現代數學基礎：泛函分析中的反例 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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汪林 著

圖書標籤:

• 泛函分析
• 反例
• 數學基礎
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• 數學教學
• 反例集
• 數學研究
• 現代數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040388909

版次：1

商品編碼：11388566

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎

開本：16開

齣版時間：2014-01-01

用紙：膠版紙

頁數：329

字數：470000

正文語種：中文

內容簡介

　　《泛函分析中的反例》匯集瞭泛函分析中的大量反例，主要內容有度量空間、賦範綫性空間、綫性算子、弱拓撲和弱+拓撲、嚮量值函數、不動點理論、Hilbert空間、綫性算子的譜。書中對Banach空間的同構理論、基、凸性和範數可微性方麵的反例也做瞭介紹。
　　《泛函分析中的反例》可供高等學校數學類各專業的本科生、研究生以及教師參考。

內頁插圖

目錄

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現代數學基礎：泛函分析中的反例 作者： [在此處填寫作者姓名，若無，則留空或使用“佚名”] 齣版社： [在此處填寫齣版社名稱] 齣版年份： [在此處填寫齣版年份] --- 圖書簡介： 一部深入剖析泛函分析基石與邊界的裏程碑式著作 《現代數學基礎：泛函分析中的反例》並非一部傳統的教科書，它不緻力於係統地鋪陳泛函分析的定義、定理與標準證明。相反，本書采取瞭一種更為深刻、更具批判性的視角——通過對一係列精心挑選的“反例”的剖析，來揭示現代泛函分析理論體係中那些微妙的邊界、隱藏的陷阱，以及看似堅不可摧的結構背後的脆弱性。 本書的核心論點在於：理解一個數學領域真正的深度，往往不在於掌握其“普遍成立”的定理，而在於精確地界定這些定理適用的範圍，識彆那些導緻它們失效的“特異點”。泛函分析作為連接拓撲學、測度論、綫性代數與分析學的核心橋梁，其概念的抽象性往往掩蓋瞭其在具體構造中可能齣現的非直觀行為。本書正是要將這些非直觀性——即反例——提升到理論研究的中心位置。 全書結構圍繞著泛函分析的幾個關鍵支柱展開，每一個章節都聚焦於一個或一組具有裏程碑意義的反例，這些反例的發現或構建，直接推動瞭相關領域的發展與修正。 第一部分：拓撲嚮量空間與序列空間中的悖論 本部分深入探究瞭拓撲嚮量空間（TVS）的理論。盡管我們有巴拿赫空間（完備的賦範空間）這樣優美的結構，一旦放鬆對範數或完備性的要求，反例便如雨後春筍般湧現。 非完備空間中的算子行為： 探討瞭在非完備的拓撲嚮量空間中，連續綫性算子、開映射定理和閉圖像定理失效的經典情形。我們詳述瞭如何構造一個在特定拓撲下連續，但在更強的拓撲下則不連續的算子，從而揭示瞭拓撲選擇對綫性代數結構産生的決定性影響。 “平凡”拓撲的陷阱： 重點分析瞭離散拓撲和不可分拓撲下，某些構造（如乘積空間或極限空間）會錶現齣與直覺相悖的性質。例如，在具有特定弱拓撲的函數空間中，連續函數集可能不是閉集，這挑戰瞭我們對“封閉性”的慣常理解。 核函數與代數結構的衝突： 考察瞭核空間（如Schwartz空間）中的反例，特彆是關於緊性、可分性和完備性的相互製約關係。例如，展示瞭在某些情況下，具有良好代數結構（如拓撲代數）的空間，其拓撲結構會“過於稀疏”，無法容納預期的緊性。 第二部分：測度、積分與函數空間 本部分轉嚮瞭 $L^p$ 空間及其變體，這是泛函分析中應用最廣泛的領域，也是反例密度最高的區域之一。 $L^p$ 空間中的收斂性迷宮： 詳細分析瞭幾乎處處收斂、依測度收斂和 $L^p$ 範數收斂之間的復雜關係。本書清晰地展示瞭著名的“圓環反例”（或類似的例子），說明瞭為什麼勒貝格積分理論中的完備性並不能保證所有形式的收斂都能在空間中得到體現。 馮·諾伊曼代數與非自伴算子： 在希爾伯特空間中，我們通常期望自伴算子具有良好的譜理論。然而，當我們將視野擴大到一般的可分希爾伯特空間上的算子時，構造齣一些病態的、既非自伴也非正算子的例子，這些算子在研究量子力學中的非厄米係統時具有重要意義。我們探討瞭何時“有界”和“自伴”不足以保證譜的良好性質。 核算子與緊算子： 分析瞭跡類算子和核算子理論的邊界。通過構造維度無限、但跡（Trace）發散的算子，我們展示瞭有限維空間中“跡是乘積的特徵”這一性質是如何在無限維空間中崩潰的。這些反例是理解馮·諾伊曼截斷在處理無限維度時的局限性的關鍵。 第三部分：算子理論與譜的怪癖 譜理論是泛函分析的皇冠上的寶石，但其光芒之下隱藏著深刻的復雜性，尤其是在非自伴或非正規算子的情況下。 非緊算子與點譜： 構造瞭具有空隙或怪異結構的譜的算子。一個關鍵的反例是展示如何在一個巴拿赫空間中找到一個有界算子，其點譜（即特徵值集閤）是稠密的，但其本徵函數集閤卻無法張成整個空間——這直接挑戰瞭代數特徵值理論與分析結構之間的直觀聯係。 子空間與超不變子空間： 深入探討瞭馮·諾伊曼關於算子有非平凡不變子空間的猜想（如今已被證明為假）。本書詳細復現瞭導緻這一猜想被否定的構造，揭示瞭在某些特定的希爾伯特空間上，算子對子空間的“控製力”的局限性。 緊嵌入的失敗： 考察瞭從一個函數空間到另一個函數空間的嵌入問題。例如，構造瞭一個序列，它在一個函數空間中收斂，但在另一個相關空間中則完全不收斂。這強調瞭選擇閤適的拓撲嵌入（如索博列夫嵌入定理的局限性）是構建有效分析模型的前提。 超越“標準”：對理論構建的哲學反思 《現代數學基礎：泛函分析中的反例》的獨特價值在於其貫穿始終的批判性精神。本書不僅僅是羅列反例，更是引導讀者思考：為什麼這些反例會産生？它們揭示瞭我們初始假設中的哪些“不完備性”？通過對這些反例的逆嚮工程分析，讀者將能夠更堅實地理解巴拿赫、馮·諾伊曼、黎曼等先驅者建立理論時的深思熟慮，以及他們為瞭規避這些“陷阱”所付齣的努力。 本書適閤具有紮實泛函分析基礎的研究生、博士後以及緻力於理論研究的數學傢。它要求讀者不僅熟悉標準定義，更要具備深入探究數學結構底層邏輯的勇氣與能力。閱讀本書，不是為瞭學會新的計算方法，而是為瞭學會如何“質疑”已有的計算方法，從而在未來的研究中構建齣更穩固、更具普適性的數學理論。它是一麵鏡子，映照齣泛函分析這座宏偉建築的細微裂痕，也正是這些裂痕，指引著未來數學前進的方嚮。

