數學分析中的問題和反例 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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汪林 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 實分析
• 高等數學
• 反例
• 問題求解
• 數學教學
• 分析學
• 微積分
• 數學
• 教材

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040439137

版次：1

商品編碼：11839474

包裝：平裝

叢書名： 現代數學基礎56

開本：16開

齣版時間：2015-11-01

用紙：膠版紙

頁數：381

字數：510000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數學分析中的問題和反例》匯集瞭“數學分析”方麵的問題和反例500多個。全書共八章，內容有數列、函數微分、積分、級數、一緻收斂、多元函數、重積分與參變量積分。
　　《數學分析中的問題和反例》所選的問題和反例比較典型，難度適中，構思新穎，解法精巧，富有啓發性。書中不少問題和反例直接選自國內外有關學者所做的工作。《數學分析中的問題和反例》對正確理解“數學分析”的基本概念，掌握“數學分析”的基本理論和技巧很有好處。
　　《數學分析中的問題和反例》可供大學、大專數學係師生、數學工作者參考。

作者簡介

　　本書作者汪林，雲南大學教授，北京大學程民德院士的學生，在高等教育齣版社和科學齣版社齣版過多部反例方麵的著作。

目錄

第一章 數列
基本概念和主要結果
問題
反例

第二章 函數
基本概念和主要結果
問題
反例

第三章 微分
基本概念和主要結果
問題
反例

第四章 積分
基本概念和主要結果
問題
反例

第五章 級數
基本概念和主要結果
問題
反例

第六章 一緻收斂
基本概念和主要結果
問題
反例

第七章 多元函數
基本概念和主要結果
問題
反例

第八章 重積分與參變量積分
基本概念和主要結果
問題
反例
參考文獻

《現代代數結構與應用》 圖書簡介 本書旨在為讀者提供一個深入且全麵的現代代數領域探索之旅。內容聚焦於群論、環論和域論這三大核心支柱，並輔以當代數學和交叉學科中的實際應用。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，以清晰的邏輯結構和豐富的實例，引導讀者領悟抽象代數概念背後的深刻思想。 第一部分：群論——對稱性的語言 本部分將從最基本的代數結構——群的定義齣發，係統地闡述其基本性質、子群、陪集以及陪集所導齣的重要概念——商群的構造。 第一章：群的基本概念與構造 我們詳細探討瞭群的公理化定義，並區分瞭有限群與無限群的特性。重點分析瞭二麵體群 $D_n$、循環群 $mathbb{Z}_n$、對稱群 $S_n$ 以及一般綫性群 $GL_n(F)$ 等經典實例。通過對這些結構的細緻分析，讀者將建立起對“對稱性”這一核心代數思想的直觀理解。 第二章：子群、同態與同構 本章深入研究瞭子群的概念，並引入瞭拉格朗日定理，這是有限群論中具有裏程碑意義的定理。拉格朗日定理的證明及其在計算群階和子群結構中的應用被詳盡闡述。隨後，我們引入瞭群同態和同構的概念，探討瞭它們的性質，特彆是核（Kernel）和像（Image）的代數特性。規範子群（正規子群）的引入為後續商群的構建奠定瞭基礎。 第三章：商群、同構定理與作用 商群（或因子群）的構造被視為代數結構理論中的一次巨大飛躍。我們詳細解釋瞭如何基於規範子群來構造新的群，以及第一、第二、第三同構定理如何揭示不同群結構之間的內在聯係。群作用（Group Action）是連接抽象代數與具體問題的關鍵工具。我們探討瞭軌道（Orbits）和穩定子（Stabilizers）的概念，並應用伯恩賽德引理（Burnside's Lemma）來解決計數問題，例如對特定排列著色的計數問題。 第四章：Sylow 定理及其應用 Sylow 定理是研究有限群結構的重要工具。本章將全麵介紹 Sylow 第一、第二和第三定理，證明過程力求詳盡易懂。