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张乾二 等 著

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• 有限群
• 群论
• 物理学
• 化学
• 数学
• 代数
• 对称性
• 分子物理
• 晶体学
• 量子力学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030571731

版次：31

商品编码：12350411

包装：平装

开本：16开

出版时间：2018-05-01

页数：221

字数：278000

正文语种：中文

内容简介

《有限群理论基础及其在物理与化学中的应用》根据张乾二院士长期为厦门大学化学系研究生开设的群论课程讲义整理而成。《有限群理论基础及其在物理与化学中的应用》主要介绍有限群的基础知识，特别是群的表示理论、分子对称群、置换群的不可约表示等，还介绍群论在分子轨道理论、晶体结构、分子光谱及基本粒子中的应用。各章均附有习题供读者参考使用。

目录

目录
前言
第1章 群论基础 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 群的定义 1
1.1.2 同构关系 2
1.1.3 子群 5
1.1.4 循环子群 6
1.2 抽象群的结构 6
1.2.1 群的乘法表 6
1.2.2 拉格朗日定理 7
1.2.3 群的陪集分解 7
1.2.4 抽象群结构 8
1.3 群的类分解 10
1.3.1 共轭类 10
1.3.2 类的几何意义 12
1.3.3 共轭子群 13
1.4 商群与同态 14
1.4.1 商群 14
1.4.2 同态 15
1.5 群的直积 16
1.5.1 直积群 16
1.5.2 直积群的类 17
1.6 Cayley定理 17
参考文献 19
习题1 19
第2章 有限群的表示理论 21
2.1 线性向量空间 21
2.1.1 线性向量空间的定义 21
2.1.2 线性相关与空间的维数 22
2.1.3 基向量 (坐标系) 与坐标 23
2.1.4 坐标系变换与坐标变换 26
2.2 线性算子 26
2.2.1 线性算子定义 26
2.2.2 算子作用下的变换 27
2.2.3 坐标变换引起表示矩阵的变化 29
2.2.4 算子的乘法及变换 30
2.2.5 空间的变换与算子作用 31
2.3 群的表示 32
2.3.1 群表示的定义 32
2.3.2 等价表示 33
2.3.3 构造表示的一种方法 37
2.3.4 对称操作作用下的波函数 39
2.3.5 波函数为线性算子的不变子空间 40
2.4 酉空间和酉算子 41
2.4.1 酉空间的定义 41
2.4.2 基向量正交归一 41
2.4.3 基向量的酉变换 42
2.4.4 酉算子 43
2.4.5 酉表示 45
2.5 可约表示的约化及判据 46
2.5.1 可约表示 46
2.5.2 表示的约化 48
2.5.3 约化的充分必要条件 50
2.5.4 Schur引理 51
2.6 正交定理 54
2.6.1 不可约表示正交性 54
2.6.2 不可约表示的特征标 56
2.6.3 特征标的性质 58
2.6.4 应用 60
2.7 正则表示及其分解 62
2.7.1 正则表示 62
2.7.2 正则表示的分解 64
2.7.3 两个表示含有相同的不可约表示 66
2.7.4 构造特征标表 67
2.8 群表示的直积 69
2.8.1 外积 69
2.8.2 内积 72
2.8.3 Clebsch-Gordan系数 75
2.9 投影算子 76
2.9.1 投影算子定义 76
2.9.2 投影算子性质 78
2.9.3 投影算子的意义 78
2.9.4 应用：构造环丙烯基的轨道 79
参考文献 80
习题2 81
第3章 分子对称点群的不可约表示 83
3.1 函数的旋转变换 83
3.2 阿贝尔群的不可约表示 84
3.2.1 循环群 84
3.2.2 V群 86
