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同济大学数学系 著

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• 工程数学
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• 教材

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115422774

版次：1

商品编码：12030242

包装：平装

丛书名： 同济大学数学系列教材

开本：16开

出版时间：2016-08-01

用纸：胶版纸

正文语种：中文

产品特色

编辑推荐

1.内容经典，增加章前导读及扩展阅读内容，既体现数学严谨的思维逻辑，又反映数学之美。
2.细化考研题目。配套辅导教材将细致讲解考研题目，培养学生的逻辑思维能力。
3.配有微课视频。将重点、难点以微课形式展现，便于学生预习和复习，打下坚实的基础。

内容简介

本书是按照教育部大学数学教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前优秀高等数学教材的精华，并
结合数年来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本书
为上册，是一元函数微积分部分，共四章，主要内容包括函数极限与连续，一元函数微分学及其应用，一
元函数积分学及其应用，微分方程。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测
试和拓展阅读。
本书注重知识点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，适当
降低了学习难度，对部分内容调整了顺序，使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例
题的多样性和习题的丰富性、层次性，使读者在学习数学知识点的同时拓宽了视野，欣赏数学之美。
本书可作为高等院校理工科类各专业的教材，也可作为社会从业人员的自学参考用书。

作者简介

同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等知名学者曾在此任教，并留下了《高等数学》等有全国影响的优秀教材。

目录

第一章　函数、极限与连续　1
第一节　集合与函数　1
一、集合的概念　1
二、常用函数　4
习题1-1　9
第二节　数列极限的定义与计算　10
一、数列极限的概念　10
二、数列极限的计算　13
习题1-2　15
第三节　函数极限的定义与计算　16
一、自变量趋于无穷大时的极限　16
二、自变量趋于有限值时的极限　18
三、函数极限的计算方法　21
习题1-3　23
第四节　极限性质　24
*一、利用极限定义证明　24
二、数列极限的性质　25
三、函数极限的性质　26
*四、极限运算法则的证明　28
习题1-4　30
第五节　两个重要极限　30
一、夹逼定理　31
二、第一重要极限　33
三、单调有界收敛定理　35
四、第二重要极限　36
习题1-5　38
第六节　无穷小与无穷大　39
一、无穷小　40
二、无穷大　41
三、无穷小与无穷大的关系　42
四、无穷小的比较　42
五、等价无穷小的应用　44
习题1-6　45
第七节　函数的连续性及其性质　46
一、连续的概念　47
二、函数的间断点　49
三、初等函数的连续性　52
四、闭区间上连续函数的性质　54
习题1-7　56
本章小结　59
章节测试一　61
拓展阅读　63
第二章　一元函数微分学及其应用　65
第一节　导数的概念及基本求导公式　65
一、割线与切线　65
二、导数的定义　66
三、简单函数的求导　67
四、左、右导数　68
五、切线与法线方程　69
六、函数的可导性与连续性的关系　70
七、函数的和、差、积、商的求导法则　71
八、反函数的求导法则　72
九、求导公式与基本求导法则　73
习题2-1　74
第二节　导数的计算法则　75
一、复合函数的求导法则　76
二、高阶导数　78
三、隐函数的导数　81
四、由参数方程确定的函数的导数　82
*五、相关变化率　84
习题2-2　84
第三节　微分的概念与应用　88
一、微分的定义　88
二、基本初等函数的微分公式及微分法则　90
三、微分的几何意义　92
四、近似计算　92
习题2-3　93
第四节　微分中值定理及其应用　95
一、罗尔定理　96
二、拉格朗日(Ｌａｇｒａｎｇｅ)中值定理　98
三、柯西中值定理　100
四、洛必达(Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ)法则　100
习题2-4　103
*第五节　泰勒中值定理　105
一、多项式逼近函数　105
二、麦克劳林公式　108
三、泰勒公式的应用　109
习题2-5　111
第六节　函数的性态与图形　111
一、函数单调性的判别　112
二、函数的极值及其求法　115
三、曲线的凹凸性与拐点　118
四、曲线的渐近线　121
五、函数图形的描绘　122
习题2-6　124
第七节　微分学的实际应用　126
一、最大值、最小值　126
二、曲率　128
习题2-7　133
本章小结　135
章节测试二　137
拓展阅读　139
第三章　一元函数积分学及其应用　143
第一节　不定积分的概念与性质　143
一、原函数　143
二、不定积分　143
三、基本积分公式　145
四、不定积分的性质　146
习题3-1　148
第二节　不定积分的换元法与分部法　149
一、第一类换元法(凑微分法)　149
二、第二类换元法　155
三、分部积分法　158
习题3-2　161
*第三节　有理函数的不定积分　164
一、真分式的分解　164
二、有理函数的不定积分　165
三、三角函数的有理式的不定积分　166
四、可化为有理函数的简单无理根式的
不定积分　167
习题3-3　168
第四节　定积分的概念与性质　169
一、实例分析　170
二、定积分的定义　171
三、定积分的几何意义　173
四、定积分的性质　174
习题3-4　177
第五节　微积分基本定理　178
一、变速直线运动的路程　178
二、积分上限函数　179
三、微积分基本定理　182
习题3-5　184
第六节　定积分的换元法和分部法　186
一、定积分的换元法　186
二、定积分的分部法　190
习题3-6　193
第七节　定积分的几何应用与物理应用　195
一、平面图形的面积　195
二、空间立体的体积　201
三、曲线的弧长　205
*四、定积分在物理上的应用举例　207
习题3-7　209
第八节　反常积分　211
一、无限区间上的反常积分　211
二、无界函数的反常积分(瑕积分)　214
习题3-8　216
本章小结　217
章节测试三　219
拓展阅读　221
第四章　微分方程　227
第一节　微分方程的概念　227
一、微分方程的引例　227
二、微分方程的基本概念　229
习题4-1　232
第二节　一阶微分方程　233
一、可分离变量方程　233
二、齐次方程　234
三、一阶线性微分方程　236
习题4-2　239
第三节　二阶微分方程　240
一、可降阶的二阶微分方程　240
二、线性微分方程解的结构　242
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法　244
*四、ｎ　阶常系数齐次线性微分方程的解法　247
五、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法　248
习题4-3　250
*第四节　微分方程的实际案例　252
一、一阶微分方程的实际案例　252
二、二阶微分方程的实际案例　255
习题4-4　258
本章小结　259
章节测试四　261
拓展阅读　263
习题答案　266