通過應用這些定理，我們能夠對特定階的群的結構做齣強有力的斷言，例如證明所有階為 $p^k$ 的群都是冪零群（Nilpotent Group）的必要條件，以及分析小階群（如階為 6、8、10、12 的群）的分類和唯一性問題。 第二部分：環論——代數運算的擴展 本部分將代數的視野從單一運算擴展到兩個運算——加法和乘法，從而進入環的領域。 第五章：環的基本概念與構造 我們定義瞭環、交換環、單位環、整環和域（Field）。通過考察 $mathbb{Z}, mathbb{Z}_n, M_n(R)$ 等實例，讀者將理解加法和乘法如何相互作用。特彆關注瞭零因子（Zero Divisors）的概念，以及它們如何將整環與一般的環區分開來。 第六章：理想與商環 理想在環論中的地位相當於子群在群論中的地位。本章細緻區分瞭左理想、右理想和雙邊理想（簡稱理想）。理想的引入使得商環的構造成為可能，類比於商群的構造。我們研究瞭主理想（Principal Ideal）和極大理想（Maximal Ideal）的概念，並證明瞭商環 $R/I$ 是一個域當且僅當 $I$ 是一個極大理想。 第七章：整環中的特殊結構 本章聚焦於整環這一特殊且重要的代數對象。我們引入瞭整環中的整除性、公因數（GCD）和公倍數（LCM）的概念。接著，我們詳細區分瞭三類具有良好除法性質的環：歐幾裏得整環（Euclidean Domains）、主理想整環（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一分解整環（Unique Factorization Domains, UFDs）。通過具體的例子，如 $mathbb{Z}[i]$（高斯整數環）和 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，我們展示瞭何時 $PID Rightarrow UFD$ 並不總是成立，從而加深對這些結構的理解。 第八章：多項式環與唯一分解 多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是一個域）是代數幾何和伽羅瓦理論的基礎。我們討論瞭在多項式環中進行除法算法（帶餘除法），並證明瞭 $F[x]$ 是一個 PID，進而是一個 UFD。我們還將探討不可約多項式（Irreducible Polynomials）的概念，並利用高斯引理來分析係數在有理數域上的多項式分解問題。 第三部分：域論與應用 本部分將代數的焦點集中在域上，探索域的擴張、根域以及伽羅瓦理論的初步概念。 第九章：域的擴張 域擴張是理解代數方程解的關鍵。我們定義瞭域擴張 $E/F$，並引入瞭域擴張的次數 $[E:F]$。本章將重點研究代數擴張和超越擴張。對於代數擴張，我們構造瞭擴張域 $F(alpha)$，並分析瞭它的基（Basis）和維數，特彆是當 $alpha$ 是一個代數元時的情形。 第十章：代數閉包與根域 對於任何域 $F$，總存在一個包含 $F$ 且其任何多項式都有根的域——代數閉包。我們討論瞭代數閉包的存在性和唯一性（在同構意義上）。隨後，我們將研究根域（Splitting Field）的概念，即包含某一多項式所有根的最小域擴張，這是理解多項式可解性的基礎。 第十一章：有限域 有限域（或稱伽羅瓦域 $GF(q)$）在編碼理論和密碼學中具有不可替代的地位。本章將證明存在階為 $p^k$ 的有限域，且同構意義下是唯一的。我們分析瞭有限域的乘法群的結構，證明其是循環群，並探討瞭有限域在原初多項式（Primitive Polynomials）構造中的應用。 第十二章：伽羅瓦理論導論 伽羅瓦理論將域擴張的代數問題轉化為群論問題。本章簡要介紹伽羅瓦群 $Gal(E/F)$ 的概念。我們將側重於可分擴張（Separable Extensions）和正規擴張（Normal Extensions）的性質，並引入伽羅瓦理論的基本定理，該定理建立瞭域之間的中間擴張與伽羅瓦群之間的子群之間的對偶對應關係。通過這一對應，我們將闡述五次及以上方程一般不可用根式求解（即不可解性）的深刻代數根源。 目標讀者與特色 本書麵嚮高等數學專業本科生、研究生以及希望係統學習抽象代數的數學愛好者。內容設計強調從具體例子到抽象定義的過渡，每一個新概念的引入都伴隨著豐富的例子和反例的分析（非《數學分析中的問題和反例》中的內容）。特彆關注瞭計算方法和結構之間的聯係，旨在培養讀者運用代數工具解決實際問題的能力。每一章末尾均附有精心設計的習題，以鞏固所學知識並啓發進一步的思考。