3.3 Cnv和Dn点群的不可约表示 87
3.3.1 C3v和 D3点群 87
3.3.2 C4v和D4点群 88
3.3.3 Cnv和Dn点群 89
3.4 Cnh和Dnh点群的不可约表示 91
3.5 Dnd点群的不可约表示 93
3.5.1 n为奇数 93
3.5.2 n为偶数 93
3.6 高阶群的不可约表示 95
3.6.1 正四面体群 95
3.6.2 O群与Td群 97
3.6.3 I群和Ih群 99
3.7 C1v和D1h群的不可约表示 100
参考文献 102
习题3 102
第4章 置换群 103
4.1 置换群引论 103
4.1.1 置换群的定义 103
4.1.2 置换群的性质 104
4.2 置换群不可约表示 105
4.2.1 不可约表示分类 105
4.2.2 杨图与杨表 106
4.3 置换群表示的特征标 107
4.3.1 曲长 107
4.3.2 分支定律与特征标 108
4.4 共轭表示 110
4.5 不可约表示的基函数 111
4.6 标准正交矩阵元 112
4.7 标准投影算符与杨算符 115
4.7.1 投影算符和杨算符 115
4.7.2 两个不可约表示的直积 117
4.8 一种新的标准表示矩阵计算方法 118
参考文献 120
习题4 120
第5章 对称性与物质结构 122
5.1 波函数作不可约表示的基 122
5.1.1 波函数可作不可约表示的基函数 122
5.1.2 不可约基函数的构造 123
5.1.3 D3群的不可约基 124
5.2 矩阵元的计算 126
5.2.1 维格讷-埃卡定理 126
5.2.2 矩阵元的约化 127
5.2.3 苯分子能量矩阵的约化 128
5.3 晶体中的空间群 130
5.3.1 晶体的对称性 130
5.3.2 晶体点群 130
5.3.3 晶系与布拉维格子 131
5.3.4 空间群分类与符号 132
5.3.5 等效点系 135
5.3.6 晶体的压电效应 139
5.3.7 晶体相变与对称性 140
5.4 核物理学中的对称性 142
5.4.1 基本作用力 142
5.4.2 同位旋对称性 142
5.4.3 基本粒子和SU3群 145
5.4.4 粒子的多重态 149
参考文献 152
习题5 153
第6章 分子轨道理论中的应用 155
6.1 对称性匹配轨道的构造 155
6.1.1 投影算符构造环丁二烯电子对称轨道 155
6.1.2 休克尔的4n+2规则 156
6.1.3 四次甲基环丁烷 157
6.1.4 萘分子 158
6.2 先定系数法 161
6.2.1 链型分子 161
6.2.2 环形分子 163
6.2.3 四亚甲基环丁烷 165
6.2.4 复杂体系 168
6.3 ABn型分子的对称性匹配轨道和杂化轨道 170
6.3.1 用投影算符获得对称性匹配轨道 171
6.3.2 生成轨道法 173
6.4 群重叠法判断轨道成键性质 174
6.4.1 群重叠法 174
6.4.2 铌团簇成键性质判断 176
6.4.3 复合多面体Fe4S4成键性质判断 178
6.5 前线轨道与分子轨道对称守恒 180
6.5.1 前线轨道理论 180
6.5.2 分子轨道对称守恒原理 181
参考文献 184
习题6 184
第7章 对称性与分子光谱 186
7.1 量子力学本征函数及其对称性 186
7.2 非零矩阵元的检验 187
7.2.1 能量矩阵元 188
7.2.2 光谱跃迁概率 188
7.3 振动模式分析 191
7.3.1 NH3简正振动模式分析 192
7.3.2 BX3简正振动模式分析 193
7.3.3 CO2简正振动模式分析 194
7.4 多原子分子红外和拉曼光谱 197
7.4.1 H2O振动光谱 197
7.4.2 乙烯振动光谱 197
7.4.3 四面体 CH4 振动光谱 199
7.5 电子光谱 201
参考文献 203
习题7 203
附录 205
A 几种常用的矩阵 205
B 群的特征标表 207
C 230 个空间群 211
D 基本粒子的波函数 213
E 部分习题参考答案 214

