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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030566621

商品编码：29914574624

丛书名： 代数选讲

商品参数

代数选讲
	曾用价	68.00
	出版社	科学出版社
	版次	1
	出版时间	2018年03月
	开本
	作者	王宪栋
	装帧	平装
	页数	0
	字数	255000
	ISBN编码	9787030566621

内容介绍
本书是代数学的入门读物，主要讨论基本概念与方法。从直观例子分析到抽象概念引入，循序渐进，不断深化。全书共24讲，前12讲主要对代数学的基础性内容进行梳理，包括群、环、域、模及向量空间与线性映射的定义与例子，以及一些基本结论的推导；后12讲介绍代数学中的一些经典构造方法，包括张量代数、对称代数、李代数的泛包络代数、量子群、Hopf-代数等，还介绍了顶点算子代数的概念与初步性质。
目录
目录
前言
第1讲 中国剩余定理 1
第2讲 算术基本定理 7
第3讲 代数数与超*数 14
第4讲 同态基本定理 19
第5讲 群在集合上的作用 25
第6讲 向量空间基的存在性 30
第7讲 线性映射与矩阵 36
第8讲 多线性映射与行列式 42
第9讲 线性变换的特征值与特征向量 49
第10讲 Jordan-Chevalley分解 55
第11讲 向量空间的典范构造 60
第12讲 群在向量空间上的线性作用 66
第13讲 非结合代数 74
第14讲 有限生成可换群的结构 81
第15讲 张量代数 86
第16讲 李代数sl2及其表示 94
第17讲 Hopf-代数的概念 103
第18讲 量子群Uq(sl2)及其表示 113
第19讲 模的张量积与局部化 126
第20讲 Hilbert零点定理 135
第21讲 GL(V )与多元多项式 142
第22讲 Yoneda引理 153
第23讲 顶点代数与局部系统 164
第24讲 VIR与VOA 178
参考文献 190
索引 192
在线试读
第1讲 中国剩余定理
　　中国剩余定理是由下列问题衍生出来的：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思是说：有一些物品，不知道它的数量，如果三个三个地数*后剩二个，五个五个地数*后剩三个，七个七个地数*后剩二个，问这些物品共有多少个？
　　《孙子算经》中的这道数学问题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现[1]，针对这道题给出的解法是。
　　中国剩余定理的一般形式为如下定理。
　　定理1.1 （中国剩余定理）设R是有单位元的交换环，Ps是R的两两互素的理想，则有典范满射环同态同态的核为所有这些理想的交。
　　本讲的主要目的是详细解释并严格证明上述定理，证明中用到的方法将用于上述古典问题的求解，也由此说明上述解法的合理性。这个定理涉及有单位元的交换环，这个抽象的数学概念有一个重要特例：整数环。因此，我们首先讨论整数环的构造与定义，并假定自然数及其运算等基本知识是读者所熟悉的。
　　自然数的集合通常记为，它有两个运算：加法“+”与乘法。这两个运算满足一些通常的运算规则。例如，有加法结合律、交换律、零元素（自然数0），有乘法结合律、交换律、单位元（自然数1），还有乘法关于加法的分配律等。
　　对两个自然数a，b，称a小于b（记为aa），如果存在非零的自然数c，使得b=a+c；对任意的自然数a；b，必有a=b或ab或a=b，则记a>b（a大于等于b）。类似地，可以定义a6b（a小于等于b）。
　　定义1.2 给定自然数的集合N，构造新集合，这是集合的通常直积。是如下定义的二元关系。
　　对任意元素定义子集称其为元素（a；b）所在的等价类。令称其为整数的集合，其中的元素称为整数（一个整数就是一个“子集”）。
　　严格来讲，。是直积集合上的一个等价关系，而Z是集合关于等价关系。的商集，一个整数就是一个等价类（见下面的定义）。
