現代數學基礎：拓撲綫性空間與算子譜理論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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劉培德 著

圖書標籤:

• 數學
• 拓撲學
• 泛函分析
• 算子理論
• 綫性空間
• 譜理論
• 高等數學
• 理論數學
• 數學分析
• 函數分析

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040373783

版次：1

商品編碼：11271775

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎

開本：16開

齣版時間：2013-06-01

用紙：膠版紙

頁數：247

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎：拓撲綫性空間與算子譜理論》共由六章和兩個附錄組成。大緻說來，前麵三章敘述拓撲綫性空間的一般理論。第一章包括拓撲綫性空間的基本屬性，它的局部基的構造、可度量化以及局部凸空間的特徵。第二章是在拓撲綫性空間框架下的幾個具重要性的基本定理，包括共鳴定理、開映射定理、閉圖像定理以及綫性泛函的Hahn—Banach延拓定理等，有關結果與賦範空間有很強的可類比性。第三章講解局部凸空間的共軛理論，主要是局部凸空間的弱拓撲、共軛空間的弱*拓撲以及它們的某些應用，其中還包括Banach空間的共軛、自反性以及緊凸集的端點性質等。後麵三章是關於Banach代數與算子譜理論。第四章講述Banach代數、Gelfand變換以及C*代數、正泛函的有關知識。第五章著重於Hilbert空間上的有界綫性算子的譜特性與譜分解定理，主要對象是緊算子、Fredholm算子和有界正規算子。第六章講述無界綫性算子的譜理論，包括閉稠定自伴算子、對稱算子與無界正規算子。最後介紹譜理論在算子半群理論與遍曆理論中的一些應用。書中在講解上述理論知識的同時，還選取相當數量的實際例子加以闡釋，以期加強基本理論和實際應用之間的相互聯係。正文之外我們還安排瞭兩個附錄，附錄A羅列瞭關於集閤論的幾個公理，附錄B集中闡述瞭《現代數學基礎：拓撲綫性空間與算子譜理論》所用到的一些點集拓撲方麵的知識。

目錄

第一章 拓撲綫性空間
綫性空間
拓撲綫性空間的局部基
有界性、可度量化、完備性
局部凸空間
有限維空間、積空間、商空間
若乾例子
習題一

第二章 拓撲綫性空間的若乾基本定理
一緻有界原理
開映射與閉圖像定理
HahnBanach延拓定理
習題二

第三章 局部凸空間的共軛理論
弱拓撲
弱*拓撲
Banach空間的共軛、自反性
弱拓撲的幾個應用
緊凸集的端點錶現與不動點性質
習題三

第四章Banach代數
Banach代數與理想
Gelfand變換
C*代數
正元與正泛函
習題四

第五章Hilbert空間上有界算子的譜理論
Hilbert空間與空間上的幾類算子
緊算子、Fredholm算子及其譜
緊算子的若乾例子
正規算子的譜
極分解、vN代數、GNS構造
習題五

第六章 無界算子的譜理論
閉稠定自伴算子
對稱算子的擴張及擾動
無界正規算子的譜
算子半群
Markov過程、遍曆定理
習題六
附錄A 關於集閤論的若乾公理
附錄8 點集拓撲知識提要
參考書目
名詞索引