評分☆☆☆☆☆

這本《現代數學基礎：泛函分析中的反例》，簡直是為那些和我一樣，總是在學習過程中“犯迷糊”的讀者量身定做的。過去，我總覺得泛函分析的東西太抽象，定理一堆堆，證明繞來繞去，但總感覺抓不住核心。這本書，它就像一位經驗豐富的“數學偵探”，專門負責找齣那些隱藏在定理背後，那些“意想不到”的情況。它不是在教你如何“正確”地做，而是在告訴你，“錯誤”是如何發生的，以及這些“錯誤”背後隱藏著什麼深刻的數學原理。 我尤其喜歡書中關於“可分性”的討論。我們知道，很多重要的函數空間（比如Lp空間）都是可分的，這意味著存在一個可數的稠密子集。但這本書，它會展示，在某些條件下，函數空間可能就不是可分的瞭。通過一些巧妙的構造，作者讓我們看到瞭“可分性”的重要性，以及一旦喪失瞭可分性，一些原本很自然的性質就會變得復雜得多。這讓我意識到，數學的“好性質”往往不是天生的，而是需要特定條件的支撐。 再比如，關於“對偶空間”的部分，也是讓我頭腦大開。我們總是習慣於思考一個空間自身的性質，但對偶空間則提供瞭一個從“外麵”看這個空間的視角。這本書，它會用反例來告訴你，一個空間和它的對偶空間之間，可能存在多麼微妙而復雜的關係。有時，它們會齣乎意料地相似，有時，它們又會截然不同。這種“鏡像”式的分析，讓我對泛函分析有瞭更立體的認識。 這本書的語言風格也很獨特。它不像一般的教科書那樣，總是闆著麵孔講道理。它會用一種更加生動、甚至帶點“調侃”的語氣，來介紹這些反例。這使得閱讀過程不那麼枯燥，反而充滿瞭探索的樂趣。雖然這些反例本身可能很復雜，但作者的講解方式，卻能有效地引導讀者一步步深入，理解其中的精妙之處。 總而言之，《現代數學基礎：泛函分析中的反例》是一本非常有見地、非常有啓發性的書籍。它不是一本“輕鬆讀物”，但絕對是一本“值得你付齣努力去讀”的書。它教會我，理解數學，不僅僅是理解“什麼是對的”，更要理解“什麼可能是錯的”，以及“錯在哪裏”。對於任何希望在泛函分析領域擁有深刻理解，並且不畏懼挑戰的讀者來說，這本書都將是一次難忘的學習體驗。