　　定义1.3 集合S上的一个二元关系是的一个子集，元素也记为。按照通常的做法，任何二元关系R都将用统一的符号“。”表示。称二元关系。是一个等价关系，如果它满足：
　　（1）反身性；
　　（2）对称性；
　　（3）传递性。
　　集合S上的任何一个等价关系，诱导该集合关于的商集，其元素形如，即商集中的元素[x]（有时也记为1x）称为原集合S中的元素x所在的等价类，而元素x只是等价类[x]中的元素之一，也称其为等价类[x]的代表元。
　　根据等价关系的定义可以直接验证：这些不同的等价类是集合S的一些互不相交的子集，并且它们的并集是整个集合S。此时，这些等价类构成了集合S的一个“划分”：把集合S表示成互不相交的子集并的分解式。
　　反之，任意给定集合S的一个划分，可以*一确定集合S上的一个等价关系使得元素x当且仅当它们属于划分的同一个子集。此时，等价关系。确定的等价类的集合构成原来给定的划分。
　　因此，相对抽象的集合上等价关系的概念与比较直观的集合划分的概念本质上是一样的。但是，考虑到和其他数学概念的相容性，以后主要采用等价关系这一术语。
　　注记1.4 在上述整数集合的定义中，元素所在的等价类，一般记为。特别地，当b=0时，整数可以等同于自然数；当时，整数记为，称为负整数。
　　考虑映射，不难验证：这是一个单射。即，当时。从而，自然数集合N可以看成整数集合Z的一部分。当给出整数的加法与乘法运算之后，还可以说明：上述映射关于这两个运算是相容的。即，先运算后映射的结果与先映射后运算的结果一致。
　　命题1.5 整数集合Z可以表示为自然数集合N与负整数的集合的不交并：N[负整数集合。
　　证明若a=b，则是自然数；若a　　注记1.6 通过自然数的运算，可以按照下述方式定义整数的运算。
　　加法：
　　乘法：
　　定义1.7 整数集合Z，带有上述加法与乘法运算，满足通常的运算规则。关于加法有：结合律、零元素、负元素、交换律；关于乘法有：结合律、单位元、交换律；关于加法与乘法有：分配律。称Z为整数环。
　　注记1.8 关于整数乘法结合律的验证，有等式类似有下列等式从而，乘法的结合律成立。这里用到自然数运算的结合律、分配律等。
　　练习1.9 验证整数加法与乘法运算的合理性（一个整数是一个等价类，合理性是指运算结果与等价类中代表元的选取无关）；验证其加法与乘法运算的所有规则。整数之间也可以定义小于等于关系：对任意两个整数则记。
　　类似于自然数的情形，当时，也记b>a，称整数b大于等于a；当aa，称整数b大于a。
　　定义1.10 集合G，带有一个运算（称为乘法），满足结合律，有单位元，每个元素有逆元，则称G是一个群。若运算还满足交换律，则称G是一个可换群（也称为Abel群）。此时，群的运算称为加法。
　　定义1.11 集合R，带有加法与乘法两个运算，并满足上述整数的八条运算规则，称R是一个有单位元的交换环。当乘法交换律未必成立时，称R是一个有单位元的环，简称环。
　　由上述讨论可知，整数集合Z关于加法构成一个可换群，其加法零元素为自然数0；整数集合Z关于加法与乘法构成一个有单位元的交换环，其乘法单位元为自然数1。
　　定义1.12 设R，S是有单位元的环是一个映射。称是环的同态，如果它保持单位元，保持加法与乘法运算。即，有下列等式这里分别表示环R与S的单位元（以后均可以简写为1）。
　　称是环的一个同构映射，如果它是环的同态，也是双射。
　　称环R与S是同构的，如果它们之间存在同构映射。当'是单射环同态时，环R可以看成环S的一个子环（环的子环是指：包含单位元，且关于环的两个运算封闭的非空子集）。
　　定义1.13 设R是有单位元的环，称R的非空子集I是R的理想，如果它满足条件：
　　若I是环R的理想，且，则称I为R的真理想。由理想的定义直接看出：环R的任何真理想不可能包含R的单位元1。
　　例1.14 对整数环，它是由n的所有整数倍数构成的子集，则I是整数环Z的一个理想。在第2讲将证明：整数环Z的任何理想都具有这种形式。
　　练习1.15 （1）设是环的同态，定义同态的核同态的像。证明：是环R的理想，是环S的子环。
