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柯召 编

图书标签:

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店铺： 金卫文化图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030292902

商品编码：29914607109

丛书名： 组合论-上册

商品参数

组合论（上册）
	曾用价	178.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2016年11月
	开本	16
	作者	柯召，魏万迪
	装帧	圆脊精装
	页数	408
	字数	501
	ISBN编码	9787030292902

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《图论基础与应用》 作者：张宏伟 著 出版社：高等教育出版社 出版时间：2023年10月 --- 内容简介 本书是为计算机科学、信息工程、应用数学及相关领域的本科高年级学生和研究生精心编写的、内容全面且深入的图论教材。它旨在系统地介绍图论的基本概念、核心理论、经典算法及其在实际问题中的广泛应用，尤其侧重于算法设计与分析的视角。 全书共分十章，结构清晰，逻辑严谨，从最基础的图的定义出发，逐步深入到高级主题，力求在理论深度和实用性之间找到完美的平衡点。 第一部分：基础概念与表示（第1章至第3章） 第1章：图论导论与基本元素 本章首先确立了图论研究的对象和范畴。详细阐述了图的类型，包括无向图、有向图、多重图、简单图，以及加权图和无权图的严格数学定义。讨论了图的子结构，如子图、导出子图、路径、回路、割等。此外，本章还介绍了图的几种重要表示方法，如邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）的构建原理、存储效率对比及其在不同算法中的适用性。对图的同构性问题进行了初步探讨，为后续的结构分析奠定基础。 第2章：图的连通性与遍历 连通性是图结构分析的核心。本章深入研究了图的连通分量、强连通分量（针对有向图）的概念和判定算法。重点介绍了两种基本的图遍历技术：广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）。详细分析了这两种遍历算法的实现细节、时间复杂度，以及它们在寻找最短路径（无权图）、检测图的连通性、生成生成树等问题中的关键作用。特别地，探讨了在DFS过程中发现的树边、前向边、后向边和交叉边，以及它们如何用于检测图中是否存在回路。 第3章：图的着色与平面图 图着色是组合优化中的一个经典问题。本章详细介绍了图的顶点着色（Chromatic Number）和边着色（Chromatic Index）的概念。讨论了四色定理的背景与意义，并介绍了威尔逊（Welsh-Powell）算法等启发式算法在估算最小着色数方面的应用。随后，转向图的几何嵌入问题——平面图。定义了平面图、面、回路边界、欧拉公式（Euler’s Formula，$v-e+f=2$），并探讨了平面图的充要条件，如库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem），用以判定一个图是否可平面嵌入。 第二部分：图的结构与路径问题（第4章至第6章） 第4章：生成树与最小生成树（MST） 生成树是图论中解决网络连接最优化的重要工具。本章首先定义了生成树及其性质。核心内容聚焦于最小生成树问题，详细讲解了两种最著名的贪婪算法：普里姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）。