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内容简介

　　《现代数学基础：索伯列夫空间》作为一本研究生教材或参考书，较系统地介绍了各向同性的整指数（整数阶）索伯列夫（Sobolev）空间，实指数（分数阶）Sobolev空间，关于x与t异性的Sobolev空间，Morrey空间、Campanato空间和BMO空间。书中内容深入浅出，文字通俗易懂，并配有适量难易兼顾的习题。《现代数学基础：索伯列夫空间》可作为微分方程、动力系统、泛函分析、计算数学与相关理工科专业研究生的教材和教学参考书，亦可作为数学、工程等领域的青年教师和科研人员的参考书。

内页插图

目录

前言
第一章 预备知识
1.1 若干记号
1.2 几个初等不等式
1.3 空间Lρ（Ω）
1.3.1 几个常用不等式
1.3.2 完备性，Lρ（Ω）与L∞（Ω）之间的关系
1.3.3 整体连续性
1.3.4 可分性、一致凸性与自反性
1.4 H61der空间
1.5 磨光
1.6 空间Lρ（Ω）的紧性
1.7 截断与分解
1.8 弱导数
习题
第二章 各向同性的整指数S0bolev空间
2.1 定义和初等性质
2.2 逼近
2.2.1 用光滑函数局部逼近
2.2.2 用光滑函数整体逼近
2.2.3 用整体光滑函数逼近
2.3 延拓
2.4 边界迹和迹定理
2.5 空间W1ρ（Ω）的基本性质
2.5.1 复合函数的性质
2.5.2 水平函数的性质
2.5.3 差商和空间W1ρ（Ω）
2.5.4 Lipschitz函数和空间W1∞（Ω）
2.6 sobolev不等式和Morrey不等式
2.6.1 Sobolev不等式
2.6.2 Morrey不等式
2.6.3 Morrey空间，Riesz位势与H61del，连续函数
2.7 空间Wkp（Ω）中的嵌入定理
2.8 空间Wkp（Ω）中的紧嵌入定理
2.9 Poincar6不等式
2.10 迹定理（续）
2.11 内插不等式，Wkp（Ω）中的等价范数
2.12 空间H-1（Ω）的刻画
2.13 嵌人定理的补充和反例
2.13.1 集合的光滑性
2.13.2 一般开集情形的嵌入定理
2.13.3 反例
2.14 作为Banactl代数的空间□
2.15 关于嵌入常数的补充
习题
……
第三章 各向同性的实指数S0bolev空间
第四章 Morrey空间，Campanat0空间和BM0空间
第五章 关于z与t异性的S0bolev空间
附录 实变函数与泛函分析中的一些基本结论
参考文献
索引

前言/序言

　　作为一本研究生教材或教学参考书，本书较系统地介绍了各向同性的整指数（整数阶）索伯列夫（Sobolev）空间，实指数（分数阶）Sobolev空间，关于x与t异性的Sobolev空间，Morrey空间、Campanato空间和BMO空间。
　　Sobolev空间是由多个实变量弱可微函数组成的一些特殊可积空间的统称，它们都是Banach空间，虽然这些空间的原型早已出现，但对其进行系统研究并使之成为一套理论，是20世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev完成的。Sobolev空间理论不但是一个非常有趣的数学分支，其重要性是它在其他数学分支中的应用。它不仅是偏微分方程近代理论的基础，也是与分析学相关的其他数学分支的重要基础和必备工具，是与分析学相关的各研究方向的研究生必修课，
　　所谓Sobolev空间理论，就是研究这些函数空间的基本性质：自反性、可分性、稠密性（逼近）、延拓、嵌入定理、内插不等式和边界迹（迹定理），而嵌入定理则是其核心内容，
　　本书的定位是为研究生和青年学者提供一本Sobolev空间理论的基础教材和参考书，力求用较短的篇幅，集中介绍那些业已证明的最常用而又最重要的内容。由于偏微分方程是推动Sobolev空间理论发展的主要动力，本书的选材侧重于在偏微分方程的研究中应用较多的内容。Sobolev空间有许多重要的推广，除了第四章的Morrey空间、Campanato空间和BMO空间之外，本书没有涉及Sobolev空间的其他推广，如Lions的迹空间、Besov空间、Orlicz空间、Orlicz-Sobolev空间、BV空间、Lorentz空间等。有兴趣的读者可以参见R。A。Adams的专著及R.A.Adams和J.J.F.Fournier的专著。
　　本书的第一章是预备知识。首先介绍若干记号和几个重要的初等不等式。由于Lp空间和Holder空间是两个最简单和最基本的Sobolev空间，也是建立其他类型的Sobolev空间的基础，所以在1.3节和1.4节，我们复述这两个空间的基本性质。Sobolev空间中许多重要性质（估计，不等式等）的推导，大多都是先针对“陛质较好”的函数（光滑函数），而后利用逼近（稠密性）过渡到原来的函数，因而逼近是Sobolev空间研究中的一个常用方法，把一个函数磨光，是用光滑函数逼近一般可积函数的有效途径，本章的1.5节介绍磨光函数及其性质。截断方法是把问题局部化的一个重要手段，它既能有效地保留原问题的局部性质，又能避免邻域外各种因素的影响，把问题局部化以后，往往还需要把局部结果整合以得到整体结果，而单位分解就是整合局部到整体的一个重要方法。在第1.7节，我们介绍截断与单位分解。Sobolev空间中出现的导数几乎都是弱导数，这是一种介于古典导数与广义导数之间的一种导数，也是古典导数的推广。在本章的最后一节，我们介绍弱导数及其基本性质。
　　第二章是各向同性的整指数（整数阶）Sobolev空间，这是Sobolev空间理论的最基本部分，学完本章，读者就可以了解该理论的基本思想和方法。为了便于讲授和学习，在不影响其基本思想的前提下，我们只对“适当好”的开集的情况（边界有适当的光滑性，有时还要求是有界的，甚至要求是有界区域），给出每个定理的严格证明。对于一般情况以及嵌入定理的反例，单独作为一节，只列出主要结果而省略了证明过程。
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