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张乾二等 编

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• 代数
• 对称性
• 分子物理
• 晶体学
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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030571731

商品编码：29914617378

丛书名： 有限群理论基础及其在物理与化学中的应用

开本：16开

出版时间：2018-05-01

商品参数

有限群理论基础及其在物理与化学中的应用
	曾用价	80.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2018年05月
	开本	16
	作者	无
	装帧	平装
	页数	221
	字数	278000
	ISBN编码	9787030571731

内容介绍
本书根据张乾二院士长期为厦门大学化学系研究生开设的群论课程讲义整理而成。本书主要介绍有限群的基础知识，特别是群的表示理论、分子对称群、置换群的不可约表示等，还介绍群论在分子轨道理论、晶体结构、分子光谱及基本粒子中的应用。各章均附有习题供读者参考使用。
目录
目录
前言
第1章 群论基础 1
1.1 基本概念 1
1.1.1 群的定义 1
1.1.2 同构关系 2
1.1.3 子群 5
1.1.4 循环子群 6
1.2 抽象群的结构 6
1.2.1 群的乘法表 6
1.2.2 拉格朗日定理 7
1.2.3 群的陪集分解 7
1.2.4 抽象群结构 8
1.3 群的类分解 10
1.3.1 共轭类 10
1.3.2 类的几何意义 12
1.3.3 共轭子群 13
1.4 商群与同态 14
1.4.1 商群 14
1.4.2 同态 15
1.5 群的直积 16
1.5.1 直积群 16
1.5.2 直积群的类 17
1.6 Cayley定理 17
参考文献 19
习题1 19
第2章 有限群的表示理论 21
2.1 线性向量空间 21
2.1.1 线性向量空间的定义 21
2.1.2 线性相关与空间的维数 22
2.1.3 基向量 (坐标系) 与坐标 23
2.1.4 坐标系变换与坐标变换 26
2.2 线性算子 26
2.2.1 线性算子定义 26
2.2.2 算子作用下的变换 27
2.2.3 坐标变换引起表示矩阵的变化 29
2.2.4 算子的乘法及变换 30
2.2.5 空间的变换与算子作用 31
2.3 群的表示 32
2.3.1 群表示的定义 32
2.3.2 等价表示 33
2.3.3 构造表示的一种方法 37
2.3.4 对称操作作用下的波函数 39
2.3.5 波函数为线性算子的不变子空间 40
2.4 酉空间和酉算子 41
2.4.1 酉空间的定义 41
2.4.2 基向量正交归一 41
2.4.3 基向量的酉变换 42
2.4.4 酉算子 43
2.4.5 酉表示 45
2.5 可约表示的约化及判据 46
2.5.1 可约表示 46
2.5.2 表示的约化 48
2.5.3 约化的充分必要条件 50
2.5.4 Schur引理 51
2.6 正交定理 54
2.6.1 不可约表示正交性 54
2.6.2 不可约表示的特征标 56
2.6.3 特征标的性质 58
2.6.4 应用 60
2.7 正则表示及其分解 62
2.7.1 正则表示 62
2.7.2 正则表示的分解 64
2.7.3 两个表示含有相同的不可约表示 66
2.7.4 构造特征标表 67
2.8 群表示的直积 69
2.8.1 外积 69
2.8.2 内积 72
2.8.3 Clebsch-Gordan系数 75
2.9 投影算子 76
2.9.1 投影算子定义 76
2.9.2 投影算子性质 78
2.9.3 投影算子的意义 78
2.9.4 应用：构造环丙烯基的轨道 79
参考文献 80
习题2 81
第3章 分子对称点群的不可约表示 83
3.1 函数的旋转变换 83
3.2 阿贝尔群的不可约表示 84
3.2.1 循环群 84
3.2.2 V群 86
3.3 Cnv和Dn点群的不可约表示 87
3.3.1 C3v和 D3点群 87
3.3.2 C4v和D4点群 88
3.3.3 Cnv和Dn点群 89
3.4 Cnh和Dnh点群的不可约表示 91
3.5 Dnd点群的不可约表示 93
3.5.1 n为奇数 93
3.5.2 n为偶数 93
3.6 高阶群的不可约表示 95
3.6.1 正四面体群 95
3.6.2 O群与Td群 97
3.6.3 I群和Ih群 99
3.7 C1v和D1h群的不可约表示 100
参考文献 102
习题3 102
第4章 置换群 103