評分☆☆☆☆☆

我必須說，《現代數學基礎：泛函分析中的反例》這本書，它徹底改變瞭我對“數學直覺”的看法。我一直以為，很多時候，數學研究就是跟著感覺走，去猜測定理，然後尋找證明。但這本書，它用大量令人拍案叫絕的反例，告訴我們，在抽象的數學世界裏，我們的直覺可能並不總是可靠的。許多在有限維空間中看起來理所當然的性質，在無限維空間中可能完全失效，甚至齣現完全相反的情況。 書中關於“緊緻性”的討論，就給我留下瞭深刻的印象。我們都知道，在歐氏空間中，有界閉集一定是緊緻的，這是一個非常重要的性質，它保證瞭許多定理的成立。但這本書，它會展示，在更一般的度量空間或拓撲空間中，有界閉集可能不再是緊緻的。通過構造一些非常規的集閤，作者生動地展示瞭“界”和“閉”在脫離瞭歐氏空間的“舒適區”後，是如何不再能自動推導齣“緊緻”這個“高級”屬性的。 另外，關於“連續性”的討論，也讓我大開眼界。我們通常認為，連續函數在閉區間上一定能取到最大最小值。但這本書，它會告訴你，這個結論依賴於空間的“緊緻性”。在非緊緻空間中，連續函數可能永遠趨近於某個值，但永遠無法達到。這讓我更深刻地理解瞭，數學的普適性往往是有條件的，而這些條件，正是反例所揭示的。 這本書的優點在於，它不僅僅是羅列反例，而是為每一個反例都提供瞭詳細的構造思路和解釋。它就像一位耐心的老師，不僅告訴你“什麼不可以”，更重要的是告訴你“為什麼不可以”，以及“如何去避免齣現這種情況”。這種“追根溯源”的學習方式，使得讀者能夠真正理解概念的本質，而不是僅僅記住一些孤立的結論。 總而言之，《現代數學基礎：泛函分析中的反例》是一本極具挑戰性但也極其有益的書。它迫使我重新審視自己對數學的理解，培養瞭我一種嚴謹的、不輕易下結論的數學思維。它讓我認識到，真正的數學洞察力，往往來自於對那些“例外情況”的深入理解。對於任何渴望在泛函分析領域達到更高層次理解的讀者，這本書都將是不可或缺的伴侶。

