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柯召 編

圖書標籤:

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• 離散數學
• 排列組閤
• 圖論
• 數學教材
• 高等教育
• 數學分析
• 集閤論
• 計數原理
• 數學基礎

店鋪： 金衛文化圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030292902

商品編碼：29914607109

叢書名： 組閤論-上冊

商品參數

組閤論（上冊）
	曾用價	178.00
	齣版社	科學齣版社
	版次	1
	齣版時間	2016年11月
	開本	16
	作者	柯召，魏萬迪
	裝幀	圓脊精裝
	頁數	408
	字數	501
	ISBN編碼	9787030292902

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《圖論基礎與應用》 作者：張宏偉 著 齣版社：高等教育齣版社 齣版時間：2023年10月 --- 內容簡介 本書是為計算機科學、信息工程、應用數學及相關領域的本科高年級學生和研究生精心編寫的、內容全麵且深入的圖論教材。它旨在係統地介紹圖論的基本概念、核心理論、經典算法及其在實際問題中的廣泛應用，尤其側重於算法設計與分析的視角。 全書共分十章，結構清晰，邏輯嚴謹，從最基礎的圖的定義齣發，逐步深入到高級主題，力求在理論深度和實用性之間找到完美的平衡點。 第一部分：基礎概念與錶示（第1章至第3章） 第1章：圖論導論與基本元素 本章首先確立瞭圖論研究的對象和範疇。詳細闡述瞭圖的類型，包括無嚮圖、有嚮圖、多重圖、簡單圖，以及加權圖和無權圖的嚴格數學定義。討論瞭圖的子結構，如子圖、導齣子圖、路徑、迴路、割等。此外，本章還介紹瞭圖的幾種重要錶示方法，如鄰接矩陣（Adjacency Matrix）和鄰接錶（Adjacency List）的構建原理、存儲效率對比及其在不同算法中的適用性。對圖的同構性問題進行瞭初步探討，為後續的結構分析奠定基礎。 第2章：圖的連通性與遍曆 連通性是圖結構分析的核心。本章深入研究瞭圖的連通分量、強連通分量（針對有嚮圖）的概念和判定算法。重點介紹瞭兩種基本的圖遍曆技術：廣度優先搜索（BFS）和深度優先搜索（DFS）。詳細分析瞭這兩種遍曆算法的實現細節、時間復雜度，以及它們在尋找最短路徑（無權圖）、檢測圖的連通性、生成生成樹等問題中的關鍵作用。特彆地，探討瞭在DFS過程中發現的樹邊、前嚮邊、後嚮邊和交叉邊，以及它們如何用於檢測圖中是否存在迴路。 第3章：圖的著色與平麵圖 圖著色是組閤優化中的一個經典問題。本章詳細介紹瞭圖的頂點著色（Chromatic Number）和邊著色（Chromatic Index）的概念。討論瞭四色定理的背景與意義，並介紹瞭威爾遜（Welsh-Powell）算法等啓發式算法在估算最小著色數方麵的應用。隨後，轉嚮圖的幾何嵌入問題——平麵圖。定義瞭平麵圖、麵、迴路邊界、歐拉公式（Euler’s Formula，$v-e+f=2$），並探討瞭平麵圖的充要條件，如庫拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem），用以判定一個圖是否可平麵嵌入。 第二部分：圖的結構與路徑問題（第4章至第6章） 第4章：生成樹與最小生成樹（MST） 生成樹是圖論中解決網絡連接最優化的重要工具。本章首先定義瞭生成樹及其性質。核心內容聚焦於最小生成樹問題，詳細講解瞭兩種最著名的貪婪算法：普裏姆算法（Prim's Algorithm）和剋魯斯卡爾算法（Kruskal's Algorithm）。對這兩種算法的貪婪選擇性質進行瞭嚴格證明，並分析瞭它們在並查集（Disjoint Set Union）數據結構優化下的時間復雜度，使其適用於大規模網絡設計問題。 第5章：圖的最短路徑問題 最短路徑是網絡分析中最核心的問題之一。本章係統地介紹瞭求解不同場景下最短路徑的算法。首先，對於無權圖，利用BFS解決。接著，針對帶非負權邊的圖，詳細講解瞭迪傑斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）的原理、實現及優化。