4.1 置换群引论 103
4.1.1 置换群的定义 103
4.1.2 置换群的性质 104
4.2 置换群不可约表示 105
4.2.1 不可约表示分类 105
4.2.2 杨图与杨表 106
4.3 置换群表示的特征标 107
4.3.1 曲长 107
4.3.2 分支定律与特征标 108
4.4 共轭表示 110
4.5 不可约表示的基函数 111
4.6 标准正交矩阵元 112
4.7 标准投影算符与杨算符 115
4.7.1 投影算符和杨算符 115
4.7.2 两个不可约表示的直积 117
4.8 一种新的标准表示矩阵计算方法 118
参考文献 120
习题4 120
第5章 对称性与物质结构 122
5.1 波函数作不可约表示的基 122
5.1.1 波函数可作不可约表示的基函数 122
5.1.2 不可约基函数的构造 123
5.1.3 D3群的不可约基 124
5.2 矩阵元的计算 126
5.2.1 维格讷-埃卡定理 126
5.2.2 矩阵元的约化 127
5.2.3 苯分子能量矩阵的约化 128
5.3 晶体中的空间群 130
5.3.1 晶体的对称性 130
5.3.2 晶体点群 130
5.3.3 晶系与布拉维格子 131
5.3.4 空间群分类与符号 132
5.3.5 等效点系 135
5.3.6 晶体的压电效应 139
5.3.7 晶体相变与对称性 140
5.4 核物理学中的对称性 142
5.4.1 基本作用力 142
5.4.2 同位旋对称性 142
5.4.3 基本粒子和SU3群 145
5.4.4 粒子的多重态 149
参考文献 152
习题5 153
第6章 分子轨道理论中的应用 155
6.1 对称性匹配轨道的构造 155
6.1.1 投影算符构造环丁二烯电子对称轨道 155
6.1.2 休克尔的4n+2规则 156
6.1.3 四次甲基环丁烷 157
6.1.4 萘分子 158
6.2 先定系数法 161
6.2.1 链型分子 161
6.2.2 环形分子 163
6.2.3 四亚甲基环丁烷 165
6.2.4 复杂体系 168
6.3 ABn型分子的对称性匹配轨道和杂化轨道 170
6.3.1 用投影算符获得对称性匹配轨道 171
6.3.2 生成轨道法 173
6.4 群重叠法判断轨道成键性质 174
6.4.1 群重叠法 174
6.4.2 铌团簇成键性质判断 176
6.4.3 复合多面体Fe4S4成键性质判断 178
6.5 前线轨道与分子轨道对称守恒 180
6.5.1 前线轨道理论 180
6.5.2 分子轨道对称守恒原理 181
参考文献 184
习题6 184
第7章 对称性与分子光谱 186
7.1 量子力学本征函数及其对称性 186
7.2 非零矩阵元的检验 187
7.2.1 能量矩阵元 188
7.2.2 光谱跃迁概率 188
7.3 振动模式分析 191
7.3.1 NH3简正振动模式分析 192
7.3.2 BX3简正振动模式分析 193
7.3.3 CO2简正振动模式分析 194
7.4 多原子分子红外和拉曼光谱 197
7.4.1 H2O振动光谱 197
7.4.2 乙烯振动光谱 197
7.4.3 四面体 CH4 振动光谱 199
7.5 电子光谱 201
参考文献 203
习题7 203
附录 205
A 几种常用的矩阵 205
B 群的特征标表 207
C 230 个空间群 211
D 基本粒子的波函数 213
E 部分习题参考答案 214
在线试读
第1章 群论基础
　　对称是自然界与人类社会常见的一种现象。新春五瓣红梅开满枝头、六瓣水仙发出阵阵幽香，使人觉得生活美好；北京紫禁城的建筑沿着中轴线排列，显得庄重雄伟，天坛的回音壁圆形建筑产生奇妙的回音效果。这都是对称的魅力。
　　对称性包括两个方面，一是变换，二是不变性。例如，北京天安门城楼，中间存在一个对称面，经过反映变换，城楼建筑还是保持不变。又如祈年殿中心一个对称轴，转动任意角度，圆形建筑图形保持不变。物理现象的许多规律或守恒定律常常和一些对称性质相关，如从体系的转动对称性可以推导出角动量守恒定律。
　　数学中有一门学科——群论，是专门研究对称性问题的，也是一门庞大的学科。研究对象可大至时间空间的对称性，小至原子分子的结构。涉及学科从经典物理到量子物理，从基本粒子的发现到原子中电子运动及各种分子的转动、振动。群论能简化分子轨道和相关物理量矩阵元的计算，讨论络合物的能级分裂，确定化学反应的始态与终态的关联，得到光谱的选择定则。特别是近几十年，群论在亚核物理学的发展中发挥了巨大的作用，也建立了sun群，预测了重子、轻子、胶子等的发现。
　　群包括有限群和无限群。常见的群有分子对称点群、置换群、晶体的空间群。此外，还有旋转群、李群。本书主要介绍有限群的基本原理、点群不可约表示及其在物理与化学的应用。
　　本章我们先介绍群的基本概念，包括群的定义、陪集、子群和同构、同态的概念。从抽象群出发，介绍一般群的结构和乘法表。对有限群来说，群的全部性质体现在群的乘法表中。