　　（2）设是环R的理想，定义理想的和：与积：有限和。证明：与都是R的理想。
　　（3）对环R的有限个理想，归纳定义它们的和与积，并说明它们还是R的理想。
　　（4）环R的任意多个理想的交还是R的理想。
　　提示 根据理想的定义及理想运算的定义，容易验证这些结论成立。
　　通过环R的理想I，定义R上的一个二元关系可以验证：。是一个等价关系，从而有商集：在集合R=I上定义两个运算根据理想的定义条件可以证明（见下面引理）：这两个运算的定义合理，且关于有单位元的环的条件都成立。因此，商集R=I是一个有单位元的环，称其为环R关于其理想I的商环。
　　由乘法的定义不难看出：当R是可换环时，商环R=I也是可换环。
　　引理1.16 上述加法与乘法运算定义合理：与代表元的选取无关。
　　证明 只证明加法运算定义的合理性，乘法情形的证明是类似的。
　　设，只要证明：根据等价关系。的定义，有。再根据理想的定义，直接得到即。
　　定义1.17 设R是有单位元的交换环，称R的真理想I是R的素理想，如果它满足条件：对或。
　　称R的两个理想I，J是互素的，如果它满足条件：I+J=R。
　　称R的真理想J是极大理想，如果它不严格包含于R的任何其他真理想内。即，对R的任何理想K，由J。K，必有K=J或者K=R。
　　引理1.18 设Ps是有单位元的交换环R的理想，且Q与每个都互素，则Q与乘积理想也是互素的。
　　证明 由条件，要证明。只要证明：Ps。利用乘积理想的定义容易看出此包含关系成立。
　　中国剩余定理的证明按照自然的方式定义环的直积（对应分量做加法与乘法运算）它也是一个有单位元的交换环。容易验证，典范映射：）保持环的加法与乘法运算。因此，它是一个环同态。
　　另外，对固定的m，由定理条件及上述引理不难看出即，在商环R=Pm中，[a]=[am]。因此，上述映射为满射。
　　*后，不难看出同态的核为所有这些理想的交，从而定理结论成立。
　　例1.19 对整数环Z，任何整数m确定它的一个理想I=（m），它由m的所有倍数构成，也称为主理想。相应于I的商环为剩余类环在环Z=（m）中，加法与乘法也称为模m的加法与乘法。
　　对，分别有剩余类环。考虑典范映射由中国剩余定理可知，这是一个满射同态。
　　特别地，对像元素，根据上述定理证明中的做法，由等式得到，由等式得到，由等式得到于是，是它的一个原像，这就是前面提到的古典数学问题的一个解。
　　注记1.20 在中国剩余定理中的典范映射是环的满同态，它的核是理想的交此时，有等式事实上，利用上述证明中的等式，只要对两个理想的情形证明即可。通过取固定的元素使得中的元素。
　　特别地，对例1.19中的整数环情形，我们得到关于理想的等式:这涉及整数分解的问题，详见第2讲的内容。
　　注记1.21 在这一讲我们主要给出了有单位元的环、有单位元的交换环、环的理想与同态等概念，整数环是它的一个*基本的例子。在第2讲给出多项式环的构造之后，将会有大量环的例子自然出现。

深入解析经典力学：从牛顿到拉格朗日 图书名称： 经典力学导论 作者： 张教授 (化名) 图书简介： 本书旨在为物理学、数学及工程学领域的学生和研究人员提供一个全面而深入的经典力学框架。我们深知，经典力学是现代物理学的基石，理解其从宏观尺度到微观尺度的基本原理，对于掌握更高级的理论，如量子力学、电动力学乃至广义相对论至关重要。本书不满足于对牛顿定律的简单重复，而是力求在概念的深度和数学工具的严谨性上有所突破，带领读者领略经典力学从解析形式到场论思想的演变历程。 第一部分：牛顿力学的严谨基础与向量分析 本部分首先回顾并深化了牛顿三大定律的物理意义和适用范围。我们着重讨论了惯性参考系与非惯性参考系（包括旋转参考系）的辨析，并详细推导了科里奥利力与离心力的物理起源及其在地球物理学中的应用。 核心内容之一是向量分析在力学中的应用。我们不仅介绍了矢量代数的基本运算，更将其提升到微分几何的层面，讨论了场论中的梯度、散度和旋度，并明确指出这些概念在描述力场、势能面中的关键作用。对于力、功、能的讨论，我们严格区分了保守力和非保守力，引入了保守场的势能概念，为后续的变分原理打下坚实的数学基础。 第二部分：振动、波动与刚体动力学 振动与波动是理解自然界中周期性现象的钥匙。