图书信息： 书名： 深入浅出：微积分与线性代数基础 作者： 张伟 教授，李明 副教授 出版社： 世纪高等教育出版社 出版年份： 2023年10月 --- 图书简介：深入浅出：微积分与线性代数基础 本书《深入浅出：微积分与线性代数基础》旨在为理工科、经济学以及计算机科学等专业本科生构建坚实的数学分析和代数结构基础。本书内容精心组织，力求在保证数学严谨性的同时，突出直观理解和实际应用，帮助读者跨越从高中数学到高等数学的思维鸿沟。全书分为微积分基础篇和线性代数基础篇两大核心部分，共计十五章。 第一部分：微积分基础篇（第1章至第9章） 本部分聚焦于单变量和多变量微积分的核心概念，从极限的严格定义出发，逐步深入到导数、积分的计算与应用，并拓展至基础的级数理论。 第1章：预备知识与实数系统回顾 本章首先对读者已有的高中数学知识进行梳理，重点强化对函数概念、三角函数、指数与对数函数的深入理解。随后，本书引入了实数系统的完备性公理（如上确界原理），为后续极限和连续性的严密定义奠定逻辑基石。我们强调了数学证明的基本方法，如反证法和数学归纳法，并给出了第一个具有挑战性的证明实例——证明有理数的稠密性。 第2章：极限与无穷小量 极限是微积分的灵魂。本章详细阐述了极限的 $epsilon-delta$ 定义，并通过大量的几何和代数例子来训练读者的严密思维。我们区分了点收敛与一致收敛的概念，并引入了无穷小量与无穷大量的比较，为洛必达法则的理解做铺垫。对数列极限的讨论，特别是震荡序列（如 $sin(n)$）的处理，是本章的难点和重点。 第3章：连续性与介值定理 本章从直观的“不间断画图”过渡到严格的函数连续性定义。我们探讨了初等函数的连续性，并详细分析了闭区间上连续函数的性质，包括最大值原理和介值定理。本章通过实际问题（如求解方程近似根）来展示这些基本定理的强大应用。 第4章：导数的概念与计算 导数被定义为函数在某点的变化率。本章着重于导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度）。我们推导了幂、三角、指数和对数函数的求导法则，并系统地阐述了求导法则的综合运用，特别是链式法则的深入解析。 第5章：微分中值定理与导数应用 本章是理论与应用结合的关键。我们详细论证了罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的逻辑关联和几何背景。在应用方面，本章着重讲解了利用导数进行函数图像的描绘（凹凸性、拐点）、极值判断以及优化问题的建立与求解。洛必达法则被置于中值定理之后，以便更好地理解其适用条件。 第6章：不定积分与积分学基本方法 本章引入了不定积分的概念，作为导数的逆运算。我们首先讲解了积分的线性性质。随后，系统地分类介绍了求解不定积分的三大核心技巧：换元积分法（特别是三角代换）、分部积分法（强调选择 $u$ 和 $dv$ 的策略）以及有理函数积分（利用部分分式分解）。 第7章：定积分及其应用 定积分通过黎曼和的极限来严格定义，强调了其在求面积、体积、弧长等物理量中的作用。本章详细推导了微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），并将其作为定积分计算的核心工具。应用部分涵盖了平面图形面积、旋转体的体积计算，以及物理学中功和质心等概念的积分表达。 第8章：广义积分与反常积分 本章将定积分的概念推广到积分区间为无穷大或被积函数在区间内存在不连续点的情况。我们区分了第一类和第二类反常积分，并引入了判断其收敛性的判别准则（如比较判别法），这对于物理和工程中的瞬态分析至关重要。 第9章：无穷级数基础 本章是微积分向更抽象数学领域过渡的一站。我们从数列极限回顾开始，引入了级数的概念。核心内容包括正项级数的敛散性判别法（比值判别法、根值判别法、积分判别法）。随后，我们讨论了任意项级数的绝对收敛与条件收敛，并给出了莱布尼茨判别法。