直交函数级数的和 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陈建功 著

图书标签:

• 数学
• 级数
• 直交函数
• 傅里叶分析
• 泛函分析
• 数值分析
• 近似计算
• 数学物理方法
• 高等数学
• 信号处理

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030284785

版次：31

商品编码：12355621

包装：精装

丛书名： 中国科学技术经典文库（数学卷）

开本：32开

出版时间：2018-05-01

页数：184

正文语种：中文

内容简介

本书是作者在多年研究与数学积累的基础上写成的专著。全书共7章，内容包括：就范直交函数系、三角级数、傅里叶级数的绝对收敛、傅里叶级数的正阶切萨罗平均法绝对求和、傅里叶级数的负阶切萨罗绝对求和、傅里叶级数之共辄级数的绝对收敛、超球面函数的拉普拉斯级数。

物理学中的群论及其应用 本书导读： 本书旨在为物理学和数学专业的学生、研究人员以及对理论物理有浓厚兴趣的读者，提供一套全面、深入且富有洞察力的群论基础知识及其在现代物理学中的广泛应用。群论作为一种强大的数学工具，深刻地渗透在粒子物理学、凝聚态物理学、量子力学、晶体学乃至广义相对论的构建之中。理解群论的精髓，对于把握自然界的基本对称性和守恒定律至关重要。 第一部分：群论的基础概念与代数结构 本部分将从最基本的集合与运算出发，系统地介绍群论的核心概念。我们将详细阐述群的四个基本公理——封闭性、结合律、单位元和逆元，并辅以大量来自代数、几何和物理学背景的实例，帮助读者建立直观的理解。 1. 集合与映射： 探讨群论建立所需的基础结构，包括二元运算的定义，以及同态、同构等基本映射关系，它们是理解不同数学结构之间联系的桥梁。 2. 基本群概念： 深入分析有限群和无限群的特性。讨论子群、陪集（左陪集与右陪集）的概念，特别是拉格朗日定理在有限群分类中的核心地位。 3. 正规子群与商群： 正规子群是群结构分解的关键。我们将详细探讨正规子群的判定条件及其重要性质，并基于此构建商群（或因子群），这是理解群扩张和表示论的起点。 4. 群的同构与同态定理： 系统的介绍第一、第二、第三同构定理。这些定理是抽象代数中关于结构保持映射的基石，它们揭示了不同群结构之间的内在联系和限制。 5. 群作用与轨道-稳定子定理： 群作用是连接抽象代数与具体物理对象（如空间坐标或粒子态）的桥梁。我们将详细分析群在集合上的作用，并用轨道-稳定子定理来计算群作用的复杂性，这在计算晶体对称性时极为关键。 6. 零因子与直积： 介绍群的直积（内直积与外直积），它们允许我们将一个复杂的群分解为更简单的、相互独立的群的组合。这在处理多重对称性（如宇称与时间反演的组合对称性）时至关重要。 第二部分：表示论：从抽象到具体 群的“表示”是将抽象的群元素映射到线性空间中的可逆线性变换（矩阵）的过程。表示论是群论在物理学中应用最为广泛的部分，因为它直接关联到量子力学的可观测性和波函数的变换性质。 1. 酉空间与线性算符： 首先回顾必要的线性代数背景，特别是酉空间的性质，以及算符的酉性（这在量子力学中对应于守恒的概率）。 2. 表示的定义与等价性： 严格定义群表示，并引入等价表示的概念。一个群的“不完全表示”通常可以被分解为更基本的“不可约表示”的组合。 3. 