現代數學基礎：索伯列夫空間 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王明新 著

圖書標籤:

• 數學
• 泛函分析
• 偏微分方程
• 索伯列夫空間
• 函數空間
• 數學分析
• 實分析
• PDE
• 數值分析
• 應用數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040370379

版次：1

商品編碼：11234777

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎

開本：16開

齣版時間：2013-05-01

用紙：膠版紙

頁數：237

字數：240000

正文語種：中文

內容簡介

　　《現代數學基礎：索伯列夫空間》作為一本研究生教材或參考書，較係統地介紹瞭各嚮同性的整指數（整數階）索伯列夫（Sobolev）空間，實指數（分數階）Sobolev空間，關於x與t異性的Sobolev空間，Morrey空間、Campanato空間和BMO空間。書中內容深入淺齣，文字通俗易懂，並配有適量難易兼顧的習題。《現代數學基礎：索伯列夫空間》可作為微分方程、動力係統、泛函分析、計算數學與相關理工科專業研究生的教材和教學參考書，亦可作為數學、工程等領域的青年教師和科研人員的參考書。

內頁插圖

目錄

前言
第一章 預備知識
1.1 若乾記號
1.2 幾個初等不等式
1.3 空間Lρ（Ω）
1.3.1 幾個常用不等式
1.3.2 完備性，Lρ（Ω）與L∞（Ω）之間的關係
1.3.3 整體連續性
1.3.4 可分性、一緻凸性與自反性
1.4 H61der空間
1.5 磨光
1.6 空間Lρ（Ω）的緊性
1.7 截斷與分解
1.8 弱導數
習題
第二章 各嚮同性的整指數S0bolev空間
2.1 定義和初等性質
2.2 逼近
2.2.1 用光滑函數局部逼近
2.2.2 用光滑函數整體逼近
2.2.3 用整體光滑函數逼近
2.3 延拓
2.4 邊界跡和跡定理
2.5 空間W1ρ（Ω）的基本性質
2.5.1 復閤函數的性質
2.5.2 水平函數的性質
2.5.3 差商和空間W1ρ（Ω）
2.5.4 Lipschitz函數和空間W1∞（Ω）
2.6 sobolev不等式和Morrey不等式
2.6.1 Sobolev不等式
2.6.2 Morrey不等式
2.6.3 Morrey空間，Riesz位勢與H61del，連續函數
2.7 空間Wkp（Ω）中的嵌入定理
2.8 空間Wkp（Ω）中的緊嵌入定理
2.9 Poincar6不等式
2.10 跡定理（續）
2.11 內插不等式，Wkp（Ω）中的等價範數
2.12 空間H-1（Ω）的刻畫
2.13 嵌人定理的補充和反例
2.13.1 集閤的光滑性
2.13.2 一般開集情形的嵌入定理
2.13.3 反例
2.14 作為Banactl代數的空間□
2.15 關於嵌入常數的補充
習題
……
第三章 各嚮同性的實指數S0bolev空間
第四章 Morrey空間，Campanat0空間和BM0空間
第五章 關於z與t異性的S0bolev空間
附錄 實變函數與泛函分析中的一些基本結論
參考文獻
索引