好的，以下是一份不包含《現代數學基礎：拓撲綫性空間與算子譜理論》具體內容的圖書簡介，力求詳細且自然： --- 《高等代數與應用》 本書導言 在現代數學體係中，代數結構扮演著至關重要的角色。它不僅是純粹理論探索的基石，更是連接數學與其他學科（如物理學、計算機科學、經濟學等）的關鍵橋梁。本書《高等代數與應用》旨在為讀者提供一個嚴謹而全麵的高等代數學習體驗，側重於理論的深度挖掘與實際應用的廣度拓展。我們緻力於構建一個邏輯清晰、循序漸進的學習路徑，幫助讀者深入理解綫性代數、群論、環論等核心概念，並掌握其在解決復雜問題時的強大工具。 本書的編寫遵循瞭“理論先行，應用驅動”的原則。我們深知，隻有在紮實掌握瞭基本概念和定理的基礎上，纔能有效地進行高級主題的研討和實際問題的建模。因此，本書首先在紮實的基礎上，對綫性代數進行瞭深入的重構與拓展，隨後引入瞭更抽象的代數結構，展示瞭代數思想的普適性。 第一部分：綫性代數的深化與幾何化 綫性代數是現代數學的基石之一。本書在介紹經典綫性空間、綫性變換和矩陣理論的基礎上，引入瞭更深入的視角。我們不再僅僅將其視為求解綫性方程組的工具，而是將其視為研究嚮量空間結構的幾何語言。 第1章：嚮量空間的精粹 本章從嚮量空間的公理化定義齣發，詳細闡述瞭子空間、綫性相關性、基與維數的概念。我們著重討論瞭有限維空間與無限維空間的區彆與聯係，並引入瞭更精細的結構，如直和與投影，為後續的綫性變換分析奠定基礎。 第2章：綫性變換的結構與矩陣錶示 綫性變換是連接不同嚮量空間的橋梁。本章係統地研究瞭綫性變換的核與像，並詳細探討瞭矩陣的相似性理論。我們深入分析瞭特徵值、特徵嚮量的意義，並重點介紹瞭特徵分解（對角化）的條件與應用。對於不可對角化的情形，我們引入瞭Jordan標準型理論，這是理解綫性變換結構的關鍵工具。 第3章：內積空間與歐幾裏得幾何 本章將代數結構與幾何直覺相結閤。在實數域和復數域上，引入內積空間的概念，從而定義瞭長度、角度和正交性。通過Gram-Schmidt正交化過程，我們展示瞭如何將任何有限維內積空間轉化為具有正交基的係統。本章的重點還包括正交矩陣、對稱矩陣的性質及其在二次型（Quadratic Forms）理論中的應用，這對於理解二次麯綫和二次麯麵的幾何結構至關重要。 第二部分：抽象代數的核心：群、環與域 進入抽象代數領域，本書將代數結構從特定的嚮量空間推廣到更為普遍的概念，即群、環和域。這是理解對稱性、代數數論和密碼學等領域的基礎。 第4章：群論基礎 本章從最基本的對稱性問題齣發，構建瞭群的代數框架。我們詳細闡述瞭子群、陪集、同構與同態的概念。特彆地，我們深入研究瞭正規子群、商群的構造，以及著名的第一同構定理。對於有限群，Sylow定理是理解其內部結構的強大工具，本章將對其進行詳盡的推導與應用演示。 第5章：環論與理想結構 環是具有兩種運算（加法和乘法）的代數結構。本章關注環的性質，包括整環、域的定義。我們重點討論瞭理想（Ideals）的概念，它是環論中的核心結構，類比於群論中的正規子群。同態定理在環上的推廣，以及主理想域（PID）、唯一分解域（UFD）的性質將被詳細剖析。 第6章：域的理論與伽羅瓦理論的引言 域是數學中最具“自由度”的代數結構。本章探討域的擴張，包括代數擴張與超越擴張。我們引入瞭域的特徵，並詳細分析瞭最小多項式和代數閉包的概念。雖然伽羅瓦理論的完整展開需要更龐大的篇幅，本章將提供其核心思想的介紹，闡明域擴張與群論之間深刻的對偶關係，特彆是如何利用群論來解決多項式方程的可解性問題。 第三部分：應用與拓展 代數結構並非空中樓閣，其強大的建模能力在各個領域都有體現。本部分將展示高等代數在解決實際問題中的具體作用。 第7章：綫性代數在數值分析中的角色 在實際計算中，我們往往需要處理大型或稠密的矩陣。本章討論矩陣分解的數值穩定性，包括LU分解、QR分解以及奇異值分解（SVD）。SVD不僅在幾何上具有深刻的意義，而且是數據壓縮、主成分分析（PCA）等現代數據科學技術的核心算法支撐。 第8章：群論在編碼與密碼學中的應用 群論提供瞭理解對稱性和周期性的框架。本章將群結構應用於信息論，介紹有限域上的運算，並闡釋有限阿貝爾群結構在公鑰密碼係統（如Diffie-Hellman密鑰交換）和橢圓麯綫密碼學中的理論基礎。 總結 《高等代數與應用》旨在培養讀者嚴謹的數學思維和利用抽象工具解決實際問題的能力。本書的結構力求平衡理論的深度與應用的廣度，通過大量的例題和習題，引導讀者真正掌握代數思想的精髓。無論您是數學係本科生、研究生，還是需要利用代數方法進行科學研究的工程師和研究人員，本書都將是一部富有啓發性的參考資料。我們相信，通過對這些基礎結構的深入探索，讀者將能夠更好地理解現代數學的其他分支，並為未來的研究打下堅實的基礎。 ---