不可约表示（Irreducible Representations, Irreps）： 这是表示论的核心。我们将重点介绍如何识别和构造不可约表示，它们对应于物理系统内部的“基本激发态”或“本征模式”。 4. 马斯克（Maschke）定理与完全可约性： 阐述对于有限群或紧致群，任何表示都可以分解为不可约表示的直和。 5. 舒尔（Schur）引理： 舒尔引理是导出选择定则和态简并性的关键工具。我们将深入探讨其两个重要推论，特别是在处理具有非平凡中心的群时的应用。 6. 戴尔（Dahl）积分公式与正交性关系： 导出完备的群指标表（Character Table）。指标是表示的迹，它具有群论中的不变性。我们将利用指标正交性关系来系统地分解任意表示，这是实际计算中的核心方法。 第三部分：李群与李代数：连续对称性的语言 本部分将主题转向描述时空、电磁场以及内部对称性的连续群——李群。 1. 李群的拓扑与微分结构： 介绍李群的局部欧几里得结构，并引入指数映射，它是连接群流形与线性代数空间的桥梁。 2. 李代数：群的线性化切空间： 李代数是由群的单位元处的切空间构成的，其结构完全由反对称的李括号（或交换子）决定。我们将详细研究李括号的性质。 3. 基本的李群与李代数： 重点分析物理学中最常见的李群： $ ext{U}(N)$ 群： 酉群，在描述量子态叠加和变换中至关重要。 $ ext{SU}(N)$ 群： 特殊酉群，是描述内部对称性（如$ ext{SU}(2)$的同旋量和$ ext{SU}(3)$的味对称性）的基石。 洛伦兹群 $ ext{SO}(1, 3)$ 和庞加莱群： 描述狭义相对论时空变换的核心群。 4. 结构常数与李代数的分类： 介绍如何通过结构常数来完全确定一个李代数的结构。对于半单李代数，我们将探讨其根系（Root System）的概念，这是理解更复杂对称性（如标准模型中的 $ ext{SU}(3) imes ext{SU}(2) imes ext{U}(1)$）的数学工具。 5. 扬-米尔斯理论中的应用： 简要概述李群如何作为规范对称性基础，为量子场论（QFT）中规范玻色子的存在提供了深刻的数学解释。 第四部分：物理学的具体应用实例 本部分将群论的理论框架应用于具体的物理问题，展示其强大的预测能力。 1. 分子振动与光谱分析： 使用点群（如 $C_{3v}, D_{4h}$）分析分子的对称性，并利用群表示来确定简正模的数量、选择定则（决定哪些跃迁是允许的），从而解释红外和拉曼光谱。 2. 晶体结构与能带理论： 介绍布洛赫定理在周期性势场中的应用，以及空间群（Space Groups）和点群（Point Groups）在描述晶体对称性中的作用。我们将应用群论来推导能带简并度。 3. 量子力学中的角动量： 将 $ ext{SO}(3)$ 和其覆盖群 $ ext{SU}(2)$ 作为角动量代数的表示来处理。详细分析自旋的表示，以及 Clebsch-Gordan 展开法，它利用群乘法表来耦合不同角动量的态。 4. 粒子物理学中的对称性： 探讨 $ ext{SU}(2)$（同位旋）和 $ ext{SU}(3)$（味对称性）在强相互作用和电弱统一理论中的角色，以及戈德斯通定理在对称性自发破缺中的体现。 本书的特点在于其严谨的数学推导与丰富的物理实例相结合，旨在帮助读者从根本上理解自然界的对称性是如何被数学精确描述的。通过对群论的系统学习，读者将能更深刻地理解现代物理学的理论框架。