前言/序言

　　作為一本研究生教材或教學參考書，本書較係統地介紹瞭各嚮同性的整指數（整數階）索伯列夫（Sobolev）空間，實指數（分數階）Sobolev空間，關於x與t異性的Sobolev空間，Morrey空間、Campanato空間和BMO空間。
　　Sobolev空間是由多個實變量弱可微函數組成的一些特殊可積空間的統稱，它們都是Banach空間，雖然這些空間的原型早已齣現，但對其進行係統研究並使之成為一套理論，是20世紀30年代初由蘇聯數學傢S.L.Sobolev完成的。Sobolev空間理論不但是一個非常有趣的數學分支，其重要性是它在其他數學分支中的應用。它不僅是偏微分方程近代理論的基礎，也是與分析學相關的其他數學分支的重要基礎和必備工具，是與分析學相關的各研究方嚮的研究生必修課，
　　所謂Sobolev空間理論，就是研究這些函數空間的基本性質：自反性、可分性、稠密性（逼近）、延拓、嵌入定理、內插不等式和邊界跡（跡定理），而嵌入定理則是其核心內容，
　　本書的定位是為研究生和青年學者提供一本Sobolev空間理論的基礎教材和參考書，力求用較短的篇幅，集中介紹那些業已證明的最常用而又最重要的內容。由於偏微分方程是推動Sobolev空間理論發展的主要動力，本書的選材側重於在偏微分方程的研究中應用較多的內容。Sobolev空間有許多重要的推廣，除瞭第四章的Morrey空間、Campanato空間和BMO空間之外，本書沒有涉及Sobolev空間的其他推廣，如Lions的跡空間、Besov空間、Orlicz空間、Orlicz-Sobolev空間、BV空間、Lorentz空間等。有興趣的讀者可以參見R。A。Adams的專著及R.A.Adams和J.J.F.Fournier的專著。
　　本書的第一章是預備知識。首先介紹若乾記號和幾個重要的初等不等式。由於Lp空間和Holder空間是兩個最簡單和最基本的Sobolev空間，也是建立其他類型的Sobolev空間的基礎，所以在1.3節和1.4節，我們復述這兩個空間的基本性質。Sobolev空間中許多重要性質（估計，不等式等）的推導，大多都是先針對“陛質較好”的函數（光滑函數），而後利用逼近（稠密性）過渡到原來的函數，因而逼近是Sobolev空間研究中的一個常用方法，把一個函數磨光，是用光滑函數逼近一般可積函數的有效途徑，本章的1.5節介紹磨光函數及其性質。截斷方法是把問題局部化的一個重要手段，它既能有效地保留原問題的局部性質，又能避免鄰域外各種因素的影響，把問題局部化以後，往往還需要把局部結果整閤以得到整體結果，而單位分解就是整閤局部到整體的一個重要方法。在第1.7節，我們介紹截斷與單位分解。Sobolev空間中齣現的導數幾乎都是弱導數，這是一種介於古典導數與廣義導數之間的一種導數，也是古典導數的推廣。在本章的最後一節，我們介紹弱導數及其基本性質。
　　第二章是各嚮同性的整指數（整數階）Sobolev空間，這是Sobolev空間理論的最基本部分，學完本章，讀者就可以瞭解該理論的基本思想和方法。為瞭便於講授和學習，在不影響其基本思想的前提下，我們隻對“適當好”的開集的情況（邊界有適當的光滑性，有時還要求是有界的，甚至要求是有界區域），給齣每個定理的嚴格證明。對於一般情況以及嵌入定理的反例，單獨作為一節，隻列齣主要結果而省略瞭證明過程。

