年級本科生/研究生打下堅實的理論根基。 第一章：基礎概念與集閤論迴顧 本章首先迴顧瞭群論和環論中的核心概念，特彆是域的定義、子域、域的擴張等基本結構。重點討論瞭特徵（Characteristic）的概念及其在域結構中的重要性。引入瞭環論中的素理想與極大理想，並將其與域的構造聯係起來。此外，本章對構造域論所需的集閤論工具進行瞭必要的鋪墊，包括函數、關係以及對抽象構造的嚴謹描述。 第二章：域擴張與代數數 核心內容聚焦於域擴張 $L/K$ 的概念。詳細討論瞭有限擴張、代數擴張和超越擴張。代數元和超越元在域中的角色被清晰界定。通過最小多項式（Minimal Polynomial）的概念，我們確立瞭單擴張 $K(alpha)$ 的結構，並證明瞭其同構於商環 $K[x] / langle m_alpha(x) angle$，其中 $m_alpha(x)$ 是 $alpha$ 在 $K$ 上的最小多項式。本章引入瞭代數閉包（Algebraic Closure）的存在性證明及其唯一性（在同構意義下），這是後續理論展開的關鍵一步。 第三章：代數擴張的維度與基 本章深入探討瞭域擴張的次數 $[L:K]$。對於有限擴張，我們利用塔定理（Tower Law）闡述瞭中間域對次數的乘法性質：如果 $K subseteq M subseteq L$，則 $[L:K] = [L:M] [M:K]$。進一步地，本章詳細闡述瞭代數基（Algebraic Basis）或稱嚮量基的概念，證明瞭對於有限代數擴張，其擴張次數等於以 $K$ 為標量的嚮量空間維度。 第四章：正規擴張與可分擴張 本章引入瞭區分不同類型代數擴張的關鍵概念：正規擴張（Normal Extensions）和可分擴張（Separable Extensions）。正規擴張被定義為在任一域 $K$ 上的最小分裂域（Splitting Field）。可分擴張則要求任一代數元在 $K$ 上的最小多項式是不可約且重根自由的。本章通過對特徵零和特徵 $p > 0$ 域的區分討論，詳細分析瞭可分性的代數判據（如通過導數判彆）和代數幾何中的意義。 第五章：伽羅瓦理論的核心——伽羅瓦群 本章是全書的核心。定義瞭伽羅瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$，它是保持基域 $K$ 中元素不變的自同構群。詳細討論瞭伽羅瓦群的性質，特彆是對於有限擴張 $L/K$ 的基本性質。本章的關鍵在於闡述基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的完整陳述與證明，該定理建立瞭域論中的中間域與群論中的子群之間的一一反對應關係。 第六章：伽羅瓦基本定理的深入應用 本章著重於利用伽羅瓦基本定理解決經典問題。首先，討論瞭如何通過伽羅瓦群的結構來描述中間域的性質。重點分析瞭正規擴張與正規子群的對應關係，以及可分擴張與正規擴張的等價性（在特徵零或完全域上）。通過具體例子，如構造特定階數的中間域，展示瞭該定理的強大應用。 第七章：有限域的結構 本章專門研究特徵為素數 $p$ 的域，即有限域 $mathbb{F}_q$。證明瞭對於任何素數 $p$ 和正整數 $n$，存在唯一（同構意義下）的 $p^n$ 個元素的域 $mathbb{F}_{p^n}$。詳細討論瞭有限域的伽羅瓦群結構，證明瞭 $ ext{Gal}(mathbb{F}_{p^n}/mathbb{F}_p)$ 是一個循環群，生成元由Frobenius自同構給齣。本章為代數幾何中對有限域的研究奠定瞭基礎。 第八章：超越擴張與超越度 在討論完代數擴張後，本章轉嚮超越擴張。引入瞭超越度（Transcendence Degree）的概念，並給齣瞭其作為嚮量空間維度的推廣。利用代數獨立集（Algebraically Independent Sets）的概念，證明瞭任何域 $K$ 的任一超越擴張 $L/K$ 都存在一組超越基，從而確定瞭 $[L:K]$ 的抽象度量。 第九章：構造性問題：多項式方程的可解性 本章將域論與傳統代數問題相結閤。通過伽羅瓦理論，分析瞭五次及以上一般多項式方程不可由根式求解（即僅用加、減、乘、除、開方操作）的本質原因。詳細討論瞭可解群（Solvable Groups）與根式可解擴張（Solvable Extensions）之間的精確對應關係，從而給齣瞭伽羅瓦對五次方程無一般解的代數證明的嚴謹框架。 第十章：域論在代數幾何中的初步聯係 本章作為橋梁，展示瞭域理論如何自然地引嚮代數幾何的核心概念。討論瞭局部化（Localization）如何從環結構生成新的域（分數域）。初步引入瞭函數域（Function Fields）的概念，將域擴張視為幾何對象（如麯綫）之間態射的代數對偶，為後續研究代數簇和其上的函數域奠定瞭必要的代數工具。特彆地，闡述瞭代數數域 $mathbb{Q}(alpha)$ 與數論中理想理論的初步聯係。 讀者對象： 高等代數、抽象代數、代數幾何或數論方嚮的研究生；希望深入理解伽羅瓦理論和域擴張理論的高年級本科生。要求讀者具備紮實的環論和群論基礎。 本書特色： 嚴謹性： 概念定義精確，證明邏輯鏈條完整，注重數學的嚴密性。 深度： 不僅停留在伽羅瓦基本定理的錶述，更深入挖掘瞭正規性、可分性與群結構之間的微妙聯係。 連貫性： 結構清晰，從基礎域概念到超越擴張，再到對經典難題的解決，層層遞進，邏輯自然。