幂级数的收敛半径和收敛区间是本章的重中之重。 --- 第二部分：线性代数基础篇（第10章至第15章） 本部分旨在培养学生对向量空间、线性变换和矩阵代数的直观理解，为后续的数值计算和数据科学打下基础。 第10章：矩阵及其运算 本章首先介绍了矩阵的定义、分类及基本运算（加法、数乘、乘法）。我们重点分析了矩阵乘法的非交换性及其几何意义。随后，引入了矩阵的转置、逆矩阵的性质，并详细讲解了分块矩阵的运算，这在大型系统建模中非常实用。 第11章：线性方程组与高斯消元法 本章的核心是如何高效求解线性方程组 $Ax=b$。我们详细讲解了初等行变换和行阶梯形矩阵的概念。高斯-约旦消元法被系统地展示，用以判断方程组的解的存在性与唯一性。本章的重点是理解自由变量和基变量，从而写出方程组的通解。 第12章：矩阵的秩与行列式 矩阵的秩是衡量矩阵“信息量”的关键指标。本章通过行阶梯形矩阵确定矩阵的秩。随后，我们引入了行列式的定义（通过代数余子式展开或置换群定义），并严格证明了行列式的基本性质，特别是 $det(AB) = det(A)det(B)$。行列式在求解唯一解线性系统（克莱姆法则）中的应用也被讨论。 第13章：向量空间与子空间 本章是抽象化的开始。我们正式引入了线性空间的公理化定义，并讨论了 $mathbb{R}^n$ 空间中的基本概念：线性组合、线性相关性、线性无关组的极大集合（基）和维数。对于任意给定的向量组，如何判断其是否构成空间的基，是本章的实践目标。 第14章：线性变换与矩阵表示 本章连接了几何直观与代数运算。我们将线性变换定义为其满足加法和数乘的映射。对于任意一个线性变换 $T: V o W$，我们展示了如何在选定基底后，将其表示为一个特定的矩阵 $A$。本章的关键在于理解坐标变换下，线性变换矩阵的变化规律，即相似变换。 第15章：特征值、特征向量与对角化 特征值和特征向量是理解线性系统稳定性和动力学行为的关键。本章通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来确定特征值。我们详细分析了特征向量的意义——它们是线性变换下仅被拉伸而不改变方向的向量。最后，本章讲解了矩阵对角化的充要条件，以及如何利用对角化简化高次幂矩阵的计算，为微分方程组的求解提供代数工具。 --- 教学特色与目标 本书的教学设计遵循“定义 $ ightarrow$ 定理 $ ightarrow$ 证明 $ ightarrow$ 实例”的逻辑链条。每章末尾都附有大量的“概念辨析题”和“计算应用题”，其中部分题目具有较高的综合性和挑战性，旨在培养学生的数学建模和解决实际工程问题的能力。本书力求将枯燥的公式推导与生动的几何图像相结合，确保读者不仅知道“如何做”，更能理解“为何如此”。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满好奇但又容易被复杂概念吓倒的学生，我必须说，《同济大学数学系列教材 高等数学 上册》是我近年来遇到的最棒的学习伙伴。它最让我称赞的一点就是其“温度”。它不是一本冰冷的、只告诉你“是什么”的教材，而是一本能够“引导”你去思考、去理解的教材。在讲解概念时，它总是能找到恰当的类比和例子，将抽象的数学思想具象化，比如在解释导数的几何意义时，它会用生活中的速度变化来类比，让我一下子就能抓住核心。书中的插图和图表设计也十分精巧，它们不仅仅是装饰，更是帮助理解的关键。我常常发现，看一张图比读一页文字更能让我茅塞顿开。而且，教材在对知识点的讲解上，非常有层次感，不会一下子抛出所有信息，而是循序渐进，每一步都扎实。我尤其喜欢它在引入一些高级概念时，都会给出一些“思考题”或者“探索性问题”，鼓励我去主动思考，而不是被动接受。这种教学方式，极大地激发了我的学习兴趣和主动性，让我觉得自己不仅仅是在学习一门课程，更是在进行一次探索。它让我明白了，高等数学并不可怕，关键在于找到正确的打开方式，而这本书，就是我找到的那把“钥匙”。