对这两种算法的贪婪选择性质进行了严格证明，并分析了它们在并查集（Disjoint Set Union）数据结构优化下的时间复杂度，使其适用于大规模网络设计问题。 第5章：图的最短路径问题 最短路径是网络分析中最核心的问题之一。本章系统地介绍了求解不同场景下最短路径的算法。首先，对于无权图，利用BFS解决。接着，针对带非负权边的图，详细讲解了迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）的原理、实现及优化。最后，针对包含负权边但无负权回路的图，深入分析了贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm），并阐述了如何利用该算法检测负权回路的存在性。单源最短路径与所有对最短路径（Floyd-Warshall算法）的联系与区别也被清晰地阐述。 第6章：欧拉图与哈密顿图 本章探讨了图中“行走”的特性。欧拉路径和欧拉回路的判定条件（度数奇偶性）被清晰地给出，并展示了如何利用DFS的思想构造出欧拉路径。随后，进入难度更高的哈密顿图问题。定义了哈密顿路径和哈密顿回路，并讨论了其判定问题的NP完全性。介绍了欧拉定理、狄拉克定理（Dirac's Theorem）和奥尔定理（Ore's Theorem）等充分条件，帮助读者理解何时可以保证哈密顿回路的存在。 第三部分：网络流与高级主题（第7章至第10章） 第7章：网络流基础与最大流 网络流是图论在运筹学和资源分配中的关键应用。本章以最大流/最小割问题为核心。首先定义了流网络、容量限制和流量守恒定律。重点讲解了福特-富尔克森方法（Ford-Fulkerson Method），并详细阐述了如何使用增广路径的策略来寻找最大流。随后，引入了著名的最大流-最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem）的证明，该定理将网络的最大承载能力与最小阻塞容量紧密联系起来。 第8章：最大流算法的实现与应用 为克服 Ford-Fulkerson 方法在处理大容量时可能遇到的效率问题，本章介绍了更高效的算法。着重讲解了 Edmonds-Karp 算法（使用BFS寻找最短增广路径）和 Dinic 算法（利用层次图进行多路增广）。此外，本章还展示了网络流在二分图匹配（Bipartite Matching）、作业分配等实际问题中的建模与求解。 第9章：匹配理论与图的分解 本章聚焦于图中的匹配结构。详细介绍了二分图中的最大基数匹配问题，并结合最大流理论，展示了如何利用 Hall 定理进行理论分析。随后，扩展到一般图中的匹配问题，介绍了爱德蒙兹的求花算法（Edmonds' Blossom Algorithm）的基本思想，尽管该算法实现复杂，但其理论意义重大。本章还探讨了图的分解，如边分解和道路分解。 第10章：图的代数表示与谱图论初步 作为对理论深度的补充，本章引入了图的矩阵表示法——拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）及其性质。讨论了拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量（谱）与图的连通性、代数连通度之间的关系。初步介绍了谱图论在网络可靠性分析和聚类算法中的应用潜力。 --- 本书特色 1. 理论与实践紧密结合： 每个算法都配有详细的伪代码，并分析了其精确的时间和空间复杂度，便于读者理解算法的效率瓶颈。 2. 丰富的例题与习题： 书中穿插了大量的精心设计的例题来阐释抽象概念，并在每章末尾设置了难度适中的练习题，巩固学习效果。 3. 前沿性视角： 在讨论经典算法的同时，适当地引入了 NP-难问题、近似算法和现代网络分析工具的背景知识，拓宽读者的视野。 本书是图论学习的坚实阶梯，是深入研究算法设计与分析的必备参考书。