书名：无限维李群与量子场论 图书简介 本书深入探讨了无限维李群的理论基础，并系统阐述了其在量子场论（QFT）中的核心应用。作为一部面向高年级本科生、研究生及专业研究人员的专业著作，本书旨在构建一个严谨的数学框架，以理解和处理现代物理学中最复杂的理论结构。 全书分为五大部分，共二十章，内容涵盖了从基础分析到前沿课题的广泛领域。 第一部分：无限维李群的数学基础 本部分旨在为理解无限维李群提供必要的数学工具。首先，我们将重新审视有限维李群的结构，重点回顾了李代数的理论，特别是伴随表示、指数映射以及李群与李代数之间的拓扑关系。 随后，焦点转向无限维空间。我们首先探讨巴拿赫空间和希尔伯特空间上的算子理论，特别是紧算子和紧性指标的引入，这对于理解无限维表示的性质至关重要。接着，本书详细介绍了可分（Locally Compact, Separable）拓扑群的概念，并将其推广到更一般的拓扑向量空间上的群结构。 核心内容包括无限维李群的定义：作为光滑流形上的群结构，其上的无穷小变换（无穷小生成元）构成了无限维李代数。我们利用射影极限（Projective Limits）和直和（Direct Sums）来构造具体的无限维李代数，例如Wess-Zumino-Witten（WZW）代数的局部化（Localization）。 此外，对表示论进行了深入的分析。在无限维情境下，传统的有限维表示理论的许多工具不再直接适用。本书侧重于表示的范畴，探讨了张量积、不可约表示的分类问题，以及通过Kac-Moody代数（Kac-Moody Algebras）来理解无限维李群的表示结构。我们详细介绍了权空间分解（Weight Space Decomposition）的推广概念，以及最高权模（Highest Weight Modules）在无限维代数中的构造与性质。 第二部分：共形场论与无限维对称性 在第二部分中，我们将理论与物理应用紧密结合，重点研究共形场论（CFT）中出现的无限维对称性。 我们从二维共形变换群 $ ext{Conf}(mathbb{S}^1)$ 入手，推导出其对应的李代数——Virasoro代数。本书详细推导了Virasoro代数的中心扩张，并清晰地阐述了其在描述二维玻色子场论中的物理意义。 随后，我们将讨论仿射李代数（Affine Lie Algebras），它们是有限维李代数在环 $mathbb{C}[t, t^{-1}]$ 上的张量积，是研究共形场论中更高阶对称性的关键。我们详细分析了仿射李代数的表示理论，包括其 Verma 模、最小权重模以及权重公式的推导。 本部分还涉及WZW 模型的构造。通过引入 Chern-Simons 理论与流形上的纤维丛，我们展示了如何通过规范场论的路径积分形式自然地引出由仿射李代数控制的动力学。通过研究 WZW 模型的共形块（Conformal Blocks）和其满足的差分方程，读者可以直观地理解无限维表示在物理关联函数计算中的作用。 第三部分：量子引力与广义共形代数 第三部分将视角拓展到更高维度的对称性结构，特别是与量子引力理论相关的代数结构。 我们探讨了$W_n$代数及其无穷极限——超共形代数。这些代数在描述超对称共形场论中扮演重要角色。本书详细介绍了 $W_n$代数的生成元和基本对易关系，并讨论了它们与Schur代数之间的联系。 在量子引力背景下，我们引入了可微结构的概念，探讨如何用无限维李群来描述背景时空的无穷小形变。重点分析了Diffeomorphism Group（微分同胚群）的结构，以及在共度规规范下，该群的表示在黑洞热力学和信息悖论中的潜在意义。 本部分还包括对广义Kac-Moody代数的初步介绍，这些代数源于更一般的李双代数结构，为研究非阿贝尔规范理论的极限情况提供了理论框架。 第四部分：规范场论中的无限维对称性 本部分聚焦于规范场论（Gauge Theory）中的无限维结构，特别是杨-米尔斯理论的背景。 我们从经典的杨-米尔斯场论出发，讨论了其规范不变性——这本质上是作用在无穷维函数空间上的一个李群的对称性。重点分析了无穷小规范变换所对应的李代数，即无穷维阿贝尔化（Affine Symmetries）在场论中的体现。 在量子化过程中，Faddeev-Popov 鬼场（Ghosts）的引入，直接与对规范群的“切片”（slicing）操作相关联。本书从代数角度阐释了为何需要引入这些非物理的自由度，它们实际上是保证路径积分对规范变换下不变量性的结构性补偿，这些结构与无穷维李群的划分函数（Partition Function）的正则化密切相关。 此外，我们考察了Gauged WZW 模型，即在有限维规范群下对 WZW 模型进行规范化处理的理论。这有助于理解规范理论中存在的手征性（Chirality）和拓扑荷（Topological Charge）是如何由无限维对称性严格约束的。 第五部分：应用与展望 最后一部分讨论了无限维李群理论在更广泛物理学和数学分支中的应用与未来研究方向。 在凝聚态物理中，我们探讨了拓扑超导体和分数霍尔效应中出现的非阿贝尔统计现象。这些现象通常与某些张量网络（Tensor Networks）的边界自由度相关联，这些自由度可以被无限维的准粒子激发所描述，其对称性遵循特定的无限维代数。 在弦论和M理论中，无限维对称性占据核心地位。本书简要概述了弦论中共形场论的紧致化如何自然地生成了无限维李群的表示。此外，对AdS/CFT 对应的讨论中，我们强调了半经典极限下，引力侧的微分同胚群与共形场论侧的共形代数之间存在的深刻对偶关系。 最后，本书对非交换几何与无限维李群的交汇点进行了展望，讨论了如何使用无限维李群的表示来构造新的非交换时空模型，并探讨了当前研究中尚未解决的关键问题，例如如何对非紧致无限维李群的表示进行完备的谱分析。 本书的编写风格力求严谨而清晰，数学推导详尽，同时尽可能提供清晰的物理背景和直观解释，旨在成为该领域内一本全面且富有启发性的参考书。