本章详细分析了简谐振动（SHM）的特性，并扩展到阻尼振动与受迫振动。我们运用复数域分析和拉普拉斯变换的方法，高效地求解了这些线性微分方程，深入探讨了共振现象的物理机制及其工程影响。 在波动部分，我们聚焦于一维和三维的波动方程的求解，包括弦的振动、声波的传播，并引入了傅里叶级数和傅里叶积分作为分析复杂波形的强大工具。我们强调了波的叠加原理和色散关系的物理意义。 刚体动力学是经典力学中计算量最大的部分之一。本书将牛顿-欧拉方程的应用提升到更高水平。我们详细阐述了转动惯量张量的计算，解释了其在确定刚体运动主轴上的重要性。对于任意轴的转动，我们系统地推导了欧拉方程，并讨论了陀螺仪进动和章动现象的精确解法，避免了对复杂数学技巧的过度依赖，力求概念清晰。 第三部分：分析力学的核心——拉格朗日力学 本部分是全书的精华所在，标志着从基于力的描述转向基于能量的描述。我们首先介绍了虚功原理和达朗贝尔原理，作为构建变分原理的逻辑起点。 随后的章节全面深入地剖析了拉格朗日力学。我们清晰地定义了广义坐标、广义速度和约束力的作用，并严格推导了拉格朗日方程（欧拉-拉格朗日方程）。本书特别注重通过具体实例（如单摆、双摆、动滑轮系统）来展示拉格朗日方法相较于牛顿方法的优越性——即自动消除约束力。 我们还将主题扩展到守恒定律的深刻理解。通过引入诺特定理，我们将每一种连续对称性（如时间平移不变性、空间平移不变性、空间转动不变性）与相应的守恒量（能量、动量、角动量）建立了精确的数学对应关系，揭示了物理定律背后的几何结构。 第四部分：从拉格朗日到哈密顿——深刻的几何视角 在分析力学的基础上，本部分引入了更高阶的数学结构。我们详细解释了如何从拉格朗日函数$L(q, dot{q}, t)$通过勒让德变换构造出哈密顿函数 $H(q, p, t)$，其中 $p$ 是与广义速度相共轭的正则动量。 哈密顿力学的叙述为深入研究提供了更优美的语言。我们推导了正则方程，并探讨了这些一阶微分方程组相对于拉格朗日方程的求解优势。本书用大量的篇幅讨论了泊松括号的代数结构，阐明了它如何反映了物理量之间的演化关系，并展示了泊松括号在判断守恒量（泊松括号为零）上的直接应用。 为使读者为接触量子力学做好准备，我们专门探讨了正则变换的理论。我们详细介绍了生成函数的方法，并展示了如何利用正则变换将复杂的系统简化为可积分的形式，这在解决复杂运动问题时极为有效。 第五部分：高级主题与场论的萌芽 本部分作为延伸和展望，引入了经典力学领域的一些高级概念。 我们探讨了微扰理论在求解非精确可积系统中的应用，包括含时间依赖的微扰理论，尤其关注其在理解辐射场中带电粒子运动的应用。 最后，本书将经典力学框架拓展到连续介质力学的边缘。我们讨论了场的概念在力学中的初步体现，推导了弹性介质中的应力张量和应变张量，并引入了欧拉-拉格朗日方程的场论推广形式，为读者理解连续介质的动力学以及场论的必要性提供了坚实的跳板。 本书的特点： 本书的叙述风格强调物理直觉与数学严谨性的平衡。每一章都包含大量的例题和习题，旨在帮助读者不仅理解“如何计算”，更重要的是理解“为什么这样计算”。我们采用了统一的符号系统，并避免了不必要的数学冗余，确保读者能够清晰地把握从基本原理到高级抽象之间的逻辑链条。本书适合作为高等院校物理专业本科高年级或研究生初期的教材，也是所有希望系统性重温或深入钻研经典力学理论的专业人士的理想读物。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数选讲》真是一场意想不到的发现！我原本以为它会是一本晦涩难懂的学术专著，只适合那些在代数领域摸爬滚打多年的学者，结果呢？它展现出的却是一种别样的魅力。这本书的编排逻辑非常清晰，从最基础的概念出发，层层递进，即使是对代数稍有了解，但尚未深入的读者，也能找到自己的节奏。我尤其喜欢它在介绍每个定理或概念时，都会辅以大量的实例和辅助图形，这极大地降低了理解门槛。我记得在学习某个关于群论的章节时，书中用到的一个关于交通信号灯状态变化的类比，生动形象，让我瞬间豁然开朗，原来抽象的数学概念也能如此贴近生活。而且，作者在语言的运用上也颇为讲究，既有严谨的数学表述，又不乏一些幽默风趣的细节，读起来一点也不枯燥。可以说，这本书为我打开了一个新的看待代数问题的方式，不再是将它视为一堆冰冷的符号和公式，而是将其看作一种富有逻辑和美感的思维工具。我强烈推荐给所有对数学，尤其是代数感兴趣的朋友，这绝对是一次物超所值的阅读体验。

