現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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章璞 著

圖書標籤:

• 數學史
• 伽羅瓦理論
• 抽象代數
• 群論
• 域論
• 數學基礎
• 天纔
• 數學普及
• 高等數學
• 代數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040372526

版次：1

商品編碼：11234780

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎

開本：16開

齣版時間：2013-05-01

用紙：膠版紙

頁數：125

字數：110000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》是一本專門講述伽羅瓦理論的教材。內容包括伽羅瓦理論基本定理和多項式方程的根式可解性、伽羅瓦群的計算及其反問題，《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》強調通過伽羅瓦對應，可將代數數域中的問題轉化成群論的問題加以解決。作為這種思想的應用，證明瞭代數基本定理，解決瞭e和π的超過性及尺規作圖的四大古代難題。為方便讀者查閱，附錄中詳細梳理瞭所要用到的群、環、域方麵的結論。每節配有充足的習題並包含提示。《現代數學基礎·伽羅瓦理論：天纔的激情》可作為高等學校數學類各專業的教材，也可供其他相關專業參考。

內頁插圖

目錄

序言
前言
0. 伽羅瓦理論概述
1. 有限伽羅瓦擴張
1.1 伽羅瓦對應
1.2 阿廷引理
1.3 戴德金無關性引理
1.4 有限伽羅瓦擴張
習題

2. 伽羅瓦理論基本定理
2.1 錶述及意義
2.2 證明
2.3 注記與例子
2.4 代數基本定理
習題

3. 伽羅瓦群的計算
3.1 伽羅瓦的原始思想
3.2 判彆式
3.3 4次方程
3.4 純粹方程
3.5 分圓域
3.6 素數次對稱群
3.7 布饒爾的構造
習題

4. 一般方程的伽羅瓦群
4.1 一般方程
4.2 伽羅瓦反問題
習題

5. 方程根式可解的伽羅瓦大定理
5.1 曆史背景及錶述
5.2 充分性的證明
5.3 必要性的證明
5.4 3次方程求根公式
5.5 4次方程求根公式
習題

6.模p法
6.1 有理函數域
6.2 模p法
6.3 對稱群
習題

7.e和π的超越性
7.1 林德曼魏爾斯特拉斯定理
7.2 證明
……
附錄I：所需群和環中的結論
附錄II：域論摘要
參考文獻
中英文名詞索引

前言/序言

　　近年來伽羅瓦理論的教學麵臨新的情況，隨著學期的縮短，它在近世代數課程中可用的時間更少；若不高效地處理其核心內容，同學往往未得要領課已結束，而若作為後續課程，則需梳理所要用到的群、環、域的結論；同時，由於伽羅瓦理論沒有及時跟進，近世代數課程可能流於概念，未見精彩深刻的應用。
　　作者在中國科學技術大學和上海交通大學講授此課20餘次，瞭解其中的睏難，我們琢磨如何在盡可能少的課時內講清伽羅瓦理論的核心內容；同時也思考作為後續課程它的教學內容，這本小書就是在此雙重考慮下實踐的産物。
　　如果作為近世代數課程中的一章，則可隻講本書中不帶星號的小節，它們是最基本的內容，隻需8個課時便可完成，這得益於在技術處理上充分運用瞭同構延拓定理：它和阿廷引理並用即可證明伽羅瓦理論基本定理，帶星號的小節則用於後續課程。
　　在思想和方法上，我們強調通過伽羅瓦對應，將代數數域中的問題轉化成有限群的問題加以解決，作為例證，包含瞭伽羅瓦理論基本定理在代數（多項式方程的根式可解性和代數基本定理）、數論（e和π的超越性）和幾何（正n-邊形的尺規作圖）中的應用，在內容上，突齣瞭伽羅瓦群的計算及其反問題，特彆是模p法的使用。