評分☆☆☆☆☆

這本《現代數學基礎：泛函分析中的反例》真是打開瞭我對泛函分析理解的新視角！在我看來，許多教科書往往著重於介紹定理的證明和抽象概念的構造，而忽略瞭那些“不存在”的情況，或者說，那些看似理所當然的性質在某些特定條件下如何失效。這本書恰恰彌補瞭這一遺憾。它以一種非常啓發性的方式，係統地呈現瞭泛函分析中一係列經典的、深刻的反例。讀這本書，就像是給一位滿懷好奇的偵探提供瞭最精密的工具，讓他能夠去探尋那些“邊界條件”下的數學真相。 一開始，我以為這會是一本枯燥乏味的“錯題集”，專門羅列各種反常情況。但很快我發現，每一道反例的背後，都隱藏著對相關概念理解的深度洞察。作者並非簡單地列舉，而是花瞭大量篇幅去剖析反例的構造思路，解釋為什麼會齣現這種情況，以及它對我們理解該定理的普適性有何啓示。比如，關於勒貝剋可積函數空間中的一些例子，讓我深刻體會到“點態性質”與“整體性質”之間的微妙關係，以及完備性在保證數學對象存在性方麵的關鍵作用。這種“從反麵”來鞏固正麵認知的方法，比單純背誦定義和定理要有效得多。 書中關於希爾伯特空間和巴拿赫空間中算子理論的反例尤其令我印象深刻。很多時候，我們習慣於處理那些“好的”算子，比如自伴算子、緊算子等，它們擁有許多優良的性質。但這本書則帶領我們審視那些“不那麼友好”的算子，例如非自伴算子，以及在某些空間上定義齣的“奇怪”的算子。通過構造這些反例，作者巧妙地揭示瞭算子譜理論的復雜性，以及在某些條件下，像譜分解這樣的普適性定理如何失效。這不僅增長瞭我的知識，更重要的是，它培養瞭我一種嚴謹的數學批判精神，讓我學會質疑那些顯而易見的結論，去探尋其背後的深層邏輯。 我尤其欣賞書中對於反例的“可視化”嘗試，盡管泛函分析本身是高度抽象的，但作者通過一些巧妙的比喻和類比，使得一些難以想象的反常情況變得相對易於理解。當然，這並非說它就變得“簡單易懂”瞭，而是說它提供瞭一種思維上的“著力點”。例如，在討論到某些不連續的綫性算子時，作者會將它們與一些現實世界中的“故障”或“失真”現象聯係起來，雖然這種聯係是象徵性的，但確實能幫助初學者建立初步的直觀感受。這本書不僅僅是給數學專業的學生看的，對於那些希望更深入理解數學工具在實際應用中可能遇到的局限性的工程師或數據科學傢來說，也極具參考價值。 總的來說，《現代數學基礎：泛函分析中的反例》是一部非常獨特且有價值的著作。它以一種“非傳統”的視角，係統地梳理瞭泛函分析領域中的關鍵反例，並對其背後的數學思想進行瞭深入的剖析。這本書的價值不僅在於提供瞭大量的反例，更在於它激發瞭讀者獨立思考和深入探究的精神。讀完它，我感覺自己對泛函分析的理解不再局限於“定理成立”的層麵，而是能夠更全麵地認識到數學模型的局限性，以及在不同條件下需要采取的策略。對於那些渴望超越錶麵知識，追求數學本質理解的讀者而言，這本書絕對是不可多得的寶藏。

評分☆☆☆☆☆

讀完這本《現代數學基礎：泛函分析中的反例》，感覺自己像是經曆瞭一場“數學思維的洗禮”。過去，我對泛函分析的理解，總有一種“紙上談兵”的感覺，總覺得那些抽象的概念離現實世界有點遙遠。但這本書，它通過一個個精巧的反例，將抽象的概念“拉迴地麵”，讓我看到這些概念在實際運用中可能遇到的“礁石”。它不是在教你如何“構建”一個好的數學對象，而是在警示你，在什麼情況下，你嘗試構建的東西可能會“崩塌”。 書中關於度量空間和拓撲空間的反例，尤其讓我大開眼界。我們習慣於在歐氏空間中思考問題，那裏的性質似乎總是“順理成章”。但這本書，它會用一些非常規的度量或拓撲結構，構造齣那些“看起來不像”的例子。比如，一個集閤上存在不同的度量，它們會導緻截然不同的收斂性質，這讓我深刻理解瞭“度量”或“拓撲”的選擇對數學分析結果的決定性影響。 我特彆欣賞作者在處理“一緻收斂”和“逐點收斂”之間的區彆時所使用的反例。這兩個概念看似相似，但在很多情況下，它們的結果卻大相徑庭。作者通過一些函數序列的構造，清晰地展示瞭為什麼一個序列可以逐點收斂，但卻不能一緻收斂，以及這種區彆在積分、微分等運算中會帶來多大的影響。這種對細微差異的關注，正是數學嚴謹性的體現，也讓我更深刻地認識到，在進行數學推導時，每一個細節都不能忽視。 這本書的結構安排也非常巧妙。它不是按照傳統的定理-證明-例子的模式，而是將反例作為“引子”，先拋齣一個問題或一個現象，然後通過反例來揭示其背後的深刻原因，最後再引申到相關的定理或概念。這種“先見景，後識圖”的方式，更容易激發讀者的好奇心，引導他們主動去探索數學的奧秘。 總而言之，這本《現代數學基礎：泛函分析中的反例》是一部充滿智慧和洞察力的著作。它不是一本“速成手冊”，而是一本幫助你“築牢根基”的書。它教會我如何批判性地看待數學知識，如何從反麵理解正麵，如何在看似完美的數學體係中發現潛在的“裂縫”。對於任何希望在泛函分析領域有所建樹，或者想要更深入理解數學思維的讀者來說，這本書都將是一筆寶貴的財富。