評分☆☆☆☆☆

這是一本能夠激發我數學探索欲望的書。我一直認為，數學的美在於其內在的嚴謹與外在的普適性，而這本書恰好完美地詮釋瞭這一點。書中對拓撲綫性空間的講解，特彆是圍繞著度量、完備性、可分性等拓撲性質的深入探討，為理解後續更復雜的算子理論奠定瞭堅實的基礎。我印象最深刻的是書中對算子譜理論的引入，作者並沒有一開始就拋齣令人望而生畏的定義，而是通過對綫性算子性質的細緻分析，逐步揭示瞭譜的存在性和重要性。我喜歡書中對函數代數和C-代數等前沿概念的介紹，這些內容雖然對我來說尚屬新領域，但作者的講解非常到位，既有理論深度，又不失清晰的邏輯。書中的一些證明過程，比如利用不動點定理來證明某些算子方程解的存在性，以及利用譜映射定理來研究算子的性質，都展現瞭作者高超的數學功底。這本書讓我看到瞭數學在解決實際問題中的強大力量，也讓我對未來的數學學習充滿瞭信心。

評分☆☆☆☆☆

這是一本令人驚喜的書，它以一種非常現代且直觀的方式，將我帶入瞭無限維綫性空間的神奇世界。我一直覺得，很多數學教材在介紹無窮維空間時，往往過於側重形式化的定義，而忽略瞭其內在的幾何和分析直覺。但這本書卻完全不同，它在講解巴拿赫空間、希爾伯特空間等核心概念時，始終輔以豐富的幾何類比和具體的函數空間例子，比如Lp空間、Sobolev空間等。這些例子不僅幫助我理解瞭抽象的概念，還讓我看到瞭它們在實際問題中的應用前景。我特彆欣賞書中對緊緻性、弱拓撲等概念的講解，它們是理解算子譜理論的關鍵。作者巧妙地將這些概念融入到對算子性質的分析中，使得原本可能枯燥的理論變得生動有趣。我感覺自己仿佛在與一位經驗豐富的數學嚮導同行，他不僅為我指明瞭方嚮，還為我驅散瞭前方的迷霧。讀完之後，我對函數分析和算子理論有瞭全新的認識，迫不及待地想將學到的知識應用到我的研究中。