评分☆☆☆☆☆

说实话，一开始拿到这本《同济大学数学系列教材 高等数学 上册》时，我对它的期望值并不是特别高，毕竟高等数学这门课一直是我心中的一个“坎”。然而，它的内容编排和讲解方式却给了我巨大的惊喜。它真的做到了“授人以渔”，而不是简单地“授人以鱼”。书中对于一些核心概念的剖析，简直是“一针见血”。比如，在阐述微积分的 Fundamental Theorem 时，它不仅仅是给出了定理的陈述和证明，更是深入浅出地解释了它在联系微分和积分之间的桥梁作用，以及它在解决实际问题中的强大力量。通过一些贴近生活的应用案例，比如计算变力做功、求解曲边梯形的面积等，让我深刻体会到微积分不仅仅是理论上的推演，更是解决现实世界问题的有力工具。此外，教材在例题的选择上也颇为用心，既有基础的计算题，帮助我们掌握基本运算，也有一些综合性的题目，需要我们运用所学的多个知识点进行分析和求解。对于那些稍有难度的题目，教材还会给出详细的解题步骤和思路提示，甚至会列出一些常见的错误解法，帮助我们规避陷阱。这种细致入微的教学设计，极大地降低了学习的门槛，让我这个曾经对高等数学“头疼”的学生，逐渐变得得心应手，甚至开始享受解决数学问题的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，我之前对高等数学的印象就是“难”，各种符号和公式把我搞得晕头转向。直到我开始使用这本《同济大学数学系列教材 高等数学 上册》，我的看法才发生了翻天覆地的变化。这本书的文字表述清晰、精准，没有任何冗余的废话，每一个字都直击要点。它在引入新的概念时，非常注重逻辑的连贯性，从最基本的定义出发，一步步推导出更复杂的结论，让我能清楚地看到数学的“生长过程”。例如，它在讲解多元函数时，不仅仅是简单地给出定义，而是会从一元函数开始，层层递进，让我们理解从一维到多维的思维转变。书中对习题的编排也非常合理，从易到难，螺旋式上升，确保我们能扎实地掌握每一个知识点。我尤其喜欢它对于一些经典证明的详细拆解，它会分析证明的每一个步骤，解释为什么需要这么做，以及这个步骤的逻辑依据是什么。这种“刨根问底”的教学方式，让我对数学的理解不再停留在表面，而是能够深入其内在的逻辑结构。它让我明白，数学不仅仅是计算，更是一种严谨的思维方式。现在，我敢于去挑战更复杂的题目，而且在面对一些棘手的问题时，也能找到清晰的思路去解决。