現代數學基礎：索伯列夫空間 導言：一個新時代的數學基石 在現代數學的宏偉殿堂中，泛函分析占據著至關重要的地位。它不僅為偏微分方程（PDEs）的研究提供瞭嚴謹的理論框架，更深刻地影響瞭調和分析、概率論乃至理論物理學的諸多分支。而在這片廣袤的理論海洋中，索伯列夫空間（Sobolev Spaces）無疑是最為核心、最具革命性的概念之一。 本書《現代數學基礎：索伯列夫空間》旨在為讀者構建一個全麵、深入且富有洞察力的索伯列夫空間理論體係。我們不滿足於僅僅介紹定義和基本性質，而是緻力於揭示其深層次的數學結構、內在聯係以及在解決實際問題中的強大威力。本書麵嚮的是已經具備紮實實分析基礎（包括勒貝格積分理論、泛函分析初步知識）的研究生、高級本科生以及希望深入理解現代偏微分方程理論的科研人員。 --- 第一部分：泛函分析與測度論的鞏固 在正式踏入索伯列夫空間的世界之前，我們首先需要迴顧並強化構建其理論的兩個核心支柱：勒貝格積分理論和基礎泛函分析。 第1章：勒貝格積分的再審視與$L^p$空間 本章首先對測度論的若乾關鍵概念進行迴顧，特彆是對$sigma$-代數、測度和可測函數的定義進行精確化處理。我們將重點關注$L^p(Omega)$空間的完備性，即證明它們是巴拿赫空間。這不僅是索伯列夫空間構造的先決條件，也是理解“弱導數”概念所必需的函數類基礎。我們詳細探討瞭閔可夫斯基不等式在$mathbb{R}^n$上的推廣，並引入瞭廣義積分的概念，為後續處理不可微函數打下基礎。 第2章：基礎拓撲與算子理論 本章側重於必要的拓撲工具。我們將討論局部緊性、緊算子以及Hille-Yosida定理的初步思想，盡管後者在後續章節中將以更具體的方式齣現。重點在於理解賦範綫性空間上的拓撲結構如何影響函數的可微性與收斂性。我們還將引入分部積分公式的泛函形式，這是理解“弱導數”的幾何直觀基礎。 --- 第二部分：弱導數的誕生與索伯列夫空間的定義 本部分是全書的理論核心，緻力於精確定義和刻畫索伯列夫空間，並闡明其相對於經典導數的優越性。 第3章：導數的概念延伸——弱解與測試函數 經典微積分中的導數要求函數在某一點上連續且極限存在。當處理不連續或“粗糙”的函數時，這一概念便失效瞭。本章引入瞭測試函數（Test Functions）——即光滑且緊支撐的函數$C_c^infty(Omega)$——作為工具。通過與測試函數進行積分，我們推導齣弱導數（Weak Derivative）的定義。我們將詳細證明：若函數在經典意義下可微，則其經典導數即為其弱導數；反之，若弱導數存在且光滑，則它就是經典導數。 第4章：索伯列夫空間 $W^{k,p}(Omega)$ 的構造 基於弱導數的概念，我們正式定義索伯列夫空間 $W^{k,p}(Omega)$：它是所有定義在$Omega$上，且其所有（廣義）偏導數均屬於$L^p(Omega)$的函數構成的空間。本章的核心工作是證明$W^{k,p}(Omega)$是一個巴拿赫空間，其範數為： $$|u|_{W^{k,p}} = left( sum_{|alpha| le k} |D^alpha u|_{L^p}^p ight)^{1/p}$$ 我們還將探討$W^{k,p}(Omega)$作為一個嚮量空間的完備性，並討論$C_c^infty(Omega)$在該空間中的稠密性。 第5章：關鍵特例與空間關係 本章深入探討瞭索伯列夫空間中的幾個特例和它們之間的內在聯係： 1. $W^{1,p}(Omega)$： 專門分析一階索伯列夫空間，它與BV（有界變差）空間的早期聯係。 2. $H^k(Omega)$： 當$p=2$時，索伯列夫空間退化為希爾伯特空間，記為$H^k(Omega)$。我們利用內積結構，展示$H^k$空間在處理自伴算子和橢圓方程中的便利性。 3. Sobolev嵌入定理（Sobolev Embedding Theorems）： 這是索伯列夫理論的“魔術”所在。我們詳細分析瞭當區域$Omega$的形狀（即$n$維空間）和函數空間參數$k, p$滿足特定條件時，函數可以被“嵌入”到更光滑的空間（如$L^q$或$C^m$）中。這為偏微分方程的解的正則性提供瞭強大的工具。 --- 第三部分：索伯列夫空間的幾何與分析性質 索伯列夫空間的優越性不僅在於其定義，更在於其內在的幾何和分析性質。 第6章：跡的理論與邊界行為 對於定義在$Omega$上的函數，我們如何討論其在邊界$partialOmega$上的性質？本章引入瞭跡（Trace）的概念。我們證明瞭存在一個連續的綫性算子 $T: W^{1,p}(Omega) o L^p(partialOmega)$，將索伯列夫函數“限製”到邊界上。我們詳細分析瞭跡算子的性質，特彆是對於$p > 1$的情況，並探討瞭零跡空間 $H_0^k(Omega)$，它們是Dirichlet邊界條件的基礎。 第7章：緊性與收斂性 在泛函分析中，緊性往往意味著我們能夠從有界序列中提取齣收斂子序列。本章主要關注索伯列夫空間中的緊性： 1. Rellich-Kondrachov 定理： 這是關於$W^{k,p}(Omega)$到$L^q(Omega)$嵌入的緊性結果，其重要性不亞於嵌入定理本身。我們通過Moser序列等方法，對定理的條件和結論進行細緻的辨析。 2. 弱收斂與強收斂： 在$L^p$和$W^{k,p}$空間中，函數序列的收斂可能錶現為弱收斂。本章解釋瞭強收斂和弱收斂的區彆，以及如何在特定條件下，從弱收斂中推導齣更強的收斂性（例如，通過利用黎斯錶示定理的推廣）。 --- 第四部分：應用基礎——偏微分方程的視角 索伯列夫空間最終的價值體現在其解決實際問題的能力上。本章將理論與應用連接起來，展示索伯列夫空間如何成為現代PDE理論的“通用語言”。 第8章：橢圓型方程的弱解 我們以泊鬆方程 $Delta u = f$ 為例，展示索伯列夫理論如何工作。首先，我們使用分部積分將原方程轉化為一個變分形式（或弱形式）：尋找$u in H_0^1(Omega)$，使得對所有$phi in H_0^1(Omega)$，滿足： $$int_Omega abla u cdot abla phi , dx = int_Omega f phi , dx$$ 我們利用Lax-Milgram 定理（它依賴於$H^1$空間的內積結構）來證明該弱解的存在性、唯一性，並分析其在$H^1$空間中的正則性。 第9章：正則性提升與 $W^{2,p}$ 空間 如果右端項$f$足夠光滑，我們期望解$u$也能比弱解所要求的更光滑。本章探討正則性提升（Regularity Theory）的基礎。通過將弱導數應用於弱形式的方程，我們引入瞭二階索伯列夫空間 $W^{2,p}(Omega)$，並探討瞭何時滿足Dirichlet邊界條件的$W^{2,p}$函數可以作為方程的解。 --- 結語：通往更深層次理論的階梯 《現代數學基礎：索伯列夫空間》提供瞭一個從基礎到前沿的、邏輯嚴密的索伯列夫空間構建路徑。掌握本書內容，讀者不僅能夠熟練運用$W^{k,p}$空間解決經典PDE問題，更能為深入研究非綫性PDE、調和分析中的BMO空間、或者更精細的嵌入理論（如Morrey空間）打下無可動搖的分析基礎。本書的每一個證明都力求清晰，每一個定義都力求精確，確保讀者能夠真正“掌握”這一現代數學分析中不可或缺的核心工具。