评分☆☆☆☆☆

从一名初学者来看，《组合论-上册》这本书的难度梯度设置得非常合理，它不会让新手望而却步，但也绝非泛泛之辈可以轻易驾驭。我之前对组合数学的认知非常有限，仅仅停留在一些基础的概率题中。接触这本书后，我发现原来组合数学的世界如此广阔而深邃。书的前半部分，作者耐心地讲解了许多基础的计数技巧，比如二项式定理、容斥原理等，这些内容在很多其他数学领域都有广泛的应用。我尤其喜欢作者在讲解容斥原理时的那种“减去重叠”的思路，它将原本难以直接计算的集合大小，转化为了一系列易于计算的部分的组合。而书中对于递推关系和生成函数的介绍，更是将我的思维提升到了一个新的高度。通过递推关系，我可以将复杂的问题分解为更小的子问题，而生成函数则为我们提供了一种强大的工具，可以将代数问题转化为组合问题，或者反之。这种转化能力，是我在其他书籍中很少见到的。这本书让我意识到，组合数学不仅仅是数字的游戏，它是一种强大的分析工具，能够帮助我们理解和解决现实世界中的许多问题。

评分☆☆☆☆☆

《组合论-上册》这本书给我的整体感觉是，它并非是在“教”你组合数学，而更像是在“引导”你亲手构建这个学科。我从这本书中获得的，不仅仅是知识的堆砌，更是一种解决问题的思维方式。书中的习题设计得极其精妙，它们往往不是直接考查某个公式的记忆，而是要求读者运用所学的概念和原理，去分析、建模，然后得出结论。我记得有一个关于图论的章节，虽然篇幅不长，但其对图的定义、性质以及一些基本图的性质的阐述，都为后续更复杂的算法和应用奠定了坚实的基础。书中的证明方式也给我留下了深刻的印象，它们往往简洁而优美，充满了数学的艺术感。例如，在证明某个计数恒等式时，作者会提供几种不同的证明方法，从组合意义的解读到代数推导，再到母函数的使用，让我看到同一问题在不同视角下的解决之道。这种多元化的视角，不仅加深了我对知识的理解，更锻炼了我从不同角度审视问题的能力。这本书对于培养独立思考和解决复杂问题的能力，有着不可估量的价值。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《组合论-上册》这本书给我的最大感受是，它迫使我走出舒适区，去挑战那些更具深度和挑战性的数学问题。我尤其欣赏书中对于一些经典组合问题的探讨，例如卡特兰数的应用，从路径计数到括号匹配，再到二叉树的计数，作者将一个看似简单的数，赋予了如此丰富而深刻的组合意义。这种“一题多解”或者“一数多义”的呈现方式，让我惊叹于数学的精妙之处。书中的某些证明，确实需要反复推敲和思考，但我正是享受这种“攻克难关”的过程。每当我对一个定理或引理的证明感到困惑时，作者的引导性的文字和细致的步骤，总能帮助我拨开迷雾，最终豁然开朗。这本书并非提供现成的答案，而是鼓励读者主动去探索和发现。它培养了一种“数学探险家”的精神，让我更加享受学习数学的过程。对于那些渴望深入理解组合数学本质，并希望提升自身数学思维能力的读者来说，这本书无疑是一部不可多得的珍宝。

评分☆☆☆☆☆

这本书的出版，无疑为广大组合数学爱好者提供了一本极具价值的参考资料。我特别喜欢作者在讲解过程中融入的那些历史故事和名人轶事，这使得原本可能枯燥的数学概念变得生动有趣。例如，在介绍某个计数公式时，作者会提及该公式的发现者，以及它在当时所面临的挑战，这不仅让我了解了知识的来龙去脉，也感受到了数学发展的脉络。书中对于一些重要概念的定义和性质的阐述，都极为严谨和准确，我从中受益匪浅。我记得在学习关于置换群的部分时，作者通过列举不同阶数的群的结构，让我直观地理解了群论在组合数学中的重要性。这本书的排版和设计也十分精良，公式的推导清晰明了，图表的绘制也十分规范，这都极大地提升了阅读体验。总而言之，《组合论-上册》是一本集学术性、趣味性和实用性于一体的优秀数学书籍，它不仅能够帮助我提升组合数学的知识储备，更能培养我严谨的数学思维和解决问题的能力，是值得反复研读的佳作。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学的严谨性和逻辑性深深着迷的读者，我一直在寻找一本能够带领我深入探索组合数学奥秘的著作。当我偶然翻开《组合论-上册》时，立刻被其宏大的结构和精妙的编排所吸引。这本书并非那种浅尝辄止的科普读物，它以一种循序渐进但又触及本质的方式，构建起一个庞大而迷人的组合数学体系。开篇的几个章节，作者便以最基础的概念为基石，例如集合、映射、计数原理等，但其阐述之细致，例证之丰富，让我对这些看似简单的概念有了前所未有的深刻理解。我尤其欣赏作者在介绍排列组合时，不仅仅给出公式，更深入剖析了这些公式背后的逻辑推理和组合意义。例如，在讨论“隔板法”时，作者通过生动的图示和具体的实例，将抽象的计数转化为直观的几何问题，让我茅塞顿开。书中对于鸽巢原理的运用更是出神入化，从简单的分配问题到更复杂的证明，都展现了这一原理的强大威力。读到这里，我感觉到自己仿佛打开了一扇通往数学智慧殿堂的大门，对即将到来的更深层次的探讨充满了期待。