数学分析中的问题和反例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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汪林 著

图书标签:

• 数学分析
• 实分析
• 高等数学
• 反例
• 问题求解
• 数学教学
• 分析学
• 微积分
• 数学
• 教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040439137

版次：1

商品编码：11839474

包装：平装

丛书名： 现代数学基础56

开本：16开

出版时间：2015-11-01

用纸：胶版纸

页数：381

字数：510000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学分析中的问题和反例》汇集了“数学分析”方面的问题和反例500多个。全书共八章，内容有数列、函数微分、积分、级数、一致收敛、多元函数、重积分与参变量积分。
　　《数学分析中的问题和反例》所选的问题和反例比较典型，难度适中，构思新颖，解法精巧，富有启发性。书中不少问题和反例直接选自国内外有关学者所做的工作。《数学分析中的问题和反例》对正确理解“数学分析”的基本概念，掌握“数学分析”的基本理论和技巧很有好处。
　　《数学分析中的问题和反例》可供大学、大专数学系师生、数学工作者参考。

作者简介

　　本书作者汪林，云南大学教授，北京大学程民德院士的学生，在高等教育出版社和科学出版社出版过多部反例方面的著作。

目录

第一章 数列
基本概念和主要结果
问题
反例

第二章 函数
基本概念和主要结果
问题
反例

第三章 微分
基本概念和主要结果
问题
反例

第四章 积分
基本概念和主要结果
问题
反例

第五章 级数
基本概念和主要结果
问题
反例

第六章 一致收敛
基本概念和主要结果
问题
反例

第七章 多元函数
基本概念和主要结果
问题
反例

第八章 重积分与参变量积分
基本概念和主要结果
问题
反例
参考文献

《现代代数结构与应用》 图书简介 本书旨在为读者提供一个深入且全面的现代代数领域探索之旅。内容聚焦于群论、环论和域论这三大核心支柱，并辅以当代数学和交叉学科中的实际应用。我们力求在保持数学严谨性的同时，以清晰的逻辑结构和丰富的实例，引导读者领悟抽象代数概念背后的深刻思想。 第一部分：群论——对称性的语言 本部分将从最基本的代数结构——群的定义出发，系统地阐述其基本性质、子群、陪集以及陪集所导出的重要概念——商群的构造。 第一章：群的基本概念与构造 我们详细探讨了群的公理化定义，并区分了有限群与无限群的特性。重点分析了二面体群 $D_n$、循环群 $mathbb{Z}_n$、对称群 $S_n$ 以及一般线性群 $GL_n(F)$ 等经典实例。通过对这些结构的细致分析，读者将建立起对“对称性”这一核心代数思想的直观理解。 第二章：子群、同态与同构 本章深入研究了子群的概念，并引入了拉格朗日定理，这是有限群论中具有里程碑意义的定理。拉格朗日定理的证明及其在计算群阶和子群结构中的应用被详尽阐述。随后，我们引入了群同态和同构的概念，探讨了它们的性质，特别是核（Kernel）和像（Image）的代数特性。规范子群（正规子群）的引入为后续商群的构建奠定了基础。 第三章：商群、同构定理与作用 商群（或因子群）的构造被视为代数结构理论中的一次巨大飞跃。我们详细解释了如何基于规范子群来构造新的群，以及第一、第二、第三同构定理如何揭示不同群结构之间的内在联系。群作用（Group Action）是连接抽象代数与具体问题的关键工具。我们探讨了轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念，并应用伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）来解决计数问题，例如对特定排列着色的计数问题。 第四章：Sylow 定理及其应用 Sylow 定理是研究有限群结构的重要工具。本章将全面介绍 Sylow 第一、第二和第三定理，证明过程力求详尽易懂。通过应用这些定理，我们能够对特定阶的群的结构做出强有力的断言，例如证明所有阶为 $p^k$ 的群都是幂零群（Nilpotent Group）的必要条件，以及分析小阶群（如阶为 6、8、10、12 的群）的分类和唯一性问题。 第二部分：环论——代数运算的扩展 本部分将代数的视野从单一运算扩展到两个运算——加法和乘法，从而进入环的领域。 第五章：环的基本概念与构造 我们定义了环、交换环、单位环、整环和域（Field）。通过考察 $mathbb{Z}, mathbb{Z}_n, M_n(R)$ 等实例，读者将理解加法和乘法如何相互作用。特别关注了零因子（Zero Divisors）的概念，以及它们如何将整环与一般的环区分开来。 第六章：理想与商环 理想在环论中的地位相当于子群在群论中的地位。本章细致区分了左理想、右理想和双边理想（简称理想）。理想的引入使得商环的构造成为可能，类比于商群的构造。我们研究了主理想（Principal Ideal）和极大理想（Maximal Ideal）的概念，并证明了商环 $R/I$ 是一个域当且仅当 $I$ 是一个极大理想。 第七章：整环中的特殊结构 本章聚焦于整环这一特殊且重要的代数对象。我们引入了整环中的整除性、公因数（GCD）和公倍数（LCM）的概念。接着，我们详细区分了三类具有良好除法性质的环：欧几里得整环（Euclidean Domains）、主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）。通过具体的例子，如 $mathbb{Z}[i]$（高斯整数环）和 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，我们展示了何时 $PID Rightarrow UFD$ 并不总是成立，从而加深对这些结构的理解。 第八章：多项式环与唯一分解 多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）是代数几何和伽罗瓦理论的基础。我们讨论了在多项式环中进行除法算法（带余除法），并证明了 $F[x]$ 是一个 PID，进而是一个 UFD。我们还将探讨不可约多项式（Irreducible Polynomials）的概念，并利用高斯引理来分析系数在有理数域上的多项式分解问题。 第三部分：域论与应用 本部分将代数的焦点集中在域上，探索域的扩张、根域以及伽罗瓦理论的初步概念。 第九章：域的扩张 域扩张是理解代数方程解的关键。我们定义了域扩张 $E/F$，并引入了域扩张的次数 $[E:F]$。本章将重点研究代数扩张和超越扩张。对于代数扩张，我们构造了扩张域 $F(alpha)$，并分析了它的基（Basis）和维数，特别是当 $alpha$ 是一个代数元时的情形。 第十章：代数闭包与根域 对于任何域 $F$，总存在一个包含 $F$ 且其任何多项式都有根的域——代数闭包。我们讨论了代数闭包的存在性和唯一性（在同构意义上）。随后，我们将研究根域（Splitting Field）的概念，即包含某一多项式所有根的最小域扩张，这是理解多项式可解性的基础。 第十一章：有限域 有限域（或称伽罗瓦域 $GF(q)$）在编码理论和密码学中具有不可替代的地位。本章将证明存在阶为 $p^k$ 的有限域，且同构意义下是唯一的。我们分析了有限域的乘法群的结构，证明其是循环群，并探讨了有限域在原初多项式（Primitive Polynomials）构造中的应用。 第十二章：伽罗瓦理论导论 伽罗瓦理论将域扩张的代数问题转化为群论问题。本章简要介绍伽罗瓦群 $Gal(E/F)$ 的概念。我们将侧重于可分扩张（Separable Extensions）和正规扩张（Normal Extensions）的性质，并引入伽罗瓦理论的基本定理，该定理建立了域之间的中间扩张与伽罗瓦群之间的子群之间的对偶对应关系。通过这一对应，我们将阐述五次及以上方程一般不可用根式求解（即不可解性）的深刻代数根源。 目标读者与特色 本书面向高等数学专业本科生、研究生以及希望系统学习抽象代数的数学爱好者。内容设计强调从具体例子到抽象定义的过渡，每一个新概念的引入都伴随着丰富的例子和反例的分析（非《数学分析中的问题和反例》中的内容）。特别关注了计算方法和结构之间的联系，旨在培养读者运用代数工具解决实际问题的能力。每一章末尾均附有精心设计的习题，以巩固所学知识并启发进一步的思考。