評分☆☆☆☆☆

在數學的海洋裏，總有一些關鍵的“島嶼”，掌握瞭它們，就能開啓更廣闊的視野。《現代數學基礎：索伯列夫空間》這本書，無疑就是這樣一個重要的“島嶼”。作為一個對分析學理論有濃厚興趣的讀者，我一直渴望能深入理解那些在泛函分析和偏微分方程中扮演核心角色的概念。這本書恰好滿足瞭我的這一願望。它不僅僅是簡單地羅列定義和定理，而是通過嚴謹的推導和清晰的闡述，將索伯列夫空間的各個方麵娓娓道來。從空間本身的構造，到各種重要的不等式，再到其與傳統函數空間的聯係，書中都做瞭細緻的講解。我尤其喜歡書中關於索伯列夫空間在泛函分析中作為嵌入定理的強大應用的討論，這讓我看到瞭不同函數空間之間的層級關係，也為理解更抽象的理論打下瞭基礎。這本書的齣現，無疑將為我深入探索數學分析的奧秘提供堅實的支撐。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣長期沉浸在應用數學領域的研究者來說，一本紮實的理論基礎書籍是必不可少的。《現代數學基礎：索伯列夫空間》這本書恰恰滿足瞭這一需求。它不僅涵蓋瞭索伯列夫空間的基本定義和重要性質，更重要的是，它詳細地展示瞭這些抽象概念如何被應用於解決實際問題。書中對諸如泊鬆方程、彈性力學方程等經典偏微分方程的求解分析，都巧妙地融入瞭索伯列夫空間的理論。通過對這些方程在不同索伯列夫空間中的解的存在性和唯一性的討論，我能夠更深刻地理解數學模型與物理現象之間的聯係。書中對各種嵌入定理的詳細推導，也幫助我更好地理解函數在不同正則性之間的轉換，這對於處理具有復雜邊界條件或非光滑係數的方程非常有益。這本書的價值在於，它提供瞭一個堅實的理論平颱，讓我在進行具體問題研究時，能夠更加自信和高效。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學愛好者，我一直對函數空間和微分方程的理論基礎很感興趣，尤其是在分析學領域。最近我入手瞭一本新書，它的書名是《現代數學基礎：索伯列夫空間》，雖然我還沒有完全讀完，但已經能感受到它在數學研究中的重要價值。這本書深入淺齣地介紹瞭索伯列夫空間這一核心概念，它不僅僅是標準Lp空間或C∞函數的簡單推廣，而是將函數及其廣義導數的Lp範數融閤在一起，從而在更廣泛的函數類上討論微分算子的性質。這對於理解偏微分方程的解的存在性、正則性以及它們在物理、工程等實際問題中的應用至關重要。我尤其欣賞書中對索伯列夫嵌入定理和索伯列夫不等式的詳細闡述，這些定理是連接不同函數空間、研究函數性質的橋梁。書中的證明過程嚴謹且邏輯清晰，常常伴隨有直觀的幾何解釋，這對於我這樣的讀者來說非常有幫助。我期待著在接下來的閱讀中，能夠更深入地理解其在變分法、非綫性方程等領域的應用，相信這本書會成為我梳理和加深理解相關知識的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑為廣大數學研究者和高年級本科生提供瞭一本寶貴的參考資料。我個人在學習偏微分方程的過程中，經常會遇到需要用到索伯列夫空間的場景，但以往的知識體係中，對於這一部分的講解往往比較零散。而《現代數學基礎：索伯列夫空間》則係統地構建瞭這一理論框架。從最初的定義齣發，書中逐步引齣瞭各種重要的性質，例如索伯列夫空間的完備性、範數等價性以及與狄拉剋測度等在數學分析中扮演關鍵角色的概念之間的聯係。我尤其贊賞書中關於索伯列夫空間及其對偶空間的討論，這對於理解綫性算子的性質以及泛函分析中的一些抽象概念至關重要。書中提供的練習題也很有代錶性，能夠幫助讀者鞏固所學知識，並嘗試將理論應用於解決具體問題。雖然有些部分的推導需要一定的數學基礎，但整體而言，作者的敘述風格是清晰且有條理的，使得即使是初學者也能循序漸進地掌握核心內容。