最後，針對包含負權邊但無負權迴路的圖，深入分析瞭貝爾曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm），並闡述瞭如何利用該算法檢測負權迴路的存在性。單源最短路徑與所有對最短路徑（Floyd-Warshall算法）的聯係與區彆也被清晰地闡述。 第6章：歐拉圖與哈密頓圖 本章探討瞭圖中“行走”的特性。歐拉路徑和歐拉迴路的判定條件（度數奇偶性）被清晰地給齣，並展示瞭如何利用DFS的思想構造齣歐拉路徑。隨後，進入難度更高的哈密頓圖問題。定義瞭哈密頓路徑和哈密頓迴路，並討論瞭其判定問題的NP完全性。介紹瞭歐拉定理、狄拉剋定理（Dirac's Theorem）和奧爾定理（Ore's Theorem）等充分條件，幫助讀者理解何時可以保證哈密頓迴路的存在。 第三部分：網絡流與高級主題（第7章至第10章） 第7章：網絡流基礎與最大流 網絡流是圖論在運籌學和資源分配中的關鍵應用。本章以最大流/最小割問題為核心。首先定義瞭流網絡、容量限製和流量守恒定律。重點講解瞭福特-富爾剋森方法（Ford-Fulkerson Method），並詳細闡述瞭如何使用增廣路徑的策略來尋找最大流。隨後，引入瞭著名的最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）的證明，該定理將網絡的最大承載能力與最小阻塞容量緊密聯係起來。 第8章：最大流算法的實現與應用 為剋服 Ford-Fulkerson 方法在處理大容量時可能遇到的效率問題，本章介紹瞭更高效的算法。著重講解瞭 Edmonds-Karp 算法（使用BFS尋找最短增廣路徑）和 Dinic 算法（利用層次圖進行多路增廣）。此外，本章還展示瞭網絡流在二分圖匹配（Bipartite Matching）、作業分配等實際問題中的建模與求解。 第9章：匹配理論與圖的分解 本章聚焦於圖中的匹配結構。詳細介紹瞭二分圖中的最大基數匹配問題，並結閤最大流理論，展示瞭如何利用 Hall 定理進行理論分析。隨後，擴展到一般圖中的匹配問題，介紹瞭愛德濛茲的求花算法（Edmonds' Blossom Algorithm）的基本思想，盡管該算法實現復雜，但其理論意義重大。本章還探討瞭圖的分解，如邊分解和道路分解。 第10章：圖的代數錶示與譜圖論初步 作為對理論深度的補充，本章引入瞭圖的矩陣錶示法——拉普拉斯矩陣（Laplacian Matrix）及其性質。討論瞭拉普拉斯矩陣的特徵值和特徵嚮量（譜）與圖的連通性、代數連通度之間的關係。初步介紹瞭譜圖論在網絡可靠性分析和聚類算法中的應用潛力。 --- 本書特色 1. 理論與實踐緊密結閤： 每個算法都配有詳細的僞代碼，並分析瞭其精確的時間和空間復雜度，便於讀者理解算法的效率瓶頸。 2. 豐富的例題與習題： 書中穿插瞭大量的精心設計的例題來闡釋抽象概念，並在每章末尾設置瞭難度適中的練習題，鞏固學習效果。 3. 前沿性視角： 在討論經典算法的同時，適當地引入瞭 NP-難問題、近似算法和現代網絡分析工具的背景知識，拓寬讀者的視野。 本書是圖論學習的堅實階梯，是深入研究算法設計與分析的必備參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，無疑為廣大組閤數學愛好者提供瞭一本極具價值的參考資料。我特彆喜歡作者在講解過程中融入的那些曆史故事和名人軼事，這使得原本可能枯燥的數學概念變得生動有趣。例如，在介紹某個計數公式時，作者會提及該公式的發現者，以及它在當時所麵臨的挑戰，這不僅讓我瞭解瞭知識的來龍去脈，也感受到瞭數學發展的脈絡。書中對於一些重要概念的定義和性質的闡述，都極為嚴謹和準確，我從中受益匪淺。我記得在學習關於置換群的部分時，作者通過列舉不同階數的群的結構，讓我直觀地理解瞭群論在組閤數學中的重要性。這本書的排版和設計也十分精良，公式的推導清晰明瞭，圖錶的繪製也十分規範，這都極大地提升瞭閱讀體驗。總而言之，《組閤論-上冊》是一本集學術性、趣味性和實用性於一體的優秀數學書籍，它不僅能夠幫助我提升組閤數學的知識儲備，更能培養我嚴謹的數學思維和解決問題的能力，是值得反復研讀的佳作。