評分☆☆☆☆☆

這本書簡直是給我打開瞭一扇通往高級數學世界的大門！我一直對抽象代數和函數空間頗感興趣，而這本書正好滿足瞭我對這些領域進一步探索的渴望。書中對算子譜理論的講解，尤其讓我印象深刻。從緊算子、有限秩算子這些相對容易理解的概念入手，逐步深入到更復雜的光滑算子、正規算子，再到最終的算子代數和C-代數，整個過程銜接得非常自然。作者在闡述過程中，不僅給齣瞭嚴格的定義和證明，還穿插瞭不少曆史背景和發展脈絡的介紹，這讓我對接下來的研究方嚮有瞭更清晰的認識。我發現，很多看似獨立的數學概念，在算子譜理論這個框架下，都能夠有機地聯係起來，形成一個統一的整體。書中的習題設計也非常巧妙，既能檢驗對基本概念的掌握程度，又能引導讀者進行更深入的思考。雖然有些習題對我來說確實頗具挑戰性，但我認為這正是提升數學能力的好機會。總而言之，這本書是一部非常值得深入研讀的力作，無論你是初學者還是有一定基礎的研究者，都能從中受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

這本書絕對是我的近期閱讀體驗中的一股清流，充滿瞭深邃的數學思想，即便是我這種已經脫離象牙塔多年的讀者，也忍不住被它嚴謹的邏輯和精妙的推導所吸引。開篇就如同引領我進入一個全新的數學宇宙，從點、綫、麵的基礎概念齣發，巧妙地構建起拓撲綫性空間的宏偉圖景。作者並沒有止步於抽象的定義，而是通過大量詳實且易於理解的例子，將那些看似遙不可及的概念變得觸手可及。特彆是關於度量空間、完備性、緊緻性等核心概念的闡述，條理清晰，層層遞進，讓我對這些基本工具有瞭更深刻的認識。即便是一些相對晦澀的證明，在作者的筆下也顯得格外流暢，仿佛一場精彩的數學偵探劇，每一處推理都精準到位，邏輯鏈條堅不可摧。我尤其喜歡書中對一些重要定理的幾何直觀解釋，這極大地幫助我打破瞭純粹的符號障礙，從更宏觀的角度把握瞭問題的本質。讀完前幾章，我感覺自己對數學的理解已經上升到瞭一個新的颱階，對後續的內容充滿瞭期待，相信這本書一定能為我的數學思維注入新的活力。

評分☆☆☆☆☆

我通常對偏重理論的書籍有些畏懼，但這本書卻成功地改變瞭我的看法。它雖然深入探討瞭拓撲綫性空間和算子譜理論這些高等數學領域，但整體風格卻非常平易近人。作者在講解時，總是從最基本的問題齣發，然後一步步引導讀者構建起完整的理論框架。我尤其喜歡書中對一些關鍵定理的“預熱”式介紹，在正式證明之前，先拋齣一些直觀的想法和動機，這大大降低瞭理解的門檻。例如，在講解對角化和譜分解時，書中就很好地聯係瞭有限維空間中的相似矩陣和特徵值，讓讀者能更容易地過渡到無限維的情況。書中的許多圖示和例子也起到瞭畫龍點睛的作用，將抽象的概念形象化。我感覺這本書不僅僅是在傳授知識，更是在培養讀者的數學思維能力。即便是對於一些我之前接觸過的概念，在書中得到瞭更深入、更係統的闡釋，讓我對它們有瞭更透徹的理解。這是一本真正能夠啓發思考、提升能力的優秀教材。

評分☆☆☆☆☆

書不錯。正版的，一直支持自營傢的東西啊，一定上清華

評分☆☆☆☆☆

這是一本好書，值得一看。

評分☆☆☆☆☆

剛買迴來，還沒來得及看。

評分☆☆☆☆☆

書很薄，一個CMO推薦的，正在慢慢看*^_^*

評分☆☆☆☆☆

不錯的一本書，可以作為本科和研究生教材，

評分☆☆☆☆☆

正版圖書，印刷精美，價格實惠，物流神速，性價比超高！滿意，希望能對孩子的學習助力！

評分☆☆☆☆☆

好書，快遞給力，值得收藏

評分☆☆☆☆☆

書有點髒瞭

評分☆☆☆☆☆

黎老師的代數書都很好