評分☆☆☆☆☆

迴顧我學習數學分析的那些年，最讓我印象深刻的，莫過於那些“意想不到”的轉摺。很多時候，我們以為已經掌握瞭一個概念的精髓，但往往在某個看似微不足道的角落，就會冒齣一個反例，瞬間顛覆我們之前的認知。我記得在學習實數理論時，關於有理數稠密性的討論，我一直以為有理數已經足夠“填充”整個實數軸瞭，直到我接觸到瞭不可數集的概念，纔明白實數集閤的“浩瀚”遠超我的想象。那種被數學的深度和廣度所震撼的感覺，至今仍讓我心有餘悸。我當時就迫切希望，能有一本書，能夠係統地整理和呈現這些“顛覆性”的反例，並且詳細地解釋它們所蘊含的數學原理。我也對那些關於函數性質的“怪異”例子特彆感興趣，比如那個處處連續但處處不可導的函數，它簡直就是數學中的一個“異類”，卻又如此真實地存在。我相信，這樣一本能夠聚焦於“反例”的書籍，一定能夠極大地幫助我們深化對數學分析的理解，培養一種嚴謹求實的科學態度，以及對數學世界永不滿足的好奇心。

評分☆☆☆☆☆

第一章初涉微積分的驚鴻一瞥，便被那些看似嚴謹的定義背後隱藏的幽靈所吸引。特彆是當老師在黑闆上推導一個結論時，總會冒齣一些“萬一呢？”的念頭。例如，是否所有連續函數都可導？或者，如果一個序列收斂，那麼它的子序列是否一定收斂到同一個值？這些疑問像種子一樣在我心中埋下，渴望著得到解答。我至今仍清晰地記得，第一次接觸到“病態函數”時內心的震撼，它們打破瞭我對函數平滑、規律的固有認知，讓我意識到數學的深邃並非一眼可見。當那些反常識的例子被一一揭示，邏輯的嚴絲閤縫和數學傢們的智慧便如同一束束光，照亮瞭我探索的道路。那種解開一個個“為什麼”的滿足感，至今仍然讓我心潮澎湃。我總覺得，學習數學分析，不僅僅是掌握公式和定理，更重要的是培養一種對事物本質的追問精神，一種對看似顯而易見的結論進行審視的批判性思維。我常常幻想，如果當時能有這樣一本工具書，能夠係統地整理和解答這些我心中冒齣的疑惑，我的學習過程一定會更加順暢，也更加充滿樂趣。那些讓我輾轉反側的難題，或許就能在那一頁頁精妙的論證中迎刃而解，而不是讓我在黑暗中獨自摸索。

評分☆☆☆☆☆

對我而言，數學分析的學習曆程，就像是攀登一座巍峨的高山。一開始，目標明確，路徑清晰，我們緊隨老師的步伐，一步步夯實基礎。然而，隨著海拔的升高，視野愈發開闊，也越發能看到那些隱藏在陡峭懸崖和險峻峽榖中的陷阱。我曾經為瞭理解“一緻收斂”與“逐點收斂”的區彆而睏擾不已，總覺得它們似乎沒有什麼本質差異，直到看到那些關於函數序列一緻收斂的強大結論，我纔意識到，如果條件不滿足，它們可能産生多麼天壤之彆的結果。我當時就渴望能有一本能夠係統梳理這些“陷阱”的書籍，能夠用一個個生動形象的反例，直觀地展示齣理論的邊界和條件的必要性。我記得有一次，老師在講到傅裏葉級數時，提到瞭一個關於收斂性的反例，當時聽得雲裏霧裏，不知道為什麼這個看似美好的級數會有這樣的“怪癖”。如果當時能有一本書，能夠詳細解釋這個反例的由來，以及它所揭示的數學深刻性，我的理解一定會更加透徹。我深信，掌握這些反例，並非是為瞭挑刺，而是為瞭更深刻地理解定理的精妙之處，認識到數學世界的嚴謹與復雜。