評分☆☆☆☆☆

作為一個多年在數學教育一綫工作的老師，我一直在尋找能夠激發學生興趣，並且能夠幫助他們理解數學深層思想的優秀教材。“Galois餘環理論”這個書名，雖然聽起來非常高深，但卻充滿瞭一種挑戰的魅力。我猜想，這本書的編寫風格可能會非常獨特，它或許不會一開始就拋齣復雜的定義和定理，而是會以一種更具引導性的方式，從一些具體的、引人入勝的數學問題齣發，逐步引導讀者進入Galois餘環理論的世界。我希望書中能夠提供清晰的解釋，即使對於初學者來說，也能夠理解那些抽象概念背後的直觀意義。比如，它可能會從一些經典的代數方程求解問題齣發，然後類比地引入“餘環”的概念，並說明它如何幫助我們理解更復雜結構的對稱性。我特彆期待書中能夠包含一些精心設計的習題，這些習題既能幫助鞏固理論知識，又能培養學生的探索能力和獨立思考的能力。如果這本書真的能做到這一點，那它將是對我們數學教學非常有價值的補充。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名實在是太引人入勝瞭，初初看到“Galois餘環理論”這幾個字，就覺得腦海中湧現齣無數的可能性。我是一個數學愛好者，雖然非專業齣身，但一直對抽象代數、數論以及它們之間深刻的聯係充滿好奇。Galois理論本身就充滿瞭傳奇色彩，它揭示瞭方程根與群論之間的絕妙關聯，而“餘環”這個詞又增添瞭一層神秘感。這會是一種對Galois理論的推廣嗎？還是在某種特定的代數結構中引入瞭新的概念？我腦海裏浮現齣各種設想：或許它探討的是在非交換代數框架下，如何理解和分析代數方程的對稱性；又或者，“餘環”可能指的是在某個範疇內的某種“剩餘”或“補全”結構，用於深化對Galois群作用的理解。這本書的題目本身就像一個精心設計的謎題，我迫不及待地想要知道它將帶領我走嚮何方，去探索那些未知的數學風景。我猜想，作者一定是一位對抽象代數有著極深造詣的數學傢，能夠將如此深奧的概念組織成一本易於理解（當然，對我而言是希望如此）的著作。我期待這本書能夠給我帶來耳目一新的視角，讓我對Galois理論及其可能的延伸有一個全新的認識。

評分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻讀代數方嚮博士的學生，一直在尋找能夠拓展我研究視野的材料。Galois理論是我學習過程中繞不開的基石，但同時我也感到在某些更廣闊的代數領域，例如環論、模論，甚至是更一般的範疇論中，Galois理論的應用和推廣仍然是活躍的研究前沿。“Galois餘環理論”這個書名立刻抓住瞭我的注意力，它暗示著作者可能正在探索Galois理論在環上的某種“類比”或“拓展”。我猜想，這本書可能是在研究帶有特定結構的環，並且在這些環上定義瞭某種與Galois群概念相似的“自同構群”，並進一步探討這些自同構群的性質，以及它們與環的內部結構之間的關係。例如，是否可以將著名的Galois對應推廣到環的子結構上？“餘環”這個詞可能指的是某種“商環”或者“擴張環”的概念，通過構造這些結構來揭示更多的對稱性和不變性。我非常期待書中能夠齣現對這些概念的嚴謹定義和清晰的論證，並且能夠提供一些經典的例子或者最新的研究成果，幫助我更好地理解Galois理論在更一般的代數框架下的可能性。

評分☆☆☆☆☆

作為一名熱愛閱讀和學習的普通讀者，我對“Galois餘環理論”這個書名感到非常好奇。它聽起來既專業又富有想象力。雖然我可能無法完全理解其中所有的數學細節，但我會被書名所蘊含的探索精神所吸引。我猜想，這本書的作者一定是一位非常有纔華的數學傢，他能夠將非常抽象的概念以一種富有啓發性的方式呈現齣來。我希望這本書能夠用通俗易懂的語言，嚮我解釋Galois理論的魅力，以及“餘環”這個概念究竟是什麼，它和我們熟悉的數學世界有什麼聯係。或許，這本書會通過一些生動的故事或者類比，來幫助我理解那些復雜的數學思想。我期待能夠從中獲得一種全新的思維方式，即使無法掌握所有技術細節，也能感受到數學的宏偉和美妙。這本書對我來說，可能是一次關於未知數學世界的奇妙旅程。

評分☆☆☆☆☆

我的興趣廣泛，對數學的各個分支都有所涉獵，但尤其鍾愛那些能夠連接不同數學領域的“橋梁”性理論。“Galois餘環理論”這個名字，給我的感覺就像是連接瞭Galois理論這個數論和抽象代數的經典話題，以及可能涉及到的環論、模論，甚至是同調代數等領域。我猜想，這本書的寫作可能是一種探索性的，作者可能在嘗試構建一個全新的數學框架，在這個框架下，Galois群的某些性質可以通過環上的某種“餘差”或者“補集”結構來刻畫。例如，在研究某些代數擴張時，可能存在一個“不足”的部分，而“餘環”的概念恰好能夠捕捉到這個“不足”的性質，並將其與Galois群的結構聯係起來。我非常好奇書中是否會探討這個“餘環”是如何構造的，它的代數性質是什麼，以及它與傳統的Galois理論之間存在怎樣的深刻聯係。我期待這本書能夠帶來一些前沿的研究思路，甚至可能為解決一些懸而未決的數學問題提供新的視角。