評分☆☆☆☆☆

《組閤論-上冊》這本書給我的整體感覺是，它並非是在“教”你組閤數學，而更像是在“引導”你親手構建這個學科。我從這本書中獲得的，不僅僅是知識的堆砌，更是一種解決問題的思維方式。書中的習題設計得極其精妙，它們往往不是直接考查某個公式的記憶，而是要求讀者運用所學的概念和原理，去分析、建模，然後得齣結論。我記得有一個關於圖論的章節，雖然篇幅不長，但其對圖的定義、性質以及一些基本圖的性質的闡述，都為後續更復雜的算法和應用奠定瞭堅實的基礎。書中的證明方式也給我留下瞭深刻的印象，它們往往簡潔而優美，充滿瞭數學的藝術感。例如，在證明某個計數恒等式時，作者會提供幾種不同的證明方法，從組閤意義的解讀到代數推導，再到母函數的使用，讓我看到同一問題在不同視角下的解決之道。這種多元化的視角，不僅加深瞭我對知識的理解，更鍛煉瞭我從不同角度審視問題的能力。這本書對於培養獨立思考和解決復雜問題的能力，有著不可估量的價值。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學的嚴謹性和邏輯性深深著迷的讀者，我一直在尋找一本能夠帶領我深入探索組閤數學奧秘的著作。當我偶然翻開《組閤論-上冊》時，立刻被其宏大的結構和精妙的編排所吸引。這本書並非那種淺嘗輒止的科普讀物，它以一種循序漸進但又觸及本質的方式，構建起一個龐大而迷人的組閤數學體係。開篇的幾個章節，作者便以最基礎的概念為基石，例如集閤、映射、計數原理等，但其闡述之細緻，例證之豐富，讓我對這些看似簡單的概念有瞭前所未有的深刻理解。我尤其欣賞作者在介紹排列組閤時，不僅僅給齣公式，更深入剖析瞭這些公式背後的邏輯推理和組閤意義。例如，在討論“隔闆法”時，作者通過生動的圖示和具體的實例，將抽象的計數轉化為直觀的幾何問題，讓我茅塞頓開。書中對於鴿巢原理的運用更是齣神入化，從簡單的分配問題到更復雜的證明，都展現瞭這一原理的強大威力。讀到這裏，我感覺到自己仿佛打開瞭一扇通往數學智慧殿堂的大門，對即將到來的更深層次的探討充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

從一名初學者來看，《組閤論-上冊》這本書的難度梯度設置得非常閤理，它不會讓新手望而卻步，但也絕非泛泛之輩可以輕易駕馭。我之前對組閤數學的認知非常有限，僅僅停留在一些基礎的概率題中。接觸這本書後，我發現原來組閤數學的世界如此廣闊而深邃。書的前半部分，作者耐心地講解瞭許多基礎的計數技巧，比如二項式定理、容斥原理等，這些內容在很多其他數學領域都有廣泛的應用。我尤其喜歡作者在講解容斥原理時的那種“減去重疊”的思路，它將原本難以直接計算的集閤大小，轉化為瞭一係列易於計算的部分的組閤。而書中對於遞推關係和生成函數的介紹，更是將我的思維提升到瞭一個新的高度。通過遞推關係，我可以將復雜的問題分解為更小的子問題，而生成函數則為我們提供瞭一種強大的工具，可以將代數問題轉化為組閤問題，或者反之。這種轉化能力，是我在其他書籍中很少見到的。這本書讓我意識到，組閤數學不僅僅是數字的遊戲，它是一種強大的分析工具，能夠幫助我們理解和解決現實世界中的許多問題。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，《組閤論-上冊》這本書給我的最大感受是，它迫使我走齣舒適區，去挑戰那些更具深度和挑戰性的數學問題。我尤其欣賞書中對於一些經典組閤問題的探討，例如卡特蘭數的應用，從路徑計數到括號匹配，再到二叉樹的計數，作者將一個看似簡單的數，賦予瞭如此豐富而深刻的組閤意義。這種“一題多解”或者“一數多義”的呈現方式，讓我驚嘆於數學的精妙之處。書中的某些證明，確實需要反復推敲和思考，但我正是享受這種“攻剋難關”的過程。每當我對一個定理或引理的證明感到睏惑時，作者的引導性的文字和細緻的步驟，總能幫助我撥開迷霧，最終豁然開朗。這本書並非提供現成的答案，而是鼓勵讀者主動去探索和發現。它培養瞭一種“數學探險傢”的精神，讓我更加享受學習數學的過程。對於那些渴望深入理解組閤數學本質，並希望提升自身數學思維能力的讀者來說，這本書無疑是一部不可多得的珍寶。