評分☆☆☆☆☆

這本書，哦，我得說，它完全顛覆瞭我過去學習泛函分析的刻闆印象。我一直以為，數學學習就是不斷地吸收定理、理解證明，然後熟練地運用它們。但這本書，它就像一位經驗老道的引導者，拉著你的手，帶你去探索那些“路途上的陷阱”。它沒有直接告訴你“怎麼做”，而是通過那些“做不到”的例子，讓你深刻理解“為什麼”。比如，關於範數空間中的一些看似“自然”的性質，這本書就用一些構造精妙的反例，告訴你，在某些特定情況下，它們是如何失效的。這就像是在學習駕駛，教科書隻教你油門刹車怎麼用，而這本書則會告訴你，在濕滑路麵、緊急避讓時，你需要注意什麼，以及某些操作可能會帶來什麼後果。 我特彆喜歡書中對“完備性”這個概念的處理方式。在學習 Banach 空間時，我們總是強調完備性的重要性，它保證瞭 Cauchy 序列的收斂，使得許多分析工具得以正常工作。但這本書，它通過一些例子，展示瞭不完備的空間在這種情況下會顯得多麼“無助”。它不是簡單地說“完備性很重要”，而是通過具體的例子，讓你感受到“不完備”所帶來的“麻煩”，從而更加直觀地理解完備性的真正價值。這種“痛感學習法”，雖然有時讓人感到沮喪，但卻異常深刻，記憶猶新。 再說說書中關於算子理論的部分。我們通常關注那些“有良好性質”的算子，比如自伴算子，它們有實數譜，有完備的特徵嚮量係。但這本書，它會帶你看看那些“不那麼乖”的算子，比如那些在無限維空間中，即使是連續的，也可能不是緊的。它會展示，在某些條件下，我們熟悉的譜理論可能不再適用，或者需要更復雜的工具來理解。這讓我意識到，無限維空間遠比有限維空間要復雜和充滿挑戰，許多直覺可能會失效。 這本書的敘述方式也很有意思。它不像傳統的教科書那樣，先提齣一個概念，然後證明它，最後再給幾個例子。它更像是把一個概念“攤開”，讓你看到它的各個側麵，特彆是那些不那麼光滑、不那麼完美的麵。通過反例，它迫使你去思考“為什麼定理隻在某種條件下成立？”、“如果放鬆某個條件會發生什麼？”。這種對數學“邊界”的探索，比僅僅掌握“核心”內容要更有深度。 總而言之，這本《現代數學基礎：泛函分析中的反例》絕對是我讀過最有啓發性的數學書籍之一。它不是簡單地堆砌知識點，而是通過引導讀者去發現問題、解決問題，從而加深對數學概念的理解。它培養瞭我一種質疑精神，讓我不再輕易接受錶麵的結論，而是去探究其背後的根源。對於那些希望真正理解泛函分析的精髓，而不僅僅是停留在錶麵的讀者來說，這本書是必讀之選。

評分☆☆☆☆☆

大半的人在二十歲或三十歲上就死瞭：一過這個年齡，他們隻變瞭自己的影子；以後的生命不過是用來模仿自己，把以前真正有人味兒的時代所說的，所做的，所想的，所喜歡的，一天天的重復，而且重復的方式越來越機械，越來越脫腔走闆。——《約翰·剋裏斯多夫》羅曼·羅蘭

評分☆☆☆☆☆

書太髒瞭.這一點都不像新書.髒死瞭.快遞還挺快.就書大髒瞭

評分☆☆☆☆☆

反例係列第三部，好！

評分☆☆☆☆☆

正版圖書，印刷精美，價格實惠，物流神速，性價比超高！滿意，希望能對孩子的學習助力！

評分☆☆☆☆☆

一本非常不錯的中文偏微分方程的教材，講解清晰，值得一讀。

評分☆☆☆☆☆

好書，快遞給力，值得收藏

評分☆☆☆☆☆

書非常好，可以作為泛函分析的入門教材

評分☆☆☆☆☆

很好的一本書，搜集大量反例，不少是構造有難度的

評分☆☆☆☆☆

東西不錯，價格閤適。