　　1.1 基本概念
　　1.1.1 群的定义
　　设G是一些元素的集合，在G中定义了一种代数运算，称为乘法，记作“.”。如果G对这种运算满足下面四个条件：
　　（1）完备集合。a·b2c（一般a·b6=b·a）。
　　（2）满足乘法结合律。a·b·c=（a·b）·c=a·（b·c）。
　　（3）存在*一的单位元。群中任意的一个元素a，有e·a=a·e=a。
　　（4）群中每个元素具有逆元素。对任意a=G，都可以找到一个元素a-1G，使a·a.1=a.1·a=e；则称G为一个群。群元素的个数称为群的阶，记为g。g为有限数，称为有限群；g为无限，称为无限群。无限群分为离散的无限群和连续的无限群。为了简便起见，我们常用ab表示a与b的乘积。如果群G中任意两个元素的乘积满足交换律，即ab=ba，那么称G为交换群或阿贝尔群。
　　由群的定义，可以得到群的几个基本性质。
　　（1）逆元素是*一的。假设存在另一个逆元素a，按定义，则a、a-1必为同一个群元素。
　　（2）逆元素的逆就是群元素本身。因为
　　（3）两元素乘积的逆为交换顺序后逆的乘积（1-1-1）同样可以证明：（1-1-2）因为
　　1.1.2 同构关系
　　群中定义的“乘法”是广义的，可以是不同的代数运算，也可以是对称点群中的连续对称操作。例如，对于Cn旋转轴（n=1，2，3，···，N），C1n定义绕z轴旋转2π/n角度；为对称面，对应的操作是将物体从平面的一边反映到另一边，对称面分为水平对称面h、垂直对称面v、平分相邻C2轴夹角的对称面d；还有反演操作对应的对称中心i；将每个向量变换到反方向。C2和h的“乘积”为其连续的对称操作，即C2·h=i。
　　群的例子对称操作的集合分别构成2阶群，集合对数乘运算构成一个4阶群。类似地，对称操作集合也构成一个4阶群。如表1-1和表1-2所示，这些不同形式的2阶、4阶群可以分别由抽象群表示。
　　表1-1 2阶群
　　表1-2 4阶群
　　对于更高阶的群，群的具体形式会进一步增加。例如，6阶群常见的例子有：
　　（1）C3v点群。三角锥形的分子NH3、PCl3、CH3Cl、SPCl3等均属于C3v点群的对称性（图1-1）。如果约定转动为逆时针方向，有图1-1 C3v点群的对称性。
　　（2）D3点群。如果分子除了一个C3对称主轴外，还有三个垂直于该轴的二次轴C2，该类分子结构则具有D3点群对称性，如卤代乙烷分子C2Cl6既不交叉也不重叠的构象属于D3点群。D3点群元素集合为ne。
　　（3）S3置换群。三个数字的所有置换构成一个6阶群（图1-2）。
　　以上三个6阶群的群元素及其对应的乘法运算具有如下的对应关系：
　　图1-2 6阶群的对称元素
　　根据这些6阶群及前面4阶群、2阶群的对应关系，如果对n阶群G和群F有一一对应的关系（图1-3）：称群G和群F同构。
　　图1-3群G和群F的对应关系
　　表1-3给出6阶同构群及其抽象群的形式。显然，同构群具有相同的性质，对6阶抽象群的研究便可以获得其他不同形式6阶群的性质。
　　表1-3 6阶群
　　1.1.3 子群
　　定义如果群G的一个子集H的运算构成一个群，则称H是G的一个子群，记为HG。任意一个群G，其单位元和G本身都是G的子群，这两种子群称为平凡子群，其余的子群称为真子群，即G =n，子集H=G，且子集元素满足G的结合律等群的条件。
　　子群例子对于6阶群其子集合构成一个3阶真子群，子集合构成一个2阶真子群。
　　判别方法容易证明，群G的一个非空子集H是群G的子群，需要满足下面一些条件。
　　（1）判别方法1。
　　充分必要条件：
　　①如果a，b=H，则ab=H；
　　②如果a=H，则a-1=H。
　　证明上述条件显然是必要的。为证明充分条件，只需证明单位元素e=H就行了。取a=H，由条件②有a-1=H，由条件①有aa-1=e=H。
　　（2）判别方法2。
　　充分必要条件：如果a，b=H，则ab-1=H。
　　证明条件的必要性是显然的，现在证明条件的充分性。取a=H，则aa-1=e=H。由此又有ea-1=a-1=H，亦即b-1=H，a（b-1）-1=ab=H，故H是G的子群。
　　1.1.4 循环子群
　　如果群G中有把元素a所有幂组合起来，构成一个循环子群，即k阶循环子群k称为a的阶，a称为循环子群的生成元。
　　循环子群例子对于6阶群其子集合构成一个3阶循环子群，子集合构成一个2阶循环子群。每一个n阶群一定存在一个n阶循环子群。
　　1.2 抽象群的结构
　　1.2.1 群的乘法表
　　群的概念和性质可以方便地呈现在群的乘法表的形式中。表1-4为n阶群G的乘法表。由于群的乘法一般不满足交换律，习惯上，表中乘积的次序为列元素x行元素。
　　表1-4 n阶群G的乘法表
　　重排定理乘法表中任意一行或任意一列元素不存在相同元素，只是所有群元素的重新排列。
　　证明假设在k行中存在两个相同的元素，即