评分☆☆☆☆☆

这本书的标题——《直交函数级数的和》——本身就带着一种严谨的学术气息，让我忍不住对它充满了好奇。翻开它，我首先被深深吸引的是书中那清晰而又充满力量的数学语言。作者在讲解的过程中，并没有采用那种枯燥乏味的堆砌公式的方式，而是通过层层递进的逻辑，将复杂的概念一一剖析，仿佛是在带领读者进行一场智力探险。我特别喜欢其中关于傅里叶级数的部分，作者用一种非常直观的方式解释了如何将一个周期函数分解成一系列三角函数的无穷和。他不仅仅给出了数学推导，还穿插了一些实际应用的例子，比如信号处理中的频谱分析，这让我立刻感受到了数学的魅力以及它在现实世界中的强大影响力。书中的插图也设计得相当精妙，很多图表都能够准确地帮助我理解抽象的数学概念。我甚至觉得，对于那些对数学有一定基础，但又想深入了解函数级数理论的读者来说，这本书绝对是一份不可多得的宝藏。它让我重新审视了数学的优雅与深刻，也激发了我进一步探索相关领域的热情。

评分☆☆☆☆☆

《直交函数级数的和》这本书，我个人认为它最大的亮点在于其“理论的高度”与“实践的广度”的有机融合。作者在书中构建了一个坚实的理论框架，从直交系的基本概念出发，一步步推导到各种重要直交函数级数（如傅里叶级数、三角级数、正交多项式级数等）的性质、展开方法和收敛性。这些内容，无疑是数学系学生乃至研究人员的必备知识。但更让我惊喜的是，书中并没有将理论束之高阁，而是大量引用了物理学、工程学、信号处理等领域的实例来佐证理论的价值。例如，在讲解傅里叶级数时，作者详细阐述了它在分析周期性信号（如声波、电信号）时的应用；在讨论正交多项式时，也提到了它们在量子力学和数值逼近中的作用。这种紧密的联系，让我真切地体会到了数学理论的生命力，也为我今后在具体科研或工程项目中应用这些知识提供了坚实的指导。

评分☆☆☆☆☆

这本《直交函数级数的和》给我的感觉，更像是与一位经验丰富的数学家进行了一场深入的对话。作者的叙事风格有一种独特的节奏感，他巧妙地在概念的引入、定理的阐述和例证的分析之间切换，使得阅读过程既不会感到疲惫，又能时刻保持思维的活跃。我尤其对书中关于勒让德多项式和切比雪夫多项式的讲解印象深刻。作者并没有仅仅停留在定义和性质的罗列，而是深入探讨了这些直交多项式在近似理论、数值分析以及微分方程求解中的重要作用。他提出的许多证明思路都非常巧妙，往往能从一个全新的角度去理解问题的本质。读到书中关于收敛性证明的部分，我更是感到豁然开朗。作者对于不同收敛条件的细致区分和严谨论证，让我对函数级数有了更深刻的认识，也消除了我过去的一些模糊概念。这本书的排版也十分考究，公式的显示清晰易读，章节之间的过渡自然流畅，这一切都为我沉浸在数学世界中创造了良好的条件。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，是一种“解构”与“重塑”的数学体验。作者仿佛拥有拆解复杂数学问题的神奇能力，将庞大而精密的直交函数级数理论，分解成一个个可以被理解的逻辑单元。他对于“正交性”这一核心概念的阐释，可以说是鞭辟入里，让我从根本上理解了为什么在许多数学和物理问题中，直交函数系能够如此有效地发挥作用。我特别喜欢书中关于“级数展开”和“系数计算”部分的讲解，作者提供了多种计算方法和技巧，并对它们的优劣进行了细致的比较分析，这对于实际操作者来说，无疑是极大的便利。而且，书中对于各种直交函数集（如三角函数集、多项式集）的性质和适用范围的梳理，也做得非常到位，帮助读者能够根据具体问题选择最合适的工具。读完这本书，我感觉自己不仅仅是学会了几个公式，更是掌握了一种解决问题的数学思维模式，对整个函数空间有了更宏观、更深入的认识。

评分☆☆☆☆☆

老实说，一开始我对《直交函数级数的和》这个书名还有些许畏惧，总觉得会是那种晦涩难懂的学术专著。然而，真正打开它之后，我的看法彻底改变了。作者的讲解方式非常接地气，他似乎总是能预见到读者可能会遇到的困惑，并提前给出清晰的解答。我尤其欣赏他在引入新概念时，总是会先回顾一些基础知识，然后循序渐进地将读者带入更复杂的讨论。在讲解过程中，作者时不时会穿插一些历史的视角，介绍一些著名数学家在这一领域做出的贡献，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对直交函数级数理论的发展脉络有了更清晰的认识。书中的一些练习题设计得也相当有启发性，它们并非简单的计算题，而是需要读者运用所学知识去分析和解决问题，这极大地锻炼了我的数学思维能力。总而言之，这本书是一部将理论深度与可读性完美结合的佳作。