评分☆☆☆☆☆

这套《同济大学数学系列教材 高等数学 上册》真是太对我的胃口了！我一直以来都对数学抱有浓厚的兴趣，但苦于找不到一本能真正引领我深入理解高等数学精髓的教材。市面上很多书要么过于晦涩难懂，要么流于表面，讲不清原理，让我望而却步。直到我遇到了这本，才算是找对了方向。它在概念的引入上非常循序渐进，一点点地铺垫，让我能清晰地看到每个新概念是如何从已有的知识体系中生长出来的。例如，它讲解极限的时候，不是直接给出定义，而是通过一系列生动的例子，让我们感受到极限的必要性和直观含义，然后才引出 epsilon-delta 定义，并且对定义进行了非常详尽的解释，甚至还穿插了不同难度和角度的例题来巩固理解。而且，书中大量的配图和图示，将抽象的数学概念具象化，比如在讲解曲线积分时，那些精美的三维图形，简直是数学的艺术品，让我脑海中对这些概念的形象化理解瞬间清晰了许多。我尤其喜欢它对证明的讲解，不是简单地给出证明过程，而是会分析证明的思路和技巧，引导我们思考“为什么这样做”，而不是死记硬背。这种教学方式，让我感觉自己不再是被动接受知识，而是主动地去探索和发现数学的奥秘，每一次翻阅都像是进行一次智力探险。

评分☆☆☆☆☆

这本《同济大学数学系列教材 高等数学 上册》简直是为我量身定做的“通关秘籍”！作为一个在学习过程中常常会陷入“死胡同”的学生，我需要的不仅仅是知识的堆砌，更重要的是学习方法的引导。这本书在这方面做得非常出色。它在讲解每个新知识点之前，都会先回顾相关的旧知识，建立起知识之间的联系，让我知道“我从哪里来，到哪里去”。这种“温故知新”的设计，避免了知识的碎片化，让我的理解更加系统和牢固。我特别欣赏它在介绍抽象概念时，总是伴随着丰富的图示和几何直观的解释。比如，在讲解向量函数和曲线方程时，那些三维空间的动态图形，让原本抽象的数学描述变得生动形象，我仿佛能够“看到”那个向量在空间中描绘出一条美丽的曲线。同时，教材在引入定理和公式时，也非常严谨，既给出了科学的定义和证明，又辅以通俗易懂的语言解释其内涵和适用范围。我尤其喜欢它在例题讲解中，对于不同解题方法的比较和分析，让我知道“这条路行不通，我们可以试试那条路”，这极大地培养了我的解题思维和灵活性。每一次做完题目，都会有一种“茅塞顿开”的感觉，让我对高等数学的恐惧感逐渐消失，取而代之的是一种征服的快感。

评分☆☆☆☆☆

辅助学习的好教材。

评分☆☆☆☆☆

辅助学习的好教材。

评分☆☆☆☆☆

印刷质量好，例题丰富，容易理解。

评分☆☆☆☆☆

非常不错，值得购买，孩子很喜欢

评分☆☆☆☆☆

买来送给今年刚考上大学的新生，还不错。

评分☆☆☆☆☆

书表面很脏，原本的塑料封装被拆开了，果然又是二手啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

评分☆☆☆☆☆

讲的比绿皮那个简单一些，好用。

评分☆☆☆☆☆

书已收到，看着像是正规书。明后两天给孩子送去

评分☆☆☆☆☆

好，好，一切都很满意，一直都在京东商城买，送货很快，