評分☆☆☆☆☆

我是一名理論物理專業的學生，在學習量子場論和凝聚態物理的過程中，經常會接觸到一些對函數的要求，比如“平方可積”或者“具有某些階次的導數”。起初，我隻是模糊地知道這些是與積分和導數相關的概念，但《現代數學基礎：索伯列夫空間》這本書，則讓我第一次係統地理解瞭這些概念的嚴謹數學基礎。書中對索伯列夫空間的介紹，從最基本的定義開始，一步步引齣瞭其重要的性質，比如柯西-施瓦茨不等式在索伯列夫空間中的推廣，以及它與傅立葉變換的聯係。我特彆感興趣的是書中關於索伯列夫空間如何解決偏微分方程邊值問題的章節，這對於我在研究量子係統的哈密頓算符，或者描述凝聚態材料中場分布的方程時，提供瞭強大的數學工具。雖然有些證明過程對我來說仍有一定挑戰，但書中給齣的直觀解釋和相關應用的案例，極大地激發瞭我深入學習的興趣。

評分☆☆☆☆☆

的最後區域作為太陽係邊界。測量這一邊界在哪裏，正是“旅行者1號”的使命。在經過反復測量和模型推演後，NASA於2013年9月宣布“旅行者1號”探測到太陽風粒子濃度急劇下降，探測器進入瞭星際空間。

評分☆☆☆☆☆

想瞭解一下李群的相關知識，買瞭好幾本相關的數學書籍。內容不錯，工科的學數學還是有些挑戰性，慢慢看吧。

評分☆☆☆☆☆

高觀點的綫性代數書籍，值得推薦！

評分☆☆☆☆☆

近幾年，大數據不可謂不火，尤其是2017年，發展大數據産業被寫入政府工作報告中，大數據開始不隻是齣現在企業的戰略中，也開始齣現在政府的規劃之內，可以說是互聯網世界的寵兒。

評分☆☆☆☆☆

大半的人在二十歲或三十歲上就死瞭：一過這個年齡，他們隻變瞭自己的影子；以後的生命不過是用來模仿自己，把以前真正有人味兒的時代所說的，所做的，所想的，所喜歡的，一天天的重復，而且重復的方式越來越機械，越來越脫腔走闆。——《約翰·剋裏斯多夫》羅曼·羅蘭

評分☆☆☆☆☆

挺好的，是新書沒有假。

評分☆☆☆☆☆

非常好，項武義老師的書人手一本

評分☆☆☆☆☆

項武義的老師的書，本本都是經典，值得老師們好好讀讀。

評分☆☆☆☆☆

李群方麵的優秀教材，內容相對易懂。李群李代數由於與量子力學聯係緊密而成為代數方嚮的一個熱門，這也是我一個前物理係學生買它的原因