現代數學基礎：伽羅瓦理論 導言：數學思想的宏偉交響 本書旨在為讀者呈現一幅宏大而精密的數學畫捲，它聚焦於兩個相輔相成、卻又各自擁有獨立光芒的領域：現代代數的核心——群論，以及徹底革新瞭我們對多項式方程理解的伽羅瓦理論。我們不滿足於僅僅呈現冰冷的公式和抽象的定義，而是力求深入挖掘隱藏在這些結構背後的深刻洞察與曆史脈絡。 本書的基調是嚴謹而富有啓發性的。我們深知，通往數學深處的道路需要清晰的指引。因此，在內容編排上，我們遵循瞭從基礎概念的逐步建立到復雜理論的精妙應用的路徑。讀者將在此書中找到的，是一種對數學結構之美與邏輯之嚴的極緻追求。 第一部分：群論的奠基 在進入伽羅瓦理論的宏偉殿堂之前，我們必須先為理解其語言打下堅實的基礎——群論。本部分將係統地介紹群論的基石。 1.1 抽象代數初探：從算術到結構 我們將從熟悉的整數、有理數域齣發，引齣“代數結構”這一核心概念。重點闡述集閤、運算、封閉性、結閤律、單位元和逆元這群論的五大支柱。這不是簡單的定義羅列，而是通過具體的例子，如模算術（鍾麵上的加法）和矩陣乘法，來展示這些抽象概念的實際意義。 1.2 群的分類與構造 深入探討群的內部結構。我們將詳細分析子群的概念，以及如何利用陪集來劃分群的元素。拉格朗日定理的證明及其在有限群分類中的關鍵作用將被詳盡闡述。 1.3 同態與同構：結構的映射 理解兩個看似不同的係統是否本質上相同，是代數學傢的基本任務之一。我們將嚴格定義群同態和群同構，重點解析核（Kernel）與像（Image）的性質。通過具體的映射實例，讀者將學會如何辨識齣數學結構之間的“同一性”。 1.4 正規子群與商群：代數的分解藝術 這是通往更深層結構的關鍵一步。我們將用清晰的幾何直覺來解釋正規子群的必要性——隻有正規子群纔能保證商群運算的良定義性。第一同構定理將被視為連接原群、子群和商群的橋梁，其簡潔優美的錶達方式，體現瞭代數思維的強大力量。 1.5 基礎群的實例分析 本書將對幾個關鍵的群進行細緻的剖析，包括循環群（所有群的“原子”）、二麵體群（幾何對稱性的體現）、以及對稱群 $S_n$（置換的代數）。對 $S_n$ 的分析將側重於其子群結構，特彆是交錯群 $A_n$，為下一部分埋下伏筆。 第二部分：域擴張與多項式的根 在掌握瞭群論工具箱之後，我們將視野轉嚮方程的求解——伽羅瓦理論的核心舞颱。 2.1 域的擴張：從 $mathbb{Q}$ 到 $mathbb{K}$ 我們將定義域（Field）的概念，並係統地研究域的擴張。從最基礎的 代數擴張 到 超越擴張，我們將探討擴張次數 $[K:F]$ 的概念，以及如何利用 最小多項式 來精確描述域中元素的代數性質。 2.2 分裂域與代數閉包 為瞭研究多項式的根，我們需要一個包含所有根的“完備環境”。我們將定義分裂域的概念，它是使得某個多項式完全分解的最小域。隨後，我們會簡要介紹代數閉包的構造，作為理論上的終極根的集閤。 2.3 可分性與正規擴張 並非所有多項式在所有域上都有“良好錶現”。我們將區分可分多項式和不可分多項式，並定義伽羅瓦擴張（有限、正規且可分）作為伽羅瓦理論的主要研究對象。這些嚴格的限定確保瞭域擴張與域的自同構群之間能夠建立起精確的一一對應關係。 第三部分：伽羅瓦理論的核心 本部分將集中火力，揭示伽羅瓦天纔思想的精髓——域的擴張與自同構群之間的“雙重對應”。 3.1 伽羅瓦群：域自同構的語言 我們將定義域 $E$ 相對於 $F$ 的伽羅瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$，即保持 $F$ 中元素不變的所有 $E$ 上的域自同構構成的群。我們著重分析伽羅瓦群的元素如何作用於 $E$ 的元素，以及它們如何影響多項式的根。 3.2 核心定理：雙重對應 伽羅瓦理論的精髓在於基本定理。我們將詳細闡述： 1. $F$ 與 $E$ 之間所有中間域 $K$（滿足 $F subseteq K subseteq E$）與 $ ext{Gal}(E/F)$ 的子群 $H$ 之間存在一一反序對應關係。 2. 域擴張的次數 $[E:K]$ 等於其對應子群的指數 $[ ext{Gal}(E/F): H]$。 3. 域 $K$ 是正規擴張，當且僅當其對應的子群 $H$ 是正規子群。此時，$ ext{Gal}(K/F) cong ext{Gal}(E/F) / H$。 這個定理將代數（域擴張的層級）的幾何結構完美地映射到瞭群論（子群的結構）的代數結構上，實現瞭一場深刻的思維轉換。 3.3 五次方程的可解性之謎 伽羅瓦理論最輝煌的應用，無疑是闡明瞭為什麼五次及以上的一般代數方程不能通過根式（隻包含加、減、乘、除和開方運算）求解。我們將證明： 域擴張鏈與根式：一個域擴張可以通過根式生成，當且僅當其對應的伽羅瓦群鏈可以細分為一係列正規擴張，其商群是循環群（即可解群）。 對稱群 $S_5$ 的不可解性：我們將證明五次多項式的伽羅瓦群 $S_5$（或其子群）一般是不可解的，因為它包含一個非平凡的正規子群 $A_5$，而 $A_5$（交錯群）是單群，不能再被分解為循環商群。 通過這一論證，我們將徹底終結數韆年來數學傢對五次方程的徒勞探索，揭示其內在的、不可逾越的代數障礙。 結語：結構與洞察 本書不僅是一本關於伽羅瓦理論的教科書，更是一次對數學傢如何通過抽象結構來解決具體難題的深刻反思。我們相信，通過對群論的嚴謹訓練和對域擴張的精妙結閤，讀者將能體驗到數學之美中那份既冰冷又熱烈的“天纔的激情”。這種激情，源於發現隱藏在看似復雜現象背後的簡潔、普適的內在規律。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學，尤其是那些關於結構和對稱性的理論深感著迷，所以當我在書店的顯眼位置看到這本《現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情》時，我的興趣立刻就被點燃瞭。我並非專業數學背景，但作者巧妙地用一種非常引人入勝的方式，將抽象的數學概念與一位偉大的數學傢——伽羅瓦——跌宕起伏的人生經曆相結閤。書中對伽羅瓦理論的闡述，遠不止枯燥的公式推導，而是將其置於一個曆史的、思想的脈絡中。我仿佛看到伽羅瓦如何在生命的最後時光裏，用詩意的語言和閃耀著智慧的筆觸，勾勒齣群論的輪廓，試圖解決幾個世紀以來睏擾數學傢的難題。這種將科學的嚴謹與人性的光輝融為一體的敘述方式，讓我這個非專業讀者也能感受到數學的魅力，甚至為伽羅瓦的悲劇命運而扼腕嘆息。書中的語言時而慷慨激昂，時而又細膩入微，仿佛能聽到作者在為你娓娓道來一個關於天纔、追求與犧牲的傳奇故事。我尤其欣賞書中對“不可約性”和“根式可解性”等核心概念的解釋，它們並非直接拋齣定義，而是通過曆史故事和類比，逐步引導讀者進入理解的殿堂。即使我無法完全掌握其中的所有數學細節，但閱讀這本書本身，就是一次充滿啓發性的智力冒險。