评分☆☆☆☆☆

回顾我学习数学分析的那些年，最让我印象深刻的，莫过于那些“意想不到”的转折。很多时候，我们以为已经掌握了一个概念的精髓，但往往在某个看似微不足道的角落，就会冒出一个反例，瞬间颠覆我们之前的认知。我记得在学习实数理论时，关于有理数稠密性的讨论，我一直以为有理数已经足够“填充”整个实数轴了，直到我接触到了不可数集的概念，才明白实数集合的“浩瀚”远超我的想象。那种被数学的深度和广度所震撼的感觉，至今仍让我心有余悸。我当时就迫切希望，能有一本书，能够系统地整理和呈现这些“颠覆性”的反例，并且详细地解释它们所蕴含的数学原理。我也对那些关于函数性质的“怪异”例子特别感兴趣，比如那个处处连续但处处不可导的函数，它简直就是数学中的一个“异类”，却又如此真实地存在。我相信，这样一本能够聚焦于“反例”的书籍，一定能够极大地帮助我们深化对数学分析的理解，培养一种严谨求实的科学态度，以及对数学世界永不满足的好奇心。

评分☆☆☆☆☆

第一章初涉微积分的惊鸿一瞥，便被那些看似严谨的定义背后隐藏的幽灵所吸引。特别是当老师在黑板上推导一个结论时，总会冒出一些“万一呢？”的念头。例如，是否所有连续函数都可导？或者，如果一个序列收敛，那么它的子序列是否一定收敛到同一个值？这些疑问像种子一样在我心中埋下，渴望着得到解答。我至今仍清晰地记得，第一次接触到“病态函数”时内心的震撼，它们打破了我对函数平滑、规律的固有认知，让我意识到数学的深邃并非一眼可见。当那些反常识的例子被一一揭示，逻辑的严丝合缝和数学家们的智慧便如同一束束光，照亮了我探索的道路。那种解开一个个“为什么”的满足感，至今仍然让我心潮澎湃。我总觉得，学习数学分析，不仅仅是掌握公式和定理，更重要的是培养一种对事物本质的追问精神，一种对看似显而易见的结论进行审视的批判性思维。我常常幻想，如果当时能有这样一本工具书，能够系统地整理和解答这些我心中冒出的疑惑，我的学习过程一定会更加顺畅，也更加充满乐趣。那些让我辗转反侧的难题，或许就能在那一页页精妙的论证中迎刃而解，而不是让我在黑暗中独自摸索。

