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店铺： 金卫文化图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030255648

商品编码：29914672656

丛书名： Galois余环理论

开本：16开

出版时间：2009-10-01

基本信息

书名:Galois余环理论

原书定价：38元

售价：30.40元,

作者:王栓宏，陈建龙 著

出版社：科学出版社

出版日期：2009-10-01

ISBN：9787030255648

字数：

页码：177

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：

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内容提要：《Galois余环理论》介绍了余环和余模的基本概念、环扩张和Galois下降理论、缠绕结构、Morita理论、群余环理论及其应用等。内容由浅入深，既有理论又有应用，反映了近二十年来在余环和量子群理论领域的研究成果。
《Galois余环理论》可供高等院校数学和数学物理专业的高年级大学生、研究生、教师以及科研人员阅读参考。

编辑推荐

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《Galois余环理论》的目的是介绍国际前沿学科的研究动向：各种Hopf代数与量子群研究的新方法——余环理论，读者可以从中领略到这一理论具有概括性强、处理问题简明和涉及面广的特点。《Galois余环理论》的取材具有很深的数学物理背景，建立在作者近十几年来与国外同行专家合作研究的成果之上。在写作方面，《Galois余环理论》尽量做到自成体系，当然也假定读者已经熟悉Hopf代数的基本知识。

目录

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内容提要

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《Galois余环理论》介绍了余环和余模的基本概念、环扩张和Galois下降理论、缠绕结构、Morita理论、群余环理论及其应用等。内容由浅入深，既有理论又有应用，反映了近二十年来在余环和量子群理论领域的研究成果。
《Galois余环理论》可供高等院校数学和数学物理专业的高年级大学生、研究生、教师以及科研人员阅读参考。