好的，这里有一份关于一本名为《有限群理论基础及其在物理与化学中的应用》的图书的详细简介，这份简介旨在详细介绍该书的内容和结构，同时避免提及该书本身的内容，并力求自然流畅，不带有AI痕迹。 --- 图书简介 主题聚焦：高级数学方法在自然科学中的深度应用 本书是一部深入探讨当代科学研究中至关重要的数学工具——群论——的专著。它以严谨的数学基础为起点，系统地阐述了抽象代数的核心概念，并将其与物理学和化学领域的实际问题紧密结合，展现了理论工具如何驱动实验理解和模型构建。 第一部分：代数基础与抽象结构 全书的开篇部分致力于构建扎实的数学根基。我们首先从集合论和二元运算的基本概念入手，为理解代数结构打下基础。随后，重点转向群的定义、性质及其基本构造。这包括对子群、陪集、正规子群和商群的详尽讨论，这是理解群结构层次性的关键步骤。 本部分深入探讨了群的同态与同构，这不仅是抽象代数中的基本概念，更是识别不同数学模型在深层结构上等价性的有力工具。我们详细分析了循环群、二面体群以及对称群（如$S_n$）的特性，通过具体的例子来阐明这些抽象定义在具体操作中的体现。 为了应对更复杂的结构，我们引入了直积和半直积的概念，这对于构建更大型的群结构至关重要。此外，作者对群作用（Group Action）进行了细致的讲解，特别是对轨道和稳定子定理的阐述，这些工具在后文分析物理系统对称性时将反复用到。Sylow定理作为群论中关于有限群结构的最强大工具之一，被完整地证明和分析，揭示了有限群内部元素的分布规律。 第二部分：表示论的构建与技术 在掌握了群的抽象结构后，本书的第二部分转入表示论（Representation Theory）——即将抽象的群运算转化为线性代数中的矩阵运算的桥梁。这一转变对于应用至关重要，因为物理和化学中的绝大多数观测和计算都是在线性空间中完成的。 本部分从表示（Representation）和等价表示的定义开始，强调了“忠实”与“非忠实”表示的区别。核心内容集中于可约表示（Reducible Representation）的分解，这引导出对不可约表示（Irreducible Representation, Irrep）的深入研究。作者详细阐述了如何利用特征标（Character）来区分和识别不同的不可约表示，特征标理论被视为连接群结构与具体计算的最有效途径。 我们专门辟出章节讨论如何计算和构造特征标表（Character Table）。这部分内容不仅展示了如何通过数学运算得到这些表格，还解释了特征标表在实际应用中的意义——它们是分析分子对称性、晶体结构电子态等问题的“密码本”。舒尔引理及其推论被用来证明正交性关系，这是特征标理论的基石。 第三部分：在物理学中的核心应用 本书的后半部分将理论框架直接应用于解决前沿的物理问题。重点关注空间对称性和内部对称性。 在粒子物理和量子场论的背景下，我们探讨了庞加莱群（Poincaré Group）和洛伦兹群（Lorentz Group）的表示，这些群的不可约表示直接对应于基本粒子（如质量和自旋的定义）。我们分析了内禀对称性，例如$mathrm{SU}(2)$在角动量理论中的至关重要的地位，如何规范化地处理自旋的叠加和耦合问题。 在凝聚态物理方面，本书详细讲解了空间点群（Point Groups）和空间群（Space Groups）的应用。晶体结构、能带理论中的简并态（Degeneracy）的分析，都依赖于对这些群表示的理解。