评分☆☆☆☆☆

进入大学数学系，我以为自己已经站在了知识的殿堂，然而，真正深入接触数学分析后，才发现自己之前所学的不过是冰山一角。那些看似无懈可击的定理，总会在一些边界条件或特殊情况下露出破绽，需要精妙的反例来加以约束。我记得在学习极限理论时，关于序列收敛的讨论，有同学提出一个非常有意思的问题：“如果一个数列是有界的，它是否一定收敛？”当时的讨论并没有一个明确的答案，大家都在试图构造一些例子来证明或证伪，但都未能成功。那种求知若渴却又无从下手的感觉，至今仍让我回味。我当时就在想，如果有一本书，能够汇集这些让初学者感到困惑、让经验丰富的学者也需要仔细斟酌的反例，并且给出详尽的解释，那该是多么宝贵的资源。我尤其对那些看似简单却蕴含深刻道理的例子感兴趣，比如那个著名的“狄利克雷函数”，它在处处不连续，却在某些点上具有积分的意义，这种“反直觉”的性质，总是能引发我深入的思考。我相信，这本书的出现，能够帮助更多像我一样的学生，在学习数学分析的道路上少走弯路，更加深刻地理解数学的严谨性和内在逻辑。

评分☆☆☆☆☆

在探索数学的浩瀚星海中，我总会被那些出乎意料的“意外”所吸引。那些看似简单直接的数学概念，在深入挖掘之后，往往会展现出令人惊叹的复杂性和微妙性。我犹记得在学习拓扑学时，关于连通性和紧致性的讨论，总有一些奇特的空间，挑战着我们的直觉。例如，那个被称为“天花板函数”的空间，它既是连通的，又不是道路连通的，这种性质让我对“连通”有了全新的认识。我当时就在想，如果有一个地方，能够系统地罗列这些“奇特”的空间，并解释它们为什么能够违反我们的常规认知，那将是多么宝贵的学习资料。我也对那些与积分相关的反例深感兴趣，比如那个虽然处处不可导，但勒贝格积分却存在的函数，它彻底颠覆了我对“可积性”的理解。我总觉得，数学分析的魅力，很大一部分就体现在这些看似“不正常”的例子之中，它们逼迫我们不断审视和深化对基本概念的理解。我非常期待，能够有一本书，能够将这些反例集结在一起，并用清晰的逻辑和深入的分析，带领读者穿越这些数学的“迷宫”，最终抵达理解的彼岸。

评分☆☆☆☆☆

对我而言，数学分析的学习历程，就像是攀登一座巍峨的高山。一开始，目标明确，路径清晰，我们紧随老师的步伐，一步步夯实基础。然而，随着海拔的升高，视野愈发开阔，也越发能看到那些隐藏在陡峭悬崖和险峻峡谷中的陷阱。我曾经为了理解“一致收敛”与“逐点收敛”的区别而困扰不已，总觉得它们似乎没有什么本质差异，直到看到那些关于函数序列一致收敛的强大结论，我才意识到，如果条件不满足，它们可能产生多么天壤之别的结果。我当时就渴望能有一本能够系统梳理这些“陷阱”的书籍，能够用一个个生动形象的反例，直观地展示出理论的边界和条件的必要性。我记得有一次，老师在讲到傅里叶级数时，提到了一个关于收敛性的反例，当时听得云里雾里，不知道为什么这个看似美好的级数会有这样的“怪癖”。如果当时能有一本书，能够详细解释这个反例的由来，以及它所揭示的数学深刻性，我的理解一定会更加透彻。我深信，掌握这些反例，并非是为了挑刺，而是为了更深刻地理解定理的精妙之处，认识到数学世界的严谨与复杂。

评分☆☆☆☆☆

发货速度超快，物流也还不错

评分☆☆☆☆☆

很好 非常好 内容充实 值得好好看 物流不错

评分☆☆☆☆☆

尽力蛮曲面引论，伍鸿熙的大作，收藏

评分☆☆☆☆☆

封面可以更好……但正文不错

评分☆☆☆☆☆

正是我想要的

评分☆☆☆☆☆

我有一个梦想，我要把这一套书凑齐。现在已经20本了。

评分☆☆☆☆☆

好书好书好书好书好书好书好书好书好书好书好书好书

评分☆☆☆☆☆

不错不错不错不错不错

评分☆☆☆☆☆

打算在数学专业里走下去的人，应该买来仔细研究。这么好的书，不多见。