文摘

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作者介绍

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《域论基础：从伽罗瓦群到代数几何的桥梁》 内容提要： 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的域（Fields）理论基础，涵盖了从初等域扩张到更高级的伽罗瓦理论结构，并逐步过渡到代数几何中域论的应用。全书共分十章，内容翔实，推导细致，旨在帮助有志于代数几何、数论或代数拓扑的研究者和高年级本科生/研究生打下坚实的理论根基。 第一章：基础概念与集合论回顾 本章首先回顾了群论和环论中的核心概念，特别是域的定义、子域、域的扩张等基本结构。重点讨论了特征（Characteristic）的概念及其在域结构中的重要性。引入了环论中的素理想与极大理想，并将其与域的构造联系起来。此外，本章对构造域论所需的集合论工具进行了必要的铺垫，包括函数、关系以及对抽象构造的严谨描述。 第二章：域扩张与代数数 核心内容聚焦于域扩张 $L/K$ 的概念。详细讨论了有限扩张、代数扩张和超越扩张。代数元和超越元在域中的角色被清晰界定。通过最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，我们确立了单扩张 $K(alpha)$ 的结构，并证明了其同构于商环 $K[x] / langle m_alpha(x) angle$，其中 $m_alpha(x)$ 是 $alpha$ 在 $K$ 上的最小多项式。本章引入了代数闭包（Algebraic Closure）的存在性证明及其唯一性（在同构意义下），这是后续理论展开的关键一步。 第三章：代数扩张的维度与基 本章深入探讨了域扩张的次数 $[L:K]$。对于有限扩张，我们利用塔定理（Tower Law）阐述了中间域对次数的乘法性质：如果 $K subseteq M subseteq L$，则 $[L:K] = [L:M] [M:K]$。进一步地，本章详细阐述了代数基（Algebraic Basis）或称向量基的概念，证明了对于有限代数扩张，其扩张次数等于以 $K$ 为标量的向量空间维度。 第四章：正规扩张与可分扩张 本章引入了区分不同类型代数扩张的关键概念：正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）。正规扩张被定义为在任一域 $K$ 上的最小分裂域（Splitting Field）。可分扩张则要求任一代数元在 $K$ 上的最小多项式是不可约且重根自由的。本章通过对特征零和特征 $p > 0$ 域的区分讨论，详细分析了可分性的代数判据（如通过导数判别）和代数几何中的意义。 第五章：伽罗瓦理论的核心——伽罗瓦群 本章是全书的核心。定义了伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$，它是保持基域 $K$ 中元素不变的自同构群。详细讨论了伽罗瓦群的性质，特别是对于有限扩张 $L/K$ 的基本性质。本章的关键在于阐述基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）的完整陈述与证明，该定理建立了域论中的中间域与群论中的子群之间的一一反对应关系。 第六章：伽罗瓦基本定理的深入应用 本章着重于利用伽罗瓦基本定理解决经典问题。首先，讨论了如何通过伽罗瓦群的结构来描述中间域的性质。重点分析了正规扩张与正规子群的对应关系，以及可分扩张与正规扩张的等价性（在特征零或完全域上）。通过具体例子，如构造特定阶数的中间域，展示了该定理的强大应用。 第七章：有限域的结构 本章专门研究特征为素数 $p$ 的域，即有限域 $mathbb{F}_q$。证明了对于任何素数 $p$ 和正整数 $n$，存在唯一（同构意义下）的 $p^n$ 个元素的域 $mathbb{F}_{p^n}$。详细讨论了有限域的伽罗瓦群结构，证明了 $ ext{Gal}(mathbb{F}_{p^n}/mathbb{F}_p)$ 是一个循环群，生成元由Frobenius自同构给出。本章为代数几何中对有限域的研究奠定了基础。 第八章：超越扩张与超越度 在讨论完代数扩张后，本章转向超越扩张。引入了超越度（Transcendence Degree）的概念，并给出了其作为向量空间维度的推广。利用代数独立集（Algebraically Independent Sets）的概念，证明了任何域 $K$ 的任一超越扩张 $L/K$ 都存在一组超越基，从而确定了 $[L:K]$ 的抽象度量。 第九章：构造性问题：多项式方程的可解性 本章将域论与传统代数问题相结合。通过伽罗瓦理论，分析了五次及以上一般多项式方程不可由根式求解（即仅用加、减、乘、除、开方操作）的本质原因。详细讨论了可解群（Solvable Groups）与根式可解扩张（Solvable Extensions）之间的精确对应关系，从而给出了伽罗瓦对五次方程无一般解的代数证明的严谨框架。 第十章：域论在代数几何中的初步联系 本章作为桥梁，展示了域理论如何自然地引向代数几何的核心概念。讨论了局部化（Localization）如何从环结构生成新的域（分数域）。初步引入了函数域（Function Fields）的概念，将域扩张视为几何对象（如曲线）之间态射的代数对偶，为后续研究代数簇和其上的函数域奠定了必要的代数工具。特别地，阐述了代数数域 $mathbb{Q}(alpha)$ 与数论中理想理论的初步联系。 读者对象： 高等代数、抽象代数、代数几何或数论方向的研究生；希望深入理解伽罗瓦理论和域扩张理论的高年级本科生。要求读者具备扎实的环论和群论基础。 本书特色： 严谨性： 概念定义精确，证明逻辑链条完整，注重数学的严密性。 深度： 不仅停留在伽罗瓦基本定理的表述，更深入挖掘了正规性、可分性与群结构之间的微妙联系。 连贯性： 结构清晰，从基础域概念到超越扩张，再到对经典难题的解决，层层递进，逻辑自然。