評分☆☆☆☆☆

對我而言，一本好的數學普及讀物，不僅僅在於它是否能清晰地講解復雜的概念，更在於它能否激發讀者的好奇心和求知欲。《現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情》無疑做到瞭這一點。它以伽羅瓦這個充滿傳奇色彩的數學傢為切入點，將我們引入到抽象代數的世界。書中對“伽羅瓦群”的闡述，並非孤立的理論介紹，而是通過描述伽羅瓦如何將其應用於解決多項式根式可解性問題，讓這個概念變得生動而有意義。作者對“不可解方程”的分析，以及伽羅瓦如何通過群的結構來判斷方程是否可解，其邏輯的嚴謹和思想的深刻，即使在普通讀者聽來也格外引人入勝。我尤其喜歡書中對伽羅瓦理論的“對稱性”本質的揭示，它將數學從冰冷的計算推演，提升到瞭對事物內在結構的深刻理解。閱讀過程中，我仿佛能感受到伽羅瓦在那個時代，麵對質疑和誤解時，依然堅持自己數學信念的強大力量。作者對曆史細節的考據和對人物情感的描繪，都讓這本書讀來充滿瞭畫麵感和代入感。它讓我看到瞭數學的深邃，也讓我體會到瞭一個偉大靈魂在探索真理道路上的孤獨與輝煌。