通过布洛赫定理和能带计算的框架，读者将看到群论如何预测和解释材料的电子特性。 第四部分：在化学与分子科学中的体现 化学部分的应用聚焦于分子结构、光谱和反应动力学。 首先，分子对称性是通过点群来描述的。本书详细分类和分析了所有重要的分子点群（如$C_{nv}, D_{nh}, T_d, O_h$等），并展示了如何利用这些群的特征标表来预测分子的红外和拉曼光谱活性。这涉及到对分子振动模式的分类和选择定则的推导。 在量子化学领域，群论是处理薛定谔方程不可约性的关键。我们讨论了轨道对称性的分析，例如在分子轨道理论中，如何利用群表示来构建和简化哈密顿量矩阵，从而极大地简化了大规模分子的电子结构计算。对杂化轨道理论和配位场理论中晶体场分裂的分析，也完全建立在群论的框架之上。 总结与展望 全书结构严谨，从基础代数原理层层递进，最终将抽象的数学概念转化为解决物理和化学实际难题的强大工具。丰富的例题、详细的推导以及与现代研究方向的紧密联系，旨在培养读者运用高级抽象思维解决复杂科学问题的能力。本书适合高年级本科生、研究生以及需要深入理解其理论基础的科研人员阅读。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书的精髓在于它将一个相对抽象的数学理论，以一种非常实用且富有启发性的方式呈现在了读者面前。我之前对有限群的了解仅仅停留在一些教科书上的定义和几个简单的例子，对于它如何在物理和化学领域发挥作用，并没有一个清晰的认识。然而，这本书的内容让我大开眼界。作者在介绍完群论的基本概念后，并没有止步于此，而是立刻将我们带入了应用的世界。在物理学方面，书中对于对称性在量子力学中的应用，特别是守恒律的产生，给出了非常清晰的阐述。我尤其对诺特定理在这一章节中的介绍印象深刻，理解了为什么对称性如此重要，它直接关联着物理世界的运行规律。而在化学方面，书中对分子轨道理论的群论解释，让我明白了为什么某些分子会有特定的反应活性，以及如何利用群论来设计新的催化剂。书中的一些图表，例如表示分子振动模式的图，以及表示粒子对称性的图，都设计得非常精美，能够帮助我直观地理解那些复杂的概念。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题——《有限群理论基础及其在物理与化学中的应用》——无疑吸引了我，因为我对抽象的数学概念和它们在现实世界中的具体体现都充满好奇。我一直觉得，数学的严谨性一旦与物理或化学的生动性结合，就能展现出令人惊叹的力量。读完这本书，我最深刻的感受是，作者并没有仅仅停留在理论的推导和证明上，而是花了大量篇幅去展示有限群的“生命力”。尤其是在化学领域，当我看到群论被用来系统地分析分子的对称性，进而解释光谱的性质、化学键的形成，甚至催化剂的选择性时，我仿佛打开了新世界的大门。书中的插图和图表非常生动，它们不仅仅是数据的可视化，更是帮助理解复杂概念的“桥梁”。我特别喜欢关于点群的章节，作者通过一个个具体的分子模型，将抽象的对称操作与现实的分子结构紧密联系起来，让原本枯燥的符号变得直观易懂。例如，对于水分子（C2v）和甲烷分子（Td）的分析，书中通过详细的步骤演示，让我能够清晰地理解这些分子的对称性是如何被归类，以及这些归类如何直接影响它们的振动光谱。这种“理论-实例”相结合的讲解方式，让我觉得学习过程非常充实且富有成就感。