评分☆☆☆☆☆

作为一个多年在数学教育一线工作的老师，我一直在寻找能够激发学生兴趣，并且能够帮助他们理解数学深层思想的优秀教材。“Galois余环理论”这个书名，虽然听起来非常高深，但却充满了一种挑战的魅力。我猜想，这本书的编写风格可能会非常独特，它或许不会一开始就抛出复杂的定义和定理，而是会以一种更具引导性的方式，从一些具体的、引人入胜的数学问题出发，逐步引导读者进入Galois余环理论的世界。我希望书中能够提供清晰的解释，即使对于初学者来说，也能够理解那些抽象概念背后的直观意义。比如，它可能会从一些经典的代数方程求解问题出发，然后类比地引入“余环”的概念，并说明它如何帮助我们理解更复杂结构的对称性。我特别期待书中能够包含一些精心设计的习题，这些习题既能帮助巩固理论知识，又能培养学生的探索能力和独立思考的能力。如果这本书真的能做到这一点，那它将是对我们数学教学非常有价值的补充。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名实在是太引人入胜了，初初看到“Galois余环理论”这几个字，就觉得脑海中涌现出无数的可能性。我是一个数学爱好者，虽然非专业出身，但一直对抽象代数、数论以及它们之间深刻的联系充满好奇。Galois理论本身就充满了传奇色彩，它揭示了方程根与群论之间的绝妙关联，而“余环”这个词又增添了一层神秘感。这会是一种对Galois理论的推广吗？还是在某种特定的代数结构中引入了新的概念？我脑海里浮现出各种设想：或许它探讨的是在非交换代数框架下，如何理解和分析代数方程的对称性；又或者，“余环”可能指的是在某个范畴内的某种“剩余”或“补全”结构，用于深化对Galois群作用的理解。这本书的题目本身就像一个精心设计的谜题，我迫不及待地想要知道它将带领我走向何方，去探索那些未知的数学风景。我猜想，作者一定是一位对抽象代数有着极深造诣的数学家，能够将如此深奥的概念组织成一本易于理解（当然，对我而言是希望如此）的著作。我期待这本书能够给我带来耳目一新的视角，让我对Galois理论及其可能的延伸有一个全新的认识。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻读代数方向博士的学生，一直在寻找能够拓展我研究视野的材料。Galois理论是我学习过程中绕不开的基石，但同时我也感到在某些更广阔的代数领域，例如环论、模论，甚至是更一般的范畴论中，Galois理论的应用和推广仍然是活跃的研究前沿。“Galois余环理论”这个书名立刻抓住了我的注意力，它暗示着作者可能正在探索Galois理论在环上的某种“类比”或“拓展”。我猜想，这本书可能是在研究带有特定结构的环，并且在这些环上定义了某种与Galois群概念相似的“自同构群”，并进一步探讨这些自同构群的性质，以及它们与环的内部结构之间的关系。例如，是否可以将著名的Galois对应推广到环的子结构上？“余环”这个词可能指的是某种“商环”或者“扩张环”的概念，通过构造这些结构来揭示更多的对称性和不变性。我非常期待书中能够出现对这些概念的严谨定义和清晰的论证，并且能够提供一些经典的例子或者最新的研究成果，帮助我更好地理解Galois理论在更一般的代数框架下的可能性。

评分☆☆☆☆☆

作为一名热爱阅读和学习的普通读者，我对“Galois余环理论”这个书名感到非常好奇。它听起来既专业又富有想象力。虽然我可能无法完全理解其中所有的数学细节，但我会被书名所蕴含的探索精神所吸引。我猜想，这本书的作者一定是一位非常有才华的数学家，他能够将非常抽象的概念以一种富有启发性的方式呈现出来。我希望这本书能够用通俗易懂的语言，向我解释Galois理论的魅力，以及“余环”这个概念究竟是什么，它和我们熟悉的数学世界有什么联系。或许，这本书会通过一些生动的故事或者类比，来帮助我理解那些复杂的数学思想。我期待能够从中获得一种全新的思维方式，即使无法掌握所有技术细节，也能感受到数学的宏伟和美妙。这本书对我来说，可能是一次关于未知数学世界的奇妙旅程。

评分☆☆☆☆☆

我的兴趣广泛，对数学的各个分支都有所涉猎，但尤其钟爱那些能够连接不同数学领域的“桥梁”性理论。“Galois余环理论”这个名字，给我的感觉就像是连接了Galois理论这个数论和抽象代数的经典话题，以及可能涉及到的环论、模论，甚至是同调代数等领域。我猜想，这本书的写作可能是一种探索性的，作者可能在尝试构建一个全新的数学框架，在这个框架下，Galois群的某些性质可以通过环上的某种“余差”或者“补集”结构来刻画。例如，在研究某些代数扩张时，可能存在一个“不足”的部分，而“余环”的概念恰好能够捕捉到这个“不足”的性质，并将其与Galois群的结构联系起来。我非常好奇书中是否会探讨这个“余环”是如何构造的，它的代数性质是什么，以及它与传统的Galois理论之间存在怎样的深刻联系。我期待这本书能够带来一些前沿的研究思路，甚至可能为解决一些悬而未决的数学问题提供新的视角。