評分☆☆☆☆☆

在漫長的書海中尋覓能夠真正觸動靈魂的作品，並非易事。而《現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情》無疑是我近期遇到的那顆璀璨明珠。它並非一本簡單意義上的教科書，而是將嚴謹的數學理論與一位數學巨匠坎坷而輝煌的人生緊密編織在一起。作者在描述伽羅瓦理論時，沒有采用常見的枯燥論證，而是將讀者帶入到伽羅瓦那個充滿挑戰與機遇的時代，讓他仿佛置身於伽羅瓦的思考空間。閱讀書中對“群”的概念的闡述，我感受到一種前所未有的清晰和深刻。作者通過大量的曆史背景和思想演進的鋪墊，使得“群”這個抽象的概念不再是遙不可及的理論，而是人類智力探索的必然産物。尤其令人印象深刻的是，書中對伽羅瓦解決三次和四次方程根式解問題的過程的描繪，那種抽絲剝繭般的邏輯推理，以及最終洞察到其與群論之間的深刻聯係，讀來令人拍案叫絕。更不用說作者對伽羅瓦短暫卻耀眼的生命旅程的描繪，將這位數學天纔的激情、執著，甚至是最後的悲劇，都刻畫得淋灕盡緻，讀來讓人既感到振奮，又不禁為之動容。這本書不僅僅是關於數學，它更是一部關於夢想、關於追求、關於人類精神不屈不撓的頌歌。

評分☆☆☆☆☆

許多關於數學的書籍，往往流於理論的堆砌，讓人望而卻步。《現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情》卻打破瞭這一常規，它以一種極其人性化的方式，將我們帶入瞭伽羅瓦的世界。這本書並非簡單地羅列定理和證明，而是將數學理論的産生和發展，置於一位天纔數學傢的人生軌跡之中。我被書中對伽羅瓦如何從解決具體問題齣發，逐步抽象齣群論這一強大工具的描述深深吸引。作者對於“單群”概念的引入，以及它在數學中的重要意義，都做瞭深入淺齣的解讀，讓我這個非科班齣身的讀者也能夠窺探到其精妙之處。更讓我印象深刻的是，書中對伽羅瓦理論在數學其他分支，如數論和代數幾何中的應用前景的展望，展現瞭這項理論的深遠影響和強大的生命力。作者在描述伽羅瓦的個人經曆時，也毫不避諱地展現瞭他的浪漫氣質、政治熱情以及最終的悲劇命運，這種將科學與人生融為一體的敘事，使得這本書讀起來既有智力上的挑戰，又充滿瞭情感上的共鳴。它讓我明白，偉大的數學理論並非憑空産生，而是誕生於對世界的好奇、對知識的渴望以及對真理的不懈追求。

評分☆☆☆☆☆

作為一名長期在數學領域探索的業餘愛好者，我總是在尋找那些能夠將抽象理論與人類情感深度結閤的作品。而《現代數學基礎：伽羅瓦理論 天纔的激情》恰恰做到瞭這一點。它不僅僅是一部關於數學的書，更是一部關於一個天纔數學傢不屈不撓精神的史詩。書中對伽羅瓦理論的講解，沒有落入俗套，而是將復雜的數學概念巧妙地融入到伽羅瓦的人生故事之中。我特彆欣賞作者對於“域擴張”和“伽羅瓦群”之間關係的闡釋，這種將代數結構與幾何對稱性巧妙聯係起來的視角，讓整個理論煥發齣瞭新的生命力。它不再是冰冷的符號和公式，而是承載著人類智慧與探索精神的生動載體。閱讀過程中，我仿佛能感受到伽羅瓦在巴黎的咖啡館裏，在決鬥的前夜，他的思緒如何在數學的海洋中馳騁。作者對這段曆史的描繪，充滿瞭感染力，將我們帶入到那個充滿激情與創造力的時代。盡管我可能無法完全消化書中的每一處數學細節，但作者營造的氛圍，以及對伽羅瓦理論核心思想的深入淺齣的剖析，都讓我受益匪淺。這本書的價值，不僅在於其數學內容的深度，更在於它所傳遞的那種對知識的純粹追求和對真理的執著信念。

評分☆☆☆☆☆

書封麵好髒，沒有包裝好，其他都還好，發貨很快。

評分☆☆☆☆☆

書很好，200-100優惠買的，很劃算。

評分☆☆☆☆☆

這一個係列的書質量和內容都還不錯，不像黃皮的那一套，完全是想錢想瘋瞭

評分☆☆☆☆☆

非常好，內容也很有意思

評分☆☆☆☆☆

很好，內容充實，書有點薄。好評。應該有幫助。下次再來買。

評分☆☆☆☆☆

不錯的書！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

評分☆☆☆☆☆

以前上課的教材，沒有好好學習，這次買迴來好好復習 以前上課的教材，沒有好好學習，這次買迴來好好復習

評分☆☆☆☆☆

質量很好，值得購買！

評分☆☆☆☆☆

莫宗堅，張益唐的導師。坑瞭老張