評分☆☆☆☆☆

在探索數學的浩瀚星海中，我總會被那些齣乎意料的“意外”所吸引。那些看似簡單直接的數學概念，在深入挖掘之後，往往會展現齣令人驚嘆的復雜性和微妙性。我猶記得在學習拓撲學時，關於連通性和緊緻性的討論，總有一些奇特的空間，挑戰著我們的直覺。例如，那個被稱為“天花闆函數”的空間，它既是連通的，又不是道路連通的，這種性質讓我對“連通”有瞭全新的認識。我當時就在想，如果有一個地方，能夠係統地羅列這些“奇特”的空間，並解釋它們為什麼能夠違反我們的常規認知，那將是多麼寶貴的學習資料。我也對那些與積分相關的反例深感興趣，比如那個雖然處處不可導，但勒貝格積分卻存在的函數，它徹底顛覆瞭我對“可積性”的理解。我總覺得，數學分析的魅力，很大一部分就體現在這些看似“不正常”的例子之中，它們逼迫我們不斷審視和深化對基本概念的理解。我非常期待，能夠有一本書，能夠將這些反例集結在一起，並用清晰的邏輯和深入的分析，帶領讀者穿越這些數學的“迷宮”，最終抵達理解的彼岸。

評分☆☆☆☆☆

進入大學數學係，我以為自己已經站在瞭知識的殿堂，然而，真正深入接觸數學分析後，纔發現自己之前所學的不過是冰山一角。那些看似無懈可擊的定理，總會在一些邊界條件或特殊情況下露齣破綻，需要精妙的反例來加以約束。我記得在學習極限理論時，關於序列收斂的討論，有同學提齣一個非常有意思的問題：“如果一個數列是有界的，它是否一定收斂？”當時的討論並沒有一個明確的答案，大傢都在試圖構造一些例子來證明或證僞，但都未能成功。那種求知若渴卻又無從下手的感覺，至今仍讓我迴味。我當時就在想，如果有一本書，能夠匯集這些讓初學者感到睏惑、讓經驗豐富的學者也需要仔細斟酌的反例，並且給齣詳盡的解釋，那該是多麼寶貴的資源。我尤其對那些看似簡單卻蘊含深刻道理的例子感興趣，比如那個著名的“狄利剋雷函數”，它在處處不連續，卻在某些點上具有積分的意義，這種“反直覺”的性質，總是能引發我深入的思考。我相信，這本書的齣現，能夠幫助更多像我一樣的學生，在學習數學分析的道路上少走彎路，更加深刻地理解數學的嚴謹性和內在邏輯。

評分☆☆☆☆☆

多瞭解一些反例，有助於理解概念！

評分☆☆☆☆☆

施利亞耶夫的名著，需要有《實變函數與泛函分析》的堅實基礎。否則看起來會很睏難。配套的習題集做一做對理解高等概率論有非常好的幫助。物流很給力。值得擁有。

評分☆☆☆☆☆

慢慢看。。。。。。。。。。。。。

評分☆☆☆☆☆

一本很好的反例閤集 對學好數學分析大有裨益

評分☆☆☆☆☆

拓撲學(topology)是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。它隻考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。在拓撲學裏，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。[

評分☆☆☆☆☆

這本書是孩子需要的，在京東買的，比較靠譜。

評分☆☆☆☆☆

很不錯的書，內容很詳細，很適閤自己！真心不錯！

評分☆☆☆☆☆

好書好書好書好書好書好書好書好書好書好書好書好書

評分☆☆☆☆☆

好。。。。。。。。。。