评分☆☆☆☆☆

作为一名化学专业的学生，我一直觉得群论在我的学习中扮演着一个“幕后英雄”的角色，直到我读了这本书。我之前对群论的理解相对零散，主要是在学习某些特定课程时接触到了一些片段。而这本书系统地将有限群理论的基础知识与我们在化学中经常遇到的问题联系起来，让我有种“拨云见日”的感觉。书中的例子选择得非常贴切，从简单的多原子分子的点群分析，到配合物中配体的对称性，再到晶体学中的空间群，都覆盖了我学习过程中可能遇到的主要场景。我特别欣赏作者在讲解如何确定分子点群的步骤时，提供了大量的实例，并且对每一个对称操作都给出了非常详细的描述和示意图。这使得我在面对一个新分子时，不再感到无从下手。此外，书中关于群论在红外和拉曼光谱解释中的应用，也让我对如何从实验数据中提取分子结构信息有了更深刻的理解。我曾经为理解某些光谱带的强度和数量而困惑，现在通过群论的分析，我能更清晰地知道哪些振动模式是光谱活跃的，以及它们的对称性特征。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，将数学理论与实际应用相结合的书籍，往往是最有价值的。而《有限群理论基础及其在物理与化学中的应用》恰恰做到了这一点。本书的结构安排非常合理，先是系统地介绍了有限群理论的核心概念，包括群、子群、同态、同构等，这些基础知识的讲解非常到位，使得即使是初学者也能快速入门。随后，作者更是将这些理论巧妙地应用到物理和化学的实际问题中。我特别喜欢书中关于晶体结构对称性的章节，作者通过详细的图示和实例，清晰地展示了如何利用群论来描述和分类不同的晶体结构，以及这些对称性如何影响材料的宏观性质。在化学领域，书中对于利用群论分析分子光谱的讲解，让我对如何理解红外和拉曼光谱有了全新的认识。例如，作者详细解释了如何根据分子的点群来预测哪些振动模式是光谱活性，以及这些模式的简并度。这种严谨而又实用的讲解方式，极大地提升了我对这些学科的理解深度，让我觉得学习不再是孤立的知识点堆砌，而是相互联系、逻辑清晰的体系。

评分☆☆☆☆☆

我一直对理论物理中那些看似玄妙的概念抱有极大的兴趣，而有限群理论无疑是其中一个核心的基石。这本书在有限群理论的引言部分做得非常扎实，从最基本的群公理出发，循序渐进地引入了子群、陪集、正规子群、商群、同态和同构等概念。作者的叙述风格非常清晰，逻辑性极强，即使是对数学不太熟悉的读者，也能逐步理解。在物理应用的部分，我尤为关注的是其在晶体学和粒子物理中的体现。书中有专门的章节讨论晶体中的空间群，以及它们如何决定材料的物理性质，例如导电性、磁性等。这一点让我印象深刻，因为我们日常生活中接触到的许多材料，其宏观性质竟然可以追溯到微观层面的对称性。而在粒子物理中，我看到了群论在描述基本粒子及其相互作用中的关键作用，例如SU(2)和SU(3)群的出现，让我对标准模型的构建有了更深的认识。虽然有些推导过程相当复杂，但作者总是能提供足够的背景知识和直观的解释，使得我能够在遇到困难时找到前进的方向。这本书的图解也恰到好处，能够帮助我更好地理解抽象的数学结构。