评分☆☆☆☆☆

关于习题设置，这本书的处理方式体现了其深刻的学术倾向。习题并非是为了简单测试读者是否记住了定义，而是大量地集中在对既有理论的延伸、变体的探讨，以及对更深层次结构性质的探索上。有些题目本身就相当于一个小型理论探讨，需要读者独立地运用已学知识进行构造性的思考。这对于培养独立的数学思维能力极为有益，因为它强迫你从被动接受知识转变为主动构建知识。然而，对于那些急需在短时间内掌握基础应用技巧的人来说，这种高强度的、偏向于证明和构造的习题集可能会带来不小的挫败感，因为答案和详细解题步骤似乎并不容易获取，这更像是为研究生或专业研究人员准备的深入研习材料。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计非常引人注目，那种深沉的蓝色调配上烫金的字体，透露出一种经典而又不失现代感的学术气息。拿到手里的时候，首先感觉到的是它厚实的质感，这让我对其中内容的深度有了初步的期待。我个人认为，一本好的数学理论书籍，其物理呈现的质感也是非常重要的，它能给读者带来一种庄重感和阅读的仪式感。内页的纸张选择也相当不错，触感柔和，墨水排版清晰，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。尤其值得一提的是，书中的图表和公式的排版，逻辑性极强，层次分明，这对于理解复杂概念是至关重要的。比如，某些抽象的结构图示，如果排版不当，很容易让人望而却步，但这本书在这方面做得非常出色，每一个符号和线条似乎都经过了精心考量，体现了制作者对读者的尊重。

评分☆☆☆☆☆

在阅读过程中，我注意到作者似乎有意保持了一种超然于具体学科应用之上的视角。虽然标题提到了某些应用领域，但在理论推导的主体部分，几乎看不到任何与物理或化学模型相关的实例分散其间。这种做法的优点是保持了数学论证的纯粹性和连贯性，避免了理论阐述被具体的物理图像打断。缺点也显而易见，对于初学者，尤其是那些更偏向实验科学背景的读者，可能会觉得这些抽象的结构缺乏直观的参照物，难以建立“这是用来干什么的”的初步印象。因此，这本书更像是理论的“蓝图”，需要读者自己去探索如何将这些强大的工具投射到具体的物理或化学场景中去。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格极其严谨，它没有采取那种试图用通俗语言“软化”数学概念的做法，而是直接深入到理论的核心。对于一个习惯于从应用切入的学习者来说，一开始可能会觉得有些“硬”，需要花费更多的时间去适应其逻辑跳跃性。然而，一旦跨过了最初的门槛，你会发现这种直击本质的叙述方式效率极高。作者似乎预设了读者具备一定的代数基础，因此在引言部分没有做过多的回顾，而是迅速展开了群论的基本定义和公理系统。我特别欣赏作者在论证过程中所展现出的那种“外科手术般”的精确性，每一个定理的证明步骤都无可挑剔，逻辑链条完整无瑕。这种纯粹的数学论证，对于想要真正掌握理论精髓的人来说，是不可替代的财富。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书在构建知识体系的层次感上做到了极致的渐进。它并非简单地罗列定理和定义，而是通过一系列精心设计的“模块”来搭建整个理论框架。从最基础的群、子群、陪集，到更高级的同态、同构，再到对特定结构（如可解群、单群）的深入剖析，每一步都像是为下一阶段的深入学习打下了坚实的基石。这种结构安排的好处在于，即使中间遇到难点卡住，回溯到前一个模块进行巩固也相对容易，因为模块之间的内在联系被作者刻画得非常清晰。它鼓励读者去理解“为什么”要引入某个概念，而不是仅仅“是什么”，这使得学习过程更具有启发性，而不是死记硬背。