评分☆☆☆☆☆

老实说，起初我翻阅这本《代数选讲》时，并没有抱太高的期望。毕竟，“代数”这两个字本身就带着一股难以亲近的气质，更何况是“选讲”，我总觉得会是一些零散的、不成体系的论述。然而，事实却给了我一个大大的惊喜。这本书的叙事风格非常吸引人，它不是那种冷冰冰的教科书式讲解，而更像是一位经验丰富的老师，循循善诱地引导你进入代数的奇妙世界。书中对历史背景的介绍非常到位，让你了解每一个概念、每一个理论是如何在解决实际问题的过程中诞生的，这种历史的视角极大地增加了阅读的趣味性。我记得在阅读关于线性代数的部分时，作者花了相当大的篇幅介绍矩阵的起源，以及它在工程和物理学中的早期应用，这让我对矩阵这个概念的理解从“工具”上升到了“思想”。此外，这本书的排版也非常人性化，大量的留白和清晰的注释，都为读者提供了良好的阅读体验。我能够明显感觉到作者在字里行间倾注的心血，他不仅仅是在传授知识，更是在传递一种对代数的热爱。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排方式非常独特，它没有按照传统的教科书模式来组织内容，而是选取了代数中一些最精彩、最富有启发性的主题进行深入探讨。这种“选讲”的方式，反而让这本书充满了新意和趣味。我非常喜欢作者对每一个主题的切入点，他总是能够从一个看似普通的问题出发，然后引出复杂的数学理论，让你在不知不觉中被吸引进去。我记得在阅读关于数论的部分时，作者从一个关于“能否用一笔画画出某个图形”的问题开始，然后逐步引出了图论和组合学的相关概念，这种层层递进的讲解方式，让我觉得非常有趣，而且也让我对这些数学分支有了初步的认识。这本书的语言也非常生动，作者善于运用比喻和类比，将抽象的数学概念具象化，让你更容易理解。总的来说，这是一本能够激发你学习代数兴趣的书，它让你看到代数不仅仅是枯燥的计算，更是一种充满智慧和创造力的思想。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我对代数产生了全新认识的书。我一直认为代数是一门非常抽象的学科，充斥着各种公式和符号，难以理解。但《代数选讲》却颠覆了我的这种看法。它以一种非常生动活泼的方式，将代数的精髓呈现在我面前。书中的例子非常贴切，而且作者善于从多个角度去解释同一个概念，让我能够从不同的层面去理解它。我尤其欣赏书中关于群论的讲解，它用非常直观的例子，比如对称性，来解释群的性质，让我一下子就理解了抽象代数中的一些核心思想。而且，这本书的语言非常流畅，一点也不生硬，读起来很有亲切感。我甚至会时不时地停下来，思考一下作者提出的问题，然后自己尝试去解答，这种互动式的阅读方式让我的学习效果倍增。总而言之，这是一本非常优秀的代数入门读物，适合任何想要深入了解代数的朋友。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容，与其说是“选讲”，不如说是“精讲”更为贴切。它不像市面上许多教材那样面面俱到，而是聚焦于代数中最核心、最能体现其思想精髓的部分。作者的视角非常独特，他似乎总能抓住问题的本质，然后用一种令人耳目一新的方式将其呈现出来。我最印象深刻的是关于伽罗瓦理论的讲解，这部分内容历来是代数学习中的难点，许多教材的阐述都显得过于抽象和跳跃。然而，在这本书中，作者通过历史发展的脉络，一步步引导读者理解为什么需要伽罗瓦理论，它解决了哪些历史遗留问题，并且在阐述理论本身时，也大量运用了图形和直观的类比，使得原本枯燥的抽象概念变得生动起来。我曾经对这一部分感到非常困惑，但读完这里的章节后，我感觉自己仿佛醍醐灌顶，对整个理论有了更深刻的认识。这本书的价值在于它不是简单地堆砌知识点，而是试图在读者心中构建一个完整的知识体系，让你不仅知